概率统计学大题题型资料.doc
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1、题型一题型一 直方图直方图 (湖北理17) (本小题满分 12 分)在生产过程中,测得纤维产品的纤度(表示纤维粗 细的一种量)共有 100 个数据,将数据分组如右表: (I)在答题卡上完成频率分布表,并在给定的坐标系中画出频率分布直方图;(II)估计纤度落在中的概率及纤度小于的概率是多少?1.381.50),1.40(III)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间的中点1.301.34),值是)作为代表据此,估计纤度的期望1.32解:()()纤度落在中的概率约为,纤度小于 1.40 的概1.381.50,0.300.290.100.69分组频数频率 1.301.34,40.041
2、.341.38,250.251.381.42,300.301.421.46,290.291.461.50,100.101.501.54,20.02合计1001.00样本数据频率/组距1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54率约为10.040.250.300.442()总体数据的期望约为 1.32 0.04 1.36 0.25 1.40 0.30 1.44 0.29 1.48 0.10 1.52 0.021.4088变式变式 (2009广广东东卷卷 理理)根据空气质量指数 API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:对某城市一年(365 天)的空气质量进行监测,获
3、得的 API 数据按照区间50, 0,100,50(,150,100(,200,150(,250,200(,300,250(进行分组,得到频率分布直方图如图 5. (1)求直方图中x的值; (2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数;(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示已知7812557,12827,3652 18253 182579125123 91258 18253,573365)解:(1)由图可知150x3652 18253(18257509125123150)91258 18253,解得18250119x;(2)219)503652501
4、8250119(365;(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为53 3652195036525018250119,则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为52 531,一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为7812576653)53()52()53()52(1166 7077 7CC.3.(2009 浙江卷理) (本题满分 14 分)在1,2,3,9这9个自然数中,任取3个数(I)求这3个数中恰有1个是偶数的概率;(II)设为这3个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的数1,2和2,3,此时的值是2) 求随机变量的分布列及其数学期望E解析:(I)记“
5、这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A,则12 45 3 910( )21C CP AC;. (II)随机变量的取值为0,1,2,的分布列为012P5 121 21 12所以的数学期望为5112012122123E . 题型二题型二 抽样问题抽样问题例题例题 (2009 山东卷文) 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车 A轿车 B轿车 C舒适型100150z标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆.(1)求 z 的值. (2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中
6、抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率;(3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.解: (1).设该厂本月生产轿车为 n 辆,由题意得,5010 100300n,所以 n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400(2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类
7、轿车中抽取一个容量为5 的样本,所以400 10005m,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车,分别记作 S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有7 个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2
8、),所以从中任取 2 辆,至少有 1 辆舒适型轿车的概率为7 10.(3)样本的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x ,那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0 这 6 个数,总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为75. 086.【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.变式变式 (2009 天津卷文)为了了解某工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方
9、法从 A,B,C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查,已知 A,B,C 区中分别有 18,27,18 个工厂()求从 A,B,C 区中分别抽取的工厂个数;()若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比,用列举法计算这 2个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率。【答案】(1) 2,3,2(2) 2111【解析】 (1)解: 工厂总数为 18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数比为91 637,所以从 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,2.(2)设21, AA为在 A 区中抽得的 2 个工厂,321,BBB为在 B 区中抽得的 3 个工厂,21,CC为在
10、C 区中抽得的 2 个工厂,这 7 个工厂中随机的抽取 2 个,全部的可能结果有:2 7C种,随机的抽取的 2 个工厂至少有一个来自 A 区的结果有),(21AA,),(21BA),(11BA),(31BA),(21CA),(11CA,同理2A还能组合 5 种,一共有 11 种。所以所求的概率为2111112 7C【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识,考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。题型三题型三 等等可能事件的概率可能事件的概率 在一次实验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A 包含的结果有
11、 m 个,那么 P(A)= 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计nm算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际 问题的能力。 例题例题 1 1(20102010 湖南)湖南)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中,抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表(单位:人)()求 x,y ; ()若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这二人都来自高校 C 的概率。解 ()由题意可得所以,2 183654xy1,3xy()记从高校 B 中抽取的 2 人为,从高校 C 中抽取的 3 人为则12,b b123,C C C从
12、高校 B、C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有() , () , (12,b b11,b c) , () , () , () , () ,共 1012,b c23,b c21,b c22,b c23,b c12(,)C C13(,)C C23(,)C C种,设选中的 2 人都来自高校 C 的事件为 X,则 X 包含的基本事件有,12(,)C C,共 3 种,因此故选中的 2 人都来自高校 C 的概率为13(,)C C23(,)C C3()10p X 3 10变式变式 1 1(20102010 江苏江苏)某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为80%,二等品率为 20%;乙产
13、品的一等品率为 90%,二等品率为 10%。生产 1件甲产品,若是一等品则获得利润 4 万元,若是二等品则亏损 1 万元;生产 1件乙产品,若是一等品则获得利润 6 万元,若是二等品则亏损 2 万元。设生产各种产品相互独立。 ()记 X(单位:万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润,求 X 的分布列;()求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。解:(1)由题设知,X 的可能取值为 10,5,2,-3,且 P(X=10)=0.80.9=0.72, P(X=5)=0.20.9=0.18, P(X=2)=0.80.1=0.08 ,P(X=-3)=0.20.1=0.
14、02。 由此得 X 的分布列为:X1052来源:学科网ZXXK-3P0.720.180.080.02(2)设生产的 4 件甲产品中一等品有件,则二等品有件。n4n由题设知,解得, 又,得,或。4(4)10nn14 5n nN3n 4n 所求概率为334 40.80.20.80.8192PC答:生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。变式变式 2 2 (20102010 福建福建)设平面向量 a m =(m,1) ,b n =(2,n) ,其中m,n1,2,3,4.(I)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果;(II)记“使 得 a m (a mb n) 成立的(
15、m,n) ”为事件 A,求事件 A 发生的概率. 解:()有序数组(m,n)的吧所有可能结果为:(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4)共 16 个.()由得,即. 由于1,2,3,4 ,()mmnaab221mmno 2(1)nm,m n故事件 A 包含的基本条件为(2,1)和(3,4) ,共 2 个.又基本事件的总数为16,故所求的概率.21( )168P A 题型四题型四 互斥事件
16、至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算不可能同时发生的两个事件 A、B 叫做互斥事件,它们至少有一个发生的事件为 A+B,用概率的加法公式计算。事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或)()()(BPAPBAPA)发生的概率没有影响,则 A、B 叫做相互独立事件,它们同时发生的事件为。用概BA率的法公式计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个 BPAPBAP事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。必有一个发生的两个互斥事件 A、B 叫做互为对立事件。即或。至少、至多问题常使用“正难则反”的策略求解.用 AB BA概率的减法公式
17、计算其概率。高考常结合射击、电路、交通等问题对对 _ 1APAP立事件的判断识别及其概率计算进行考查。 例题例题 1(2005 全国卷全国卷)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在 某一小时内,甲、乙都需要照顾的概率为 0.05,甲、丙都需要照顾的概率为 0.1,乙、丙都 需要照顾的概率为 0.125, ()求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少; ()计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. 解:()记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A、B、C,1 分 则 A、B、C 相互独立,由题意得: P(AB)=P(A)P(B)=0.05 P(AC)=
18、P(A)P(C)=0.1 P(BC)=P(B)P(C)=0.1254 分 解得:P(A)=0.2;P(B)=0.25;P(C)=0.5 所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是 0.2、0.25、0.56 分()A、B、C 相互独立,相互独立,7 分A B C、甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为10 分()( ) ( ) ( )0.8 0.75 0.50.3P A B CP A P B P C这个小时内至少有一台需要照顾的概率为12 分1()1 0.30.7pP A B C 变式变式 1 (2005 福建卷文)福建卷文)甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为
19、.52 21与()甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率; ()甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中的概率. 解:()依题意,记“甲投一次命中”为事件 A, “乙投一次命中”为事件 B,则.53)(,21)(,52)(,21)(BPAPBPAP甲、乙两人在罚球线各投球一次,恰好命中一次的概率为.21()事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为1009 53 53 21 21P甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率.10091 100911PP答:甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为.10091“甲、乙两人各投球一次,恰好命中
20、一次”的事件为BABA13121()()().25252P A BA BP A BP A B变式变式 2 (06 四川卷)四川卷)某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格” ,两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格” ,甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为;在实验考核中合格的概率分别为,0.9,0.8,0.70.8,0.7,0.9所有考核是否合格相互之间没有影响 ()求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率; ()求这三人该课程考核都合格的概率。 (结果保留三位小数)解:解:记“甲理论考核合格”为事件;“乙理论考核合格”为事件;“丙理论考核合1A2
21、A格”为事件;记为的对立事件,;记“甲实验考核合格”为事件;3AiAiA1,2,3i 1B“乙实验考核合格”为事件;“丙实验考核合格”为事件;2B3B()记“理论考核中至少有两人合格”为事件,记为的对立事件CCC解法 1: 123123123123P CP A A AA A AA A AA A A123123123123P A A AP A A AP A A AP A A A0.9 0.8 0.30.9 0.2 0.70.1 0.8 0.70.9 0.8 0.70.902解法 2: 1P CP C 1231231231231P A A AA A AA A AA A A 123123123123
22、1P A A AP A A AP A A AP A A A 10.1 0.2 0.30.9 0.2 0.30.1 0.8 0.30.1 0.2 0.7 1 0.098 0.902所以,理论考核中至少有两人合格的概率为0.902 ()记“三人该课程考核都合格” 为事件D 112233P DPA BABAB112233P A BP ABP A B 112233P AP BP AP BP AP B0.9 0.8 0.8 0.8 0.7 0.9 0.254016 0.254所以,这三人该课程考核都合格的概率为0.254题型五题型五 独立重复试验概率独立重复试验概率若在次重复试验中,每次试验结果的概率都
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