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1、第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率(1)排列 组合公式从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!(! nmmPn m从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。)!( ! nmnmCn m(2)加法 和乘法原 理加法原理(两种方法均能完成此事):加法原理(两种方法均能完成此事):m+nm+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种方法可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):mnmn 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m 种方法完成,第二个步骤可由
2、 n 种方法来完成,则这件事可由 mn 种方法来完成。(3)一些 常见排列重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个) 顺序问题(4)随机 试验和随 机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个, 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本 事件、样 本空间和 事件在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有 如下性质: 每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; 任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示。
3、 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示。 一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母 A,B,C,表示事件,它们是的子集。 为必然事件, 为不可能事件。 不可能事件()的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理, 必然事件()的概率为 1,而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。(6)事件 的关系与 运算关系: 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分, (A发生必有事件B发生): BA 如果同时有,则称事件A与事件B等价,或称A等于BA AB B:A=B。A、B中至少有一个发生的事件:AB,或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A 与 B
4、的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者,它表示A发生而B不发生的事件。BAA、B同时发生:AB,或者AB。AB=,则表示 A 与 B 不可能同时发生,称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件 A 的逆事件,或称 A 的对立事件,记为A。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。 运算:结合率:A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率:(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)德摩根率:11iiiiAA,BABABABA(7)概率 的公理化 定义设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数 P(A),若满 足下列三个条件:
5、1 0P(A)1, 2 P() =1 3 对于两两互不相容的事件1A,2A,有 11)(iiiiAPAP常称为可列(完全)可加性。 则称 P(A)为事件A的概率。(8)古典 概型1 ,n21,2 。nPPPn1)()()(21设任一事件A,它是由组成的,则有m21, P(A)= =)()()(21m)()()(21mPPPnm基本事件总数所包含的基本事件数A(9)几何 概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A,。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积) 。)()()(LA
6、LAP(10)加 法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时,P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减 法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA 时,P(A-B)=P(A)-P(B)当 A= 时,P()=1- P(B)B(12)条 件概率定义 设 A、B 是两个事件,且 P(A)0,则称为事件 A 发生条件下,事)()( APABP件 B 发生的条件概率,记为。)/(ABP)()( APABP条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)B(13)乘 法公式乘法公式:)/()()(ABPAPABP
7、 更一般地,对事件 A1,A2,An,若 P(A1A2An-1)0,则有21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA 。(14)独 立性两个事件的独立性两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP,则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立,且0)(AP,则有)()()()( )()()|(BPAPBPAP APABPABP若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独 立。 必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。 多个事件的独立性多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件,如果满足两两独
8、立的条件, P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。(15)全 概公式设事件nBBB,21满足1nBBB,21两两互不相容,), 2 , 1(0)(niBPi,2niiBA1 , 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。(16)贝 叶斯公式设事件1B,2B,nB及A满足1 1B,2B,nB两两互不相容,)(BiP0,i1,2,n,2 niiBA1 ,0)(AP, 则,i=1,2,n。 njjj
9、ii i BAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(此公式即为贝叶斯公式。, (1i,2,n) ,通常叫先验概率。)(iBP, (1i,2,n) ,通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因)/(ABPi 果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。(17)伯 努利概型我们作了n次试验,且满足 每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生; n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样; 每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否 是互不影响的。这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为qp 1,用)(kPn表示n重伯
10、努利试验中A出现)0(nkk次的概率,knkknnqpkPC)(,nk, 2 , 1 , 0。第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布(1)离散 型随机变 量的分布 律设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率,即 事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk,k=1,2,, 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的 形式给出: ,|)(2121kkkpppxxx xXPX 。 显然分布律应满足下列条件:(1)0kp,, 2 , 1k, (2)11kkp 。(2)连续 型随机变 量的分布 密度设)(xF是随机变量X的分布函数,若存在非负函
11、数)(xf,对任意实数x, 有 xdxxfxF)()(, 则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数,简称 概率密度。 密度函数具有下面 4 个性质:1 0)(xf。2 1)(dxxf。 (3)离散 与连续型 随机变量 的关系dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离dxxf)(散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布 函数设为随机变量,是任意实数,则函数Xx)()(xXPxF称为随机变量 X 的分布函数,本质上是一个累积函数。可以得到 X 落入区间的概率。分布)()()(aFbFbXaP,(ba函数表示随机变量
12、落入区间( ,x内的概率。)(xF分布函数具有如下性质:1 ;, 1)(0xFx2 是单调不减的函数,即时,有 ;)(xF21xx )(1xF)(2xF3 , ;0)(lim)( xFF x1)(lim)( xFF x4 ,即是右连续的;)()0(xFxF)(xF5 。)0()()(xFxFxXP对于离散型随机变量,; xxkkpxF)(对于连续型随机变量, 。 x dxxfxF)()(0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q(5)八大 分布二项分布在重贝努里试验中,设事件发生的概率为。事件发生nApA的次数是随机变量,设为,则可能取值为。XXn, 2 , 1 , 0, 其中knkk
13、nnqpCkPkXP)()(,nkppq, 2 , 1 , 0, 10 ,1则称随机变量服从参数为,的二项分布。记为Xnp。),(pnBX当时,这就是(0-1)分1nkkqpkXP1)(1 . 0k布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量的分布律为X,ekkXPk!)(02 , 1 , 0k则称随机变量服从参数为的泊松分布,记为或X)(X者 P()。 泊松分布为二项分布的极限分布(np=,n) 。超几何分布),min(,2 , 1 , 0,)(nMllkCCCkXPn Nkn MNk M 随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布,记为 H(n,N,M)。几何分布,其
14、中 p0,q=1-p。, 3 , 2 , 1,)(1kpqkXPk随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布,记为 G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在a,b内,其密度函数)(xf在a,b上为常数,即ab 1其他, , 0,1 )(abxf则称随机变量X在a,b上服从均匀分布,记为 XU(a,b)。 分布函数为xdxxfxF)()(当 ax1b。axb指数分布其中0,则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。 X 的分布函数为记住积分公式:!0ndxexxn )(xf,xe0x,0, 0x,)(xF,1xe0x, , 0xx1时,有 F(x2,y)F(x1,y);当 y2y1时,有 F(x,y
15、2) F(x,y1); (3)F(x,y)分别对 x 和 y 是右连续的,即);0,(),(), 0(),(yxFyxFyxFyxF(4). 1),(, 0),(),(),(FxFyFF(5)对于,2121yyxx.0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF,(4)离散 型与连续 型的关系dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(,离散型X 的边缘分布为;), 2 , 1,()(jipxXPPij jiiY 的边缘分布为。), 2 , 1,()(jipyYPPij ijj(5)边缘 分布连续型X 的边缘分布密度为;dyyxfxfX),()(Y 的边缘分布密度为.
16、),()(dxyxfyfY离散型在已知X=xi的条件下,Y 取值的条件分布为;iij ijppxXyYP)|(在已知Y=yj的条件下,X 取值的条件分布为,)|(jij jippyYxXP(6)条件 分布连续型在已知 Y=y 的条件下,X 的条件分布密度为;)(),()|(yfyxfyxfY在已知 X=x 的条件下,Y 的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y) 离散型 jiijppp有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断,充要条件: 可分离变量 正概率密度区间为矩形二维正态分 布, 121),(2222121211 221
17、)(2)1(212 yyxxeyxf0(7)独立 性随机变量的 函数若 X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立, h,g 为连续函数,则: h(X1,X2,Xm)和 g(Xm+1,Xn)相互独立。 特例:若 X 与 Y 独立,则:h(X)和 g(Y)独立。 例如:若 X 与 Y 独立,则:3X+1 和 5Y-2 独立。(8)二维 均匀分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为 其他, 0),(1),(DyxS yxfD其中 SD为区域 D 的面积,则称(X,Y)服从 D 上的均匀分布,记为 (X,Y)U(D) 。 例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。y 1D1 O 1 x图 3.1y 1
18、O 2 x图 3.2y dc O a b x 图 3.3D21D3(9)二维 正态分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为, 121),(2222121211 221)(2)1 (212 yyxxeyxf其中是 5 个参数,则称(X,Y)服从二维正态1| , 0, 0,21, 21分布,记为(X,Y)N().,2 22 1, 21由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布,即 XN().(),2 2, 22 11NY但是若 XN(,(X,Y)未必是二维正态分布。)(),2 2, 22 11NYZ=X+Y根据定义计算:)()()(zYXPzZPzFZ对于连续型,fZ(
19、z)dxxzxf ),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布() 。2 22 121,n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。, iiiCiiiC222(10)函 数分布Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互独立,其分布函数分别为nXXX21,,则 Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布)()()( 21xFxFxF nxxx,函数为:)()()()( 21maxxFxFxFxF nxxx)(1 )(1 )(1 1)( 21minxFxFxFxF nxxx分布2设 n 个随机变量相互独立,且服从标准正态分nXXX,21布,可以证明它们的平方和 niiXW12的分布密度为
20、. 0, 0, 0221)(2122uueu nufunn我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的分布,记为 W2,其中)(2n.2012dxexnxn 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量 分布中的一个重要参数。分布满足可加性:设2),(2 iinY则).(21 12 kkiinnnYZt 分布设 X,Y 是两个相互独立的随机变量,且),(),1 , 0(2nYNX可以证明函数nYXT /的概率密度为21 2 1221)( nnt nnntf ).(t我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布,记为 Tt(n)。)()(1ntntF 分布设,且 X 与 Y 独立,可以证
21、明)(),(22 12nYnX的概率密度函数为21 / nYnXF 0, 00,1222 )(22112221212121 11yyynnynn nnnnyfnn nn我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1,第二个自由度为 n2的 F 分布,记为 Ff(n1, n2).),(1),(12211nnFnnF第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征(1) 一维 随机 变量 的数 字特 征离散型连续型期望 期望就是平均值设 X 是离散型随机变量,其分布律为 P()kxX pk,k=1,2,n, nkkkpxXE1)((要求绝对收敛)设 X 是连续型随机变量,其概率 密度为 f(x),
22、dxxxfXE)()((要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X) nkkkpxgYE1)()(Y=g(X)dxxfxgYE)()()(方差 D(X)=EX-E(X)2, 标准差, )()(XDX kkkpXExXD2)()(dxxfXExXD)()()(2矩对于正整数 k,称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩,记为 vk,即k=E(Xk)= , k=1,2, iik ipx. 对于正整数 k,称随机变量 X 与 E(X)差的 k 次幂的数学 期望为 X 的 k 阶中心矩,记为,即k.)(k kXEXE=, iik ipXEx)(k=1,2, .对于正整数 k,称随机变量
23、X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶 原点矩,记为 vk,即k=E(Xk)=,)(dxxfxkk=1,2, . 对于正整数 k,称随机变量 X 与 E(X)差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩,记为,即k.)(k kXEXE=,)()(dxxfXExkk=1,2, .切比雪夫不等式设随机变量 X 具有数学期望 E(X)=,方差 D(X)=2,则对于 任意正数 ,有下列切比雪夫不等式22 )(XP切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下,对概率)(XP的一种估计,它在理论上有重要意义。(2) 期望 的性 质(1)E(C)=C (2)E(CX)=CE(X)(3)E(X+Y
24、)=E(X)+E(Y), niniiiiiXECXCE11)()((4)E(XY)=E(X) E(Y),充分条件:X 和 Y 独立;充要条件:X 和 Y 不相关。(3) 方差 的性 质(1)D(C)=0;E(C)=C (2)D(aX)=a2D(X); E(aX)=aE(X) (3)D(aX+b)= a2D(X); E(aX+b)=aE(X)+b(4)D(X)=E(X2)-E2(X) (5)D(XY)=D(X)+D(Y),充分条件:X 和 Y 独立;充要条件:X 和 Y 不相关。D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。 而 E(X+Y)=E(X)+E(Y),
25、无条件成立。期望方差0-1 分布), 1 (pBp)1 (pp二项分布),(pnBnp)1 (pnp泊松分布)(P几何分布)(pGp121 pp超几何分布),(NMnHNnM 11NnN NM NnM均匀分布),(baU2ba 12)(2ab 指数分布)(e121 正态分布),(2N2分布2n2n(4) 常见 分布 的期 望和 方差t 分布0(n2)2nn期望 niiipxXE1)( njjjpyYE1)(dxxxfXEX)()(dyyyfYEY)()(函数的期望),(YXGE ijijjipyxG),(),(YXGE dxdyyxfyxG),(),(方差 iiipXExXD2)()(jjjp
26、YExYD2)()(dxxfXExXDX)()()(2dyyfYEyYDY)()()(2(5) 二维 随机 变量 的数 字特 征协方差对于随机变量 X 与 Y,称它们的二阶混合中心矩为 X 与 Y 的协11方差或相关矩,记为,即),cov(YXXY或).()(11YEYXEXEXY与记号相对应,X 与 Y 的方差 D(X)与 D(Y)也可分别记为XY与。XXYY相关系数对于随机变量 X 与 Y,如果 D(X)0, D(Y)0,则称)()(YDXDXY为 X 与 Y 的相关系数,记作(有时可简记为) 。XY|1,当|=1 时,称 X 与 Y 完全相关:1)(baYXP完全相关 ,时负相关,当,时
27、正相关,当)0(1)0(1aa而当时,称 X 与 Y 不相关。0以下五个命题是等价的:;0XYcov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 YYYXXYXX 混合矩对于随机变量 X 与 Y,如果有存在,则称之为 X 与 Y 的)(lkYXEk+l阶混合原点矩,记为;k+l阶混合中心矩记为:kl.)()(lk klYEYXEXEu(6) 协方 差的 性质(i)cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii)cov(X1+X2, Y)=cov
28、(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). (7) 独立 和不 相关(i)若随机变量 X 与 Y 相互独立,则;反之不真。0XY(ii)若(X,Y)N() ,,2 22 121则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理切比雪 夫大数 定律设随机变量 X1,X2,相互独立,均具有有限方差,且被同 一常数 C 所界:D(Xi)C(i=1,2,),则对于任意的正数 ,有. 1)(11lim11 niiniinXEnXnP特殊情形:若 X1,X2,具有相同的数学期望 E(XI)
29、=,则上式成为. 11lim1 niinXnP伯努利 大数定 律设 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 在每次试验中发生的概率,则对于任意的正数 ,有. 1lim pnP n伯努利大数定律说明,当试验次数 n 很大时,事件 A 发 生的频率与概率有较大判别的可能性很小,即. 0lim pnP n这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。(1)大数定律X辛钦大 数定律设 X1,X2,Xn,是相互独立同分布的随机变量序列,且 E(Xn)=,则对于任意的正数 有. 11lim1 niinXnP(2)中心极限定 理),(2nNX列维 林德伯 格定理设随机变量 X1,X2,相互独立,
30、服从同一分布,且具 有相同的数学期望和方差:,则随机变量), 2 , 1(0)(,)(2kXDXEkknnX Ynkkn 1的分布函数Fn(x)对任意的实数x,有 xtnkknnndtex nnX PxF. 21lim)(lim212此定理也称为独立同分布独立同分布的中心极限定理。棣莫弗 拉普 拉斯定 理设随机变量为具有参数 n, p(0p1)的二项分布,则对于nX任意实数 x,有 xt nndtex pnpnpXP. 21)1 (lim22(3)二项定理若当,则),(,不变时knpNMNknkk nn Nkn MNk MppCCCC )1 ().(N超几何分布的极限分布为二项分布。(4)泊松
31、定理若当,则0,npn时ekppCk knkk n!)1 ().(n其中 k=0,1,2,n,。 二项分布的极限分布为泊松分布。第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布总体在数理统计中,常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全 体称为总体(或母体) 。我们总是把总体看成一个具有分布的 随机变量(或随机向量) 。个体总体中的每一个单元称为样品(或个体) 。样本我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。样本nxxx,21中所含的样品数称为样本容量,一般用 n 表示。在一般情况下, 总是把样本看成是 n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机 变量,这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时,
32、表示 n 个随机变量(样本) ;在具体的一nxxx,21次抽取之后,表示 n 个具体的数值(样本值) 。nxxx,21我们称之为样本的两重性。(1)数理 统计的基 本概念样本函数和 统计量设为总体的一个样本,称nxxx,21()nxxx,21为样本函数,其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数,则称()为一个统计量。nxxx,21常见统计量 及其性质样本均值.11 niixnx样本方差 niixxnS122.)(11样本标准差.)(1112 niixxnS样本 k 阶原点矩 nik ikkxnM1., 2 , 1,1样本 k 阶中心矩 nik ikkxxnM1., 3 , 2,)(1,)(
33、XEnXD2 )(,,22)(SE221)*(nnSE其中,为二阶中心矩。 niiXXnS122)(1*正态分布设为来自正态总体的一个样本,则样nxxx,21),(2N本函数).1 , 0( /N nxudef(2)正态 总体下的 四大分布t 分布设为来自正态总体的一个样本,则样nxxx,21),(2N本函数),1(/ntnsxtdef其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。分布2设为来自正态总体的一个样本,则样nxxx,21),(2N本函数),1() 1(2 22 nSnwdef其中表示自由度为 n-1 的分布。) 1(2n2F 分布设为来自正态总体的一个样本,而nxxx,21
34、),(2 1N为来自正态总体的一个样本,则样本nyyy,21),(2 2N函数),1, 1(/212 22 22 12 1nnFSSFdef其中,)(112112 11 niixxnS;)(112122 22 niiyynS表示第一自由度为,第二自由度为) 1, 1(21nnF11n的 F 分布。12n(3)正态 总体下分 布的性质与独立。X2S第七章第七章 参数估计参数估计(1) 点估计矩估计设总体 X 的分布中包含有未知数,则其分布函数可以表m,21成它的 k 阶原点矩中).,;(21mxF), 2 , 1)(mkXEvk k也包含了未知参数,即。又设m,21),(21mkkvv为总体 X
35、 的 n 个样本值,其样本的 k 阶原点矩为nxxx,21 nik ixn11)., 2 , 1(mk这样,我们按照“当参数等于其估计量时,总体矩等于相应的样本矩” 的原则建立方程,即有nim immniimniimxnvxnvxnv12112 2121211.1),(,1),(,1),(由上面的 m 个方程中,解出的 m 个未知参数即为参数),(21m()的矩估计量。m,21若为的矩估计,为连续函数,则为的矩估计。 )(xg)(g)(g极大似 然估计当总体 X 为连续型随机变量时,设其分布密度为,其中为未知参数。又设),;(21mxfm,21为总体的一个样本,称nxxx,21),;(),(1
36、1122 nimimxfL为样本的似然函数,简记为Ln. 当总体 X 为离型随机变量时,设其分布律为,则称),;(21mxpxXP),;(),;,(1111222 nimimnxpxxxL为样本的似然函数。若似然函数在处取),;,(2211mnxxxLm ,21到最大值,则称分别为的最大似然估计值,m ,21m,21相应的统计量称为最大似然估计量。miLiiin, 2 , 1, 0ln 若为的极大似然估计,为单调函数,则为的极 )(xg)(g)(g大似然估计。无偏性 设为未知参数的估计量。若 E ()=,则),(21nxxx 称 为的无偏估计量。 E()=E(X) , E(S2)=D(X)X(
37、2) 估计量 的评选 标准有效性 设和是未知参数),(2111nxxx ),(2122nxxx 的两个无偏估计量。若,则称有效。)()(21 DD21 比一致性 设是的一串估计量,如果对于任意的正数,都有n , 0)|(|limn nP则称为的一致估计量(或相合估计量) 。n 若为的无偏估计,且则为的一致估计。 ),(0)(nD 只要总体的 E(X)和 D(X)存在,一切样本矩和样本矩的连续函数都是相 应总体的一致估计量。置信区 间和置 信度设总体 X 含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出发,找出两个统计量与nxxx,21),(2111nxxx,使得区间以),(2122nxxx)(21,2
38、1的概率包含这个待估参数,即) 10(1,121P那么称区间为的置信区间,为该区间的置信度(或置,211信水平) 。设为总体的一个样本,在置信度为nxxx,21),(2NX下,我们来确定的置信区间。具体步骤如下:12和,21(i)选择样本函数;(ii)由置信度,查表找分位数;1(iii)导出置信区间。,21(3) 区间估 计单正态 总体的 期望和 方差的 区间估 计已知方差,估计均值(i)选择样本函数).1 , 0( /0N nxu (ii) 查表找分位数.1/0 nxP(iii)导出置信区间 nx nx00,未知方差,估计均值(i)选择样本函数).1( /nt nSxt(ii)查表找分位数.
39、1 / nSxP(iii)导出置信区间 nSx nSx,方差的区间估计(i)选择样本函数).1() 1(2 22 nSnw(ii)查表找分位数.1) 1(2221 SnP(iii)导出的置信区间 SnSn121,1 第八章第八章 假设检验假设检验基本思想假设检验的统计思想是,概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是 不会发生的,即小概率原理。 为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个 假定导致了一个不合理的事件发生,那就表明原来的假定H0是不正确的,我 们拒绝接受H0;如果由此没有导出不合理的现象,则不能拒绝接受H0,我们 称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假
40、设,用H1表示。这里所说的小概率事件就是事件,其概率就是检验水平 ,通RK 常我们取 =0.05,有时也取 0.01 或 0.10。基本步骤假设检验的基本步骤如下: (i)提出零假设H0; (ii)选择统计量K; (iii)对于检验水平 查表找分位数 ;(iv)由样本值计算统计量之值K;nxxx,21将进行比较,作出判断:当时否定H0,否则认为与 K)(| KK或H0相容。第一类错误当H0为真时,而样本值却落入了否定域,按照我们规定的 检验法则,应当否定H0。这时,我们把客观上H0成立判为 H0为不成立(即否定了真实的假设) ,称这种错误为“以真 当假”的错误或第一类错误,记为犯此类错误的概率
41、, 即 P否定H0|H0为真=; 此处的 恰好为检验水平。第二类错误当H1为真时,而样本值却落入了相容域,按照我们规定的 检验法则,应当接受H0。这时,我们把客观上H0。不成立 判为H0成立(即接受了不真实的假设) ,称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误,记为犯此类错误的概率,即P接受H0|H1为真=。两类错误两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是,当容量 n 一定时,变小,则变大;相反地,变小,则变大。取定要想使变小,则必须增加样本容量。在实际使用时,通常人们只能控制犯第一类错误的概 率,即给定显著性水平 。 大小的选取应根据实际情况 而定。当我们宁可“以假为真” 、而不愿“以真当假”时, 则应把 取得很小,如 0.01,甚至 0.001。反之,则应把 取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验条件零假设统计量对应样本 函数分布否定域00:H 21| uu00:H1uu已知200:HnxU /00 N(0,1)1uu00:H) 1(|21 ntt00:H) 1(1ntt未知200:HnSxT /0) 1( nt) 1(1ntt22 0:H) 1() 1(22122 nwnw或2 02 0:H) 1(2 1nw未知22 02 0:H2 02) 1( Snw) 1(2n) 1(2nw
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