非常全面地《概率论与数理统计》复习计划材料.doc
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1、概率论与数理统计概率论与数理统计复习大纲复习大纲第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率随机试验 E-指试验可在相同条件下重复进行,试验的结果具有多种可能性(每次试验有且仅有一个结果出现,且事先知道试验可能出现的一切结果,但不能预知每次试验的确切结果。样本点 -随机试验 E 的每一个可能出现的结果样本空间 -随机试验 E 的样本点的全体随机事件-由样本空间中的若干个样本点组成的集合,即随机事件是样本空间的一个子集。基本概念必然事件-每次试验中必定发生的事件。 不可能事件 -每次试验中一定不发生的事件。事件之间的关系包含 AB相等 A=B对立事件,也称 A 的逆事件互斥事件 AB= 也称不相容
2、事件A,B 相互独立 P(AB)=P(A)P(B)例例 1 事件 A,B 互为对立事件等价于( D )A、A,B 互不相容 B、A,B 相互独立 C、AB D、A,B 构成对样本空间的一个剖分例例 2 设 P(A)=0,B 为任一事件,则( C )A、A= B、AB C、A 与 B 相互独立 D、A 与 B 互不相容事件的交 AB 或 AB事件的并 AB事件的差 A-B 注意: A-B = A= A-AB = (AB)-BB例例 1 设事件 A、B 满足 A =,由此推导不出 (D)B A、AB B、 C、AB=B D、AB=BA B 例例 2 若事件 B 与 A 满足 B A=B,则一定有
3、(B)A、A= B、AB= C、A = D、B=B A 事件之间的运算A1,A2,An构成 的一个完备事件组(或分斥)指 A1,A2,An两两互不相容,且Ai=i = 1n运算法则交换律 AB=BA AB=BA结合律(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 分配律(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)对偶律 = =A BABA BAB文氏图 事件与集合论的对应关系表记号概率论集合论样本空间,必然事件全集不可能事件空集基本事件元素A事件全集中的一个子集AA 的对立事件A 的补集AB事件 A 发生导致事件 B 发生A 是 B 的子集A=B事件 A 与事件 B 相等A 与
4、B 相等AB事件 A 与事件 B 至少有一个发生A 与 B 的并集AB事件 A 与事件 B 同时发生A 与 B 的交集A-B事件 A 发生但事件 B 不发生A 与 B 的差集AB=事件 A 与事件 B 互不相容(互斥)A 与 B 没有相同的元素古典概型的前提是 =1, 2, 3, n, n 为有限正整数,且每个样本点 i出现的可能性相等。 古典概型P(A)= =A包含样本总个数样本点总数|A|例例 1 设 3 个球任意投到四个杯中去,问杯中球的个数最多为 1 个的事件 A1,最多为 2 个的事件 A2的概率。解解:每个球有 4 种放入法,3 个球共有 43种放入法,所以|=43=64。(1)当
5、杯中球的个数最多为 1 个时,相当于四个杯中取 3 个杯子,每个杯子恰有一个球,所以|A1|= C 3!=24;则 P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为432 个时,相当于四个杯中有 1 个杯子恰有 2 个球(C C ),另有一个杯子恰有 1 个球4132(C C ),所以|A2|= C C C C =36;则 P(A2)=36/64 =9/16 311141323111例例 2 从 1,2,9,这九个数中任取三个数,求:(1)三数之和为 10 的概率 p1;(2)三数之积为 21 的倍数的概率 p2。解解:p1=, p2= = 121314例例 1 把长度为 a
6、的棒任意折成三段,求它们可以构成一个三角形的概率。解解:设折得的三段长度分别为 x,y 和 a-x-y,那么,样本空间,S=(x,y)|0xa,0ya,0a-x-ya。而随机事件 A:”三段构成三角形”相应的区域 G 应满足两边之和大于第三边的原则,得到联立方程组,几何概型前提是如果在某一区域 任取一点,而所取的点落在 中任意两个度量相等的子区域的可能性是一样的。若 A,则 P(A)= A的度量的度量解得 00)P(AB)P(B)P(A|B)表示事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率。乘法公式乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中 P(A)0, P(B
7、)0)一般有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中 P(AB)0)全概率公式全概率公式:P(B)= P(B|Ai)P(Ai) 其中 A1,A2,An构成 的一个分斥。n i = 1贝叶斯公式贝叶斯公式:P(Ak|B)= = P(B|Ak)P(Ak)P(B)应用题例例 1 设两两相互独立的三个事件 A, B 和 C 满足条件:ABC=,P(A)=P(B)=P(C)0,则事件 A 与 B 独立 P(B|A)=P(B)2. 事件 A 与事件 B 独立 事件 A 与事件独立B 事件与事件 B 独立 事件与事件独立AAB事件 A1,A2,An相互独立-指任意 k 个事件 Ai1,Ai
8、2,Aik满足 P(Ai1Ai2Aik)=P( Ai1)P(Ai2)P(Aik),其中 k=2,3,n。可靠性元件的可靠性 P(A)=r系统的可靠性: 串联方式 P(A1A2An)=rn并联方式 P(A1A2An)=1-(1-r)n , 贝努里概型指在相同条件下进行 n 次试验;每次试验的结果有且仅有两种 A 与;各次试验是相互独立;每次试验的结果发A生的概率相同 P(A)=p, P()=1-p。A二项概率-在 n 重独立试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 b(k;n,p),则b(k;n,p)= C pk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,n)。nk第二章第二章 随机变量与概率分布
9、随机变量与概率分布随机变量的分布函数分布函数定义:F(x)=Px, -a=1-F(a), Pa=1-F(a-0), 例例 1.设随机变量 的分布函数为 F(x)= , 则 0 x b)2)指数分布 exp();密度函数 p(x)= 分布函数 F(x)= e - x x00 x 1 时,fX(x)=0; 所以 - + 0xfX(x)= 。同理当 0y1 时,fY(y)= 8xydx=4y(1-y2), 其它情况 fY(y)=0, 所以关于 Y 的边缘概率密度 fY(y)= 4x3 0x1 0 其他)y1. 因为当 0x1, 0y1 时,f(x,y) fX(x)fY(y),所以 X 与 Y 不独立
10、。4y(1 - y2) 0x1 0 其他)几条结论:1. XP(1), YP(2), 若 X 与 Y 相互独立,则 X+YP(1+2);2. XN(1,12), Y N(2,22), X 与 Y 相互独立,则 X+Y N(1+2,12+22);3.(卷积公式)设(X,Y)是二维连续型随机变量,其概率密度为 f(x,y),关于 X,Y 的边缘概率密度分别为 fX(x), fY(y),设 X 与 Y 相互独立,则 Z=X+Y 的概率密度为 fZ(z)= fX(x)fY(z-x)dx=f(x, z-x)dx 或 fZ(z)= fX(z-y)fY(y)- + - + - + dy=f(z-y, y)d
11、y.- + 两个随机变量的函数的分布例例 1:已知的联合概率分布为 , 求(1)X+Y 的概率分布;(2)XY 的概率分布。X|Y 0 1 2 0 1/4 1/10 3/10 1 3/20 3/20 1/20解:令 Z1=X+Y,则 Z1的加法表为,令 Z2=XY,则 Z2的乘法表为,X + Y 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 3XY 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2(1) Z1的分布律为, 即Z1 0 1 2 3 P 1/4 3/20 + 1/10 3/20 + 3/10 1/20Z1 0 1 2 3 P 1/4 5/20 9/20 1/20(2) Z2的分布律为, 即 Z
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