概率论与数理统计习题三解析【哈工大版-】.doc
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1、习 题 三1掷一枚非均质的硬币,出现正面的概率为,若以表示p(01)pX直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数,求的分布列。X解 表示事件:前次出现正面,第次出现反面,或前()Xk1k k次出现反面,第次出现正面,所以1k k11()(1)(1),2,3,.kkP Xkppppk2袋中有个黑球个白球,从袋中任意取出个球,求个球中黑球个barr数的分布列。X解 从个球中任取个球共有种取法,个球中有个黑球的取abrr a bCrk法有,所以的分布列为kr k baC CX,()kr k ba r a bC CP XkCmax(0,), max(0,) 1,min( , )krarab r 此乃因
2、为,如果,则个球中可以全是白球,没有黑球,即;rar0k 如果则个球中至少有个黑球,此时应从开始。rarrakra3一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件,第 个零件是不合格品i的概率,以表示三个零件中合格品的个数,求的分1(1,2,3)1ipiiXX布列。解 设第 个零件是合格品。则iA i1,2,3i ,1231 1 11(0)()2 3 424P XP A A A123123123(1)()P XP A A AA A AA A A123123123()()()P A A AP A A AP A A A,1 1 11 2 11 1 36 2 3 42 3 42 3 42412312312
3、3(2)()P XP A A AA A AA A A123123123()()()P A A AP A A AP A A A,1 2 11 1 31 2 311 2 3 42 3 42 3 424.1231 2 36(3)()2 3 424P XP A A A即的分布列为X.0123 16116 24242424XP4一汽车沿一街道行驶,需通过三个设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为,以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求的1 2XX概率分布。解 (第一个路口即为红灯),(0)P XP1 2(第一个路口为绿灯,第
4、二个路口为红灯),(1)P XP1 11 2 24依此类推,得的分布列为X.0123 1111 2488XP5将一枚硬币连掷次,以表示这次中出现正面的次数,求的分nXnX布列。解 为重贝努里试验中成功出现的次数,故,的分Xn1( ,)2XB nX布列为1()2n k nP XkC0, 1,kn6一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为 4 的泊松分布,求(1)每分钟恰有 8 次呼叫的概率;(2)每分钟的呼叫次数大于 10 的概率。解 设为每分钟接到的呼叫次数,则X(4)XP(1)8 4448444(8)0.29778!kkkk qP Xeeekk (2)4114(10)0.00284.!kk
5、P Xek 7某商店每月销售某种商品的数量服从参数为 5 的泊松分布,问在月初至少库存多少此种商品,才能保证当月不脱销的概率为 0.99977 以上。解 设为该商品的销售量,为库存量,由题意XN51150.99977()1()1()1!kK NK NP XNP XNP XKek 即5150.00023!KKNek 查泊松分布表知,故月初要库存 14 件以上,才能保证当月不脱销的115N 概率在 0.99977 以上。8已知离散型随机变量的分布列为:X,试写出的分布函数。(1)0.2,(2)0.3P XP X(3)0.5P X X解 的分布列为X123 0.20.30.5X P所以的分布函数为X
6、0 ,1, 0.2,12,( )0.5,23, 1 ,3.x xF xx x 9设随机变量的概率密度为Xsin ,0,( )0,cxxf x 其他.求:(1)常数;(2)使成立的.C()()P XaP Xaa解 (1),;001( )sincos2f x dxcxdxcxc 1 2c (2),1111()sincoscos2222aaP Xaxdxxa 001111()sincoscos ,2222aaP Xaxdxxa 可见 , 。cos0a 2a10设随机变量的分布函数为X,( )arctanF xABxx 求:(1)系数与;(2);(3)的概率密度。AB( 11)PX X解 (1)由分布
7、函数的性质0()21()2FABFAB 于是 ,所以的分布函数为1 2A 1BX,11( )arctan2F xxx (2);11111( 11)(1)( 1)()24242PXFF (3)的概率密度为X, .21( )( )(1)f xF xxx 11已知随机变量的概率密度为X,.| |1( )2xf xex 求的分布函数.X解001,0,2( )( )11,0,22xuxxxue dux F xf u du e dxe dux 1,0,2 11,0.2xxexex 12设随机变量的概率密度为X,01, ( )2,12,0,xx f xxx 其他.求的分布函数.X解 的图形为 的分布函数为(
8、 )f xX( )( )xF xf u du 01010,0,01,(2),12,1,2.xxxuduxxdxu duxx 220,0,01,221,12,2 1,2.xxxxxxx 1313设电子管寿命的概率密度为X2100,100,( ) 0,100.xxf xx 若一架收音机上装有三个这种管子,求(1)使用的最初 150 小时内,至少有两个电了管被烧坏的概率;(2)在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数的分Y布列;(3)的分布函数。Y解 为在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数,其中Y(3,)YBp,15021001001(150)3pP Xdxx(1)所求概率为23 2 312
9、1(2)(2)(3)333P YP YP YC012x(1,1)f(x);7 27(2)的分布列为,Y3312()33kk kP YkC 0,1,2,3,k 即.0123 81261 27272727YP(3)的分布函数为Y0 ,0, 8,0127 20( ),12,27 26,23,27 1 ,3.xxF xxxx 14设随机变量的概率密度为X2 ,01,( )0 ,.xxf x 其他现对进行次独立重复观测,以表示观测值不大于 0.1 的观测次数,试求XnnV随机变量的概率分布。nV解 ,其中( , )nVB n p,0.10(0.1)20.01pP Xxdx所以的概率分布列为nV.()(0
10、.01) (0.99),0,1,kkn k nnP VkCkn15设随机变量,求方程有实根的概率.1, 6XU210xXx 解 设方程有实根 ,则A 发生 即 ,因,所以A240X| 2X 1,6XU发生A2,X所以.624( )(2)0.86 15P AP X16设随机变量,现对进行 3 次独立观测,试求至少有两2,5XUX次观测值大于 3 的概率.解 设为三次观测中,观测值大于 3 的观测次数,则,其中Y(3, )YBp,532(3)523pP X所求概率为.23 2 321220(2)(2)(3)33327P YP YP YC 17设顾客在某银行窗口等待服务的时间(单位:分) ,服从参数
11、为X的指数分布。若等待时间超过 10 分钟,则他就离开。设他一个月内要来银行1 55 次,以表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数,求的分布列及YY。(1)P Y 解 由题意,其中(5, )YBp,255 10 101(10)5xx pP Xedxee 于是的分布为Y22 5 5()() (1)0,1,2,3,4,5,kkkP YkCeek.2 5(1)1(0)1 (1)0.5167P YP Ye 18一大型设备在任何长为 的时间内发生故障的次数服从参数为t( )N t的泊松分布。 (1)求相继两次故障之间时间间隔的概率分布;(2)求在tT设备已经无故障工作了 8 小时的情况下,再无故障运
12、行 8 小时的概率。解 (1)设的分布函数为,则T( )TFt( )()1()TFtP TtP Tt 事件表示两次故障的间隔时间超过 ,也就是说在时间 内没有发()Tttt生故障,故,于是( )0N t ,0()( )1()1( )0)11,00!tt TtFtP TtP N teet 可见,的分布函数为T1,0,( )0,0.tTetFtt 即服从参数为的指数分布。T(2)所求概率为.16 8 816,8(16)(16|8)(8)( 8)P TTP TeP TTeP TPe 19设随机变量。求2(108, 3 )XN(1);(2)常数,使;(101.1117.6)PXa()0.90P Xa(
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