概率论与数理统计谢永钦版课后答案.doc
《概率论与数理统计谢永钦版课后答案.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率论与数理统计谢永钦版课后答案.doc(109页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、概率论与数理统计习题及答案概率论与数理统计习题及答案习题习题 一一1略.见教材习题参考答案. 2.设 A,B,C 为三个事件,试用 A,B,C 的运算关系式表示下列事件: (1) A 发生,B,C 都不发生; (2) A 与 B 发生,C 不发生; (3) A,B,C 都发生; (4) A,B,C 至少有一个发生; (5) A,B,C 都不发生; (6) A,B,C 不都发生; (7) A,B,C 至多有 2 个发生; (8) A,B,C 至少有 2 个发生.【解解】 (1) A (2) AB (3) ABCBCC(4) ABC=CBABCACABABC=ABACBCABCABC(5) = (
2、6) ABCABCABC(7) BCACABCAB=ABCABBCACABCABCABC(8) ABBCCA=ABACBCABCCBA3.略.见教材习题参考答案4.设 A,B 为随机事件,且 P(A)=0.7,P(AB)=0.3,求 P().AB【解解】 P()=1P(AB)=1P(A)P(AB)AB=10.70.3=0.6 5.设 A,B 是两事件,且 P(A)=0.6,P(B)=0.7,求: (1) 在什么条件下 P(AB)取到最大值? (2) 在什么条件下 P(AB)取到最小值? 【解解】 (1) 当 AB=A 时,P(AB)取到最大值为 0.6. (2) 当 AB= 时,P(AB)取到
3、最小值为 0.3. 6.设 A,B,C 为三事件,且 P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3 且 P(AB)=P(BC) =0,P(AC)=1/12,求 A,B,C 至少有一事件发生的概率. 【解解】 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=+=1 41 41 31 123 4 7.从 52 张扑克牌中任意取出 13 张,问有 5 张黑桃,3 张红心,3 张方块,2 张梅花的概 率是多少?【解解】 p=533213 1313131352C C C C /C8.对一个五人学习小组考虑生日问题: (1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2)
4、 求五个人的生日都不在星期日的概 率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解解】 (1) 设 A1=五个人的生日都在星期日,基本事件总数为 75,有利事件仅 1 个,故P(A1)=()5 (亦可用独立性求解,下同)51 71 7 (2) 设 A2=五个人生日都不在星期日,有利事件数为 65,故P(A2)=()5556 76 7(3) 设 A3=五个人的生日不都在星期日P(A3)=1P(A1)=1()51 7 9.略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共 N 件,其中 M 件正品.从中随机地取出 n 件(n30.如图阴影部分所示.22301 604P 22.从(0,1)中随机地取两
5、个数,求:(1) 两个数之和小于的概率;6 5(2) 两个数之积小于的概率.1 4 【解解】 设两数为 x,y,则 0正正(甲乙)=(甲反1+乙反)=(甲反乙反) 由对称性知 P(甲正乙正)=P(甲反乙反)因此 P(甲正乙正)=1 246.证明“确定的原则” (Surething):若 P(A|C)P(B|C),P(A|)P(B|),则CCP(A)P(B). 【证证】由 P(A|C)P(B|C),得()(),( )( )P ACP BC P CP C即有 ()()P ACP BC同理由 (|)(|),P A CP B C得 ()(),P ACP BC故 ( )()()()()( )P AP A
6、CP ACP BCP BCP B47.一列火车共有 n 节车厢,有 k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至 少有一个旅客的概率. 【解解】 设 Ai=第 i 节车厢是空的, (i=1,n),则121(1)1()(1)2()(1)1()(1) nk k ikk ijk iiinP AnnP A AnnP A AAn其中 i1,i2,in1是 1,2,n 中的任 n1 个. 显然 n 节车厢全空的概率是零,于是211211 1 12 2 11 11 11 123111()(1)C (1)2() C (1)1() C(1)0()( 1)nnn kk in ik ijn ij nnk
7、 niiin iiinnnn iniSP AnnnSP A AnnSP A AAnSPASSSS 121121C (1)C (1)( 1) C(1)kknnk nnnn nnn 故所求概率为121121()1 C (1)C (1)nki inniPAnn 111( 1)C(1)nnk nn n48.设随机试验中,某一事件 A 出现的概率为 0.试证明:不论 0 如何小,只要不断地 独立地重复做此试验,则 A 迟早会出现的概率为 1. 【证证】 在前 n 次试验中,A 至少出现一次的概率为1 (1)1()nn 49.袋中装有 m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取
8、一只, 将它投掷 r 次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少? 【解解】设 A=投掷硬币 r 次都得到国徽 B=这只硬币为正品由题知 ( ), ( )mnP BP Bmnmn 1(|), (|)12rP A BP A B则由贝叶斯公式知()( ) (|)(|)( )( ) (|)( ) (|)P ABP B P A BP B AP AP B P A BP B P A B1 2 1212rrrm mmn mnmn mnmn:50.巴拿赫(Banach)火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴,每盒有 N 根火柴,每次用 火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另
9、一盒恰有 r 根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有 r 根的概率 又有多少?【解解】以 B1、B2记火柴取自不同两盒的事件,则有.(1)发现一盒已121()()2P BP B空,另一盒恰剩 r 根,说明已取了 2nr 次,设 n 次取自 B1盒(已空) ,nr 次取自 B2盒,第 2nr+1 次拿起 B1,发现已空。把取 2nr 次火柴视作 2nr 重贝努里试验, 则所求概率为12211112C( ) ( )C2222nnn rn n rn rr rp :式中 2 反映 B1与 B2盒的对称性(即也可以是 B2盒先取空). (2) 前 2nr1 次取火柴,有 n1 次
10、取自 B1盒,nr 次取自 B2盒,第 2nr 次取自 B1盒,故概率为11121 2212111112C( )( )C( )2222nnn rnn r n rn rp 51.求 n 重伯努利试验中 A 出现奇数次的概率. 【解解】 设在一次试验中 A 出现的概率为 p.则由00112220()CCCC1nnnnnn nnnnqpp qpqp qp q0011222n0()CCC( 1) Cnnnnnn nnnnqpp qpqp qp q 以上两式相减得所求概率为11333 1CCnn nnppqp q11 () 2nqp11 (1 2 ) 2np若要求在 n 重贝努里试验中 A 出现偶数次的
11、概率,则只要将两式相加,即得.211 (1 2 ) 2npp52.设 A,B 是任意两个随机事件,求 P(+B) (A+B) (+) (A+)的值.AABB【解解】因为(AB)()=ABABBA(B)(A)=ABABAB所求 ()()()()AB AB AB AB ()()ABABABAB 故所求值为 0. 53.设两两相互独立的三事件,A,B 和 C 满足条件: ABC=,P(A)=P(B)=P(C)0,P(A|B)=1,试比较 P(AB)与 P(A)的大小. (2006 研考)解:解:因为 ()( )( )()P ABP AP BP AB()( )()( )P ABP BP A BP B所
12、以 .()( )( )( )( )P ABP AP BP BP A59. 60.习题二习题二1.一袋中有 5 只乒乓球,编号为 1,2,3,4,5,在其中同时取 3 只,以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码,写出随机变量 X 的分布律. 【解解】3 53 52 4 3 53,4,5 1(3)0.1C3(4)0.3CC(5)0.6CXP XP XP X故所求分布律为X345P0.10.30.62.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品,在其中取 3 次,每次任取 1 只,作不放回抽样, 以 X 表示取出的次品个数,求: (1) X 的分布律; (2) X 的分布函数并作图; (3).13
13、3, 1, 1, 12222P XPXPXPX【解解】3 13 3 1512 213 3 151 13 3 150,1,2.C22(0).C35C C12(1).C35C1(2).C35XP XP XP X故 X 的分布律为X012P22 3512 351 35(2) 当 xa 时,F(x)=1 即分布函数0,0( ),01,x xF xxaa xa 18.设随机变量 X 在2,5上服从均匀分布.现对 X 进行三次独立观测,求至少有两次的观测 值大于 3 的概率. 【解解】XU2,5,即1,25( )3 0,xf x 其他5312(3)d33P Xx故所求概率为2233 3321220C (
14、)C ( )33327p 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分钟计)服从指数分布.某顾客在窗1( )5E口等待服务,若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次,以 Y 表示一个月内他 未等到服务而离开窗口的次数,试写出 Y 的分布律,并求 PY1.【解解】依题意知,即其密度函数为1( )5XE51e,0( )5 0,x xf x x0该顾客未等到服务而离开的概率为25 101(10)ede5x P Xx,即其分布律为2 (5,e )Yb22 5 52 5()C (e ) (1 e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1 (1 e )0.5167kkkP YkkP Y
15、P Y 20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间 X 服从 N(40,102) ;第二条路程较长,但阻塞少,所需时间 X 服从 N(50,42). (1) 若动身时离火车开车只有 1 小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些? (2) 又若离火车开车时间只有 45 分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些? 【解解】 (1) 若走第一条路,XN(40,102) ,则406040(60)(2)0.977271010xP XP若走第二条路,XN(50,42) ,则+506050(60)(2.5)0.993844XP XP故走第二条路乘上火车的把握大些. (2) 若
16、XN(40,102) ,则404540(45)(0.5)0.69151010XP XP若 XN(50,42) ,则504550(45)( 1.25)44XP XP1(1.25)0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设 XN(3,22) , (1) 求 P20;(2) f(x)= ., 0, 21,1, 10,2 他他xxxbx试确定常数 a,b,并求其分布函数 F(x).【解】 (1) 由知( )d1f xx| |021ed2edxxaaxax 故 2a即密度函数为 e,02( ) e02xxx f x x 当 x0 时1( )( )de de22xxxxF xf xxx当 x
17、0 时00( )( )de ded22xxxxF xf xxxx11e2x 故其分布函数11e,02( )1e ,02xxx F x x (2) 由12201111( )ddd22bf xxbx xxx得 b=1 即 X 的密度函数为2,01 1( ),120,xxf xxx 其他当 x0 时 F(x)=0当 00 时,( )()(e)(ln )x YFyP YyPyP Xyln( )dyXfxx 故 2/ 2lnd( )111( )(ln )e,0d2yY YxFyfyfyyyyy(2)2(21 1)1P YX 当 y1 时( )()0YFyP Yy当 y1 时2( )()(21)YFyP
18、YyPXy 2111 222yyyP XPX(1)/2(1)/2( )dyXyfxx故 d1211( )( )d4122YYXXyyfyFyffyy(1)/4121e,1212yyy(3) (0)1P Y 当 y0 时( )()0YFyP Yy当 y0 时( )(|)()YFyPXyPyXy( )dyXyfxx 故d( )( )( )()dYYXXfyFyfyfyy2/22e,02yy31.设随机变量 XU(0,1) ,试求: (1) Y=eX的分布函数及密度函数; (2) Z=2lnX 的分布函数及密度函数.【解解】 (1) (01)1PX故 (1ee)1XPY当时1y ( )()0YFyP
19、 Yy当 10 时,( )()( 2ln)ZFzP ZzPXz/2(ln)(e)2zzPXP X / 21/2ed1 ezzx 即分布函数- /20,0( )1-e,ZzzFzz0故 Z 的密度函数为/21e,0( )2 0,zZzfz z 032.设随机变量 X 的密度函数为f(x)=22,0, 0,.xx 其他试求 Y=sinX 的密度函数.【解解】(01)1PY当 y0 时,( )()0YFyP Yy当 00)=1,故 06,则 P(X1 时,( )()(e)(ln )X YFyP YyPyP Xyln01e d1yxxy 即 11,1( ) 0,1YyyFy y 故 21,1( ) 0
20、,1Yyyfy y 51.设随机变量 X 的密度函数为fX(x)=,)1 (12x求 Y=1的密度函数 fY(y). 3x【解解】33( )()(1)(1) )YFyP YyPXyP Xy332(1)(1)311darctg(1)1 arctg(1) 2yyxxxy 故 263(1)( )1 (1)Yyfyy52.假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布. (1) 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布; (2) 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下,再无故障运行 8 小时的概率 Q.(1993 研考)【解解】 (1) 当 tt与N(t)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 概率论 数理统计 谢永钦版 课后 答案
限制150内