导数普通地一些技巧和结论.doc
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1、导数常用的一些技巧和结论导数常用的一些技巧和结论(2017 年全国新课标 1理21)已知. 22xxf xaeaex(1)讨论的单调性; fx(2)若有两个零点,求的取值范围. fxa解析:(1) 2221211xxxxfxaeaeeae 若,则恒成立,所以在 R 上递减;0a 0fx fx若,令,得.0a 0fx 11,lnxexaa当时,所以在上递减;1lnxa 0fx fx1,lna当时,所以在上递增.1lnxa 0fx fx1ln,a综上,当时,在 R 上递减;当时,在上递减,在上递增.0a fx0a fx1,lna1ln,a(2)有两个零点,必须满足,即,且. fx min0f x0
2、a min111ln1ln0f xfaaa 构造函数,. 易得,所以单调递减. 1lng xxx 0x 110gxx 1lng xxx 又因为,所以. 10g 11111ln01101ggaaaaa 下面只要证明当时,有两个零点即可,为此我们先证明当时,.01a fx0x lnxx事实上,构造函数,易得,所以,即. lnh xxx 11hxx min11h xh 0h x lnxx当时,01a 22222110aeaeaafeee ,2333333ln121ln11 ln10afaaaaaaaa 其中,所以在和上各有一个零点.11lna 31lnlna aa fx11,lna13ln,lna
3、aa故的取值范围是.a0,1注意:取点过程用到了常用放缩技巧。一方面:;2233202030ln1xxxxxxxaaeaexaeaeeaeaexaa另一方面:时,(目测的)0x 220201xxxaeaexaexx 常用的放缩公式(考试时需给出证明过程)第一组:对数放缩(放缩成一次函数),ln1xxln xxln 1xx(放缩成双撇函数),11ln12xxxx11ln012xxxx,1ln1xxxx1ln01xxxx(放缩成二次函数),2ln xxx21ln 1102xxxx 21ln 102xxxx(放缩成类反比例函数),1ln1xx 21ln11xxxx21ln011xxxx,ln 11x
4、xx2ln 101xxxx2ln 101xxxx 第二组:指数放缩(放缩成一次函数),1xexxexxeex(放缩成类反比例函数),101xexx10xexx (放缩成二次函数),21102xexxx 2311126xexxx 第三组:指对放缩 ln112xexxx第四组:三角函数放缩,. sintan0xxx x21sin2xxx22111cos1sin22xxx 第五组:以直线为切线的函数1yx,.lnyx11xye2yxx11yx lnyxx几个经典函数模型经典模型一:经典模型一:或或.ln xyxlnxyx【例 1】讨论函数的零点个数. lnf xxax(1)时,无零点.1ae,. 1
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