分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理带答案-).doc
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1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基础自测:15 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有_种 32解析 每位同学有两种不同的报名方法,而且只有这 5 位同学全部报名结束,才算事件完成所以共有 2222232(种)2有不同颜色的 4 件上衣与不同颜色的 3 件长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数是_ 12解析 由分步乘法计数原理,一条长裤与一件上衣配成一套,分两步,第一步选上衣有 4 种选法,第二步选长裤有 3 种选法,所以有 4312(种)选法3甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有_
2、种答案 24解析 分步完成首先甲、乙两人从 4 门课程中同选 1 门,有 4 种方法,其次甲从剩下的 3 门课程中任选 1 门,有 3 种方法,最后乙从剩下的 2 门课程中任选 1 门,有 2 种方法,于是,甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 43224(种)4用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有_个(用数字作答)答案 14解析 数字 2,3 至少都出现一次,包括以下情况:“2”出现 1 次, “3”出现 3 次,共可组成 C 4(个)四位数1 4“2”出现 2 次, “3”出现 2 次,共可组成 C 6(个)四位数2 4“2”出现 3 次,
3、“3”出现 1 次,共可组成 C 4(个)四位数3 4综上所述,共可组成 14 个这样的四位数.题型一 分类加法计数原理的应用例 1 一班有学生 50 人,男生 30 人,女生 20 人;二班有学生 60 人,男生 30 人,女生 30 人;三班有学生 55 人,男生 35 人,女生 20 人(1)从一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从一班、二班男生中,或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长,有多少种不同的选法?思维启迪 用分类加法计数原理解 (1)完成这件事有三类方法第一类,从高三一班任选一名学生共有 50 种选法;第二类,从高三二班任选一名学生共有 60
4、 种选法;第三类,从高三三班任选一名学生共有 55 种选法,根据分类加法计数原理,任选一名学生任校学生会主席共有 506055165(种)选法(2)完成这件事有三类方法第一类,从高三一班男生中任选一名共有 30 种选法;第二类,从高三二班男生中任选一名共有 30 种选法;第三类,从高三三班女生中任选一名共有 20 种选法综上知,共有 30302080(种)选法思维升华 分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次分类时要注意满足一个基本要求,就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,只有满足这些条件,才可以
5、用分类加法计数原理(1)在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的两位数有多少个?(2)方程1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,其中 m1,2,3,4,5,n1,2,3,4,5,6,7,那么这样x2my2n的椭圆有多少个?解 (1)分析个位数字,可分以下几类:个位是 9,则十位可以是 1,2,3,8 中的一个,故有 8 个;个位是 8,则十位可以是 1,2,3,7 中的一个,故有 7 个;同理,个位是 7 的有 6 个;个位是 6 的有 5 个;个位是 2 的只有 1 个由分类加法计数原理,满足条件的两位数有1234567836(个)(2)以 m 的值为标准分类,分为五类第一类:m1 时,使 nm,
6、n 有 6 种选择;第二类:m2 时,使 nm,n 有 5 种选择;第三类:m3 时,使 nm,n 有 4 种选择;第四类:m4 时,使 nm,n 有 3 种选择;第五类:m5 时,使 nm,n 有 2 种选择共有 6543220(种)方法,即有 20 个符合题意的椭圆题型二 分步乘法计数原理的应用例 2 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法?(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项,每项人数不限;(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限思维启迪 可以根据报名过程,使用分步乘法计数原理解 (1)每人都可以从这三
7、个比赛项目中选报一项,各有 3 种不同选法,由分步乘法计数原理,知共有选法 36729(种)(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有 6 种选法,第二个项目有 5 种选法,第三个项目只有 4 种选法,由分步乘法计数原理,得共有报名方法654120(种)(3)由于每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,由分步乘法计数原理,得共有不同的报名方法 63216(种)思维升华 利用分步乘法计数原理解决问题:要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的;各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成了才算完成这件事已知集合 M3,2,1,0,1
8、,2,若 a,b,cM,则:(1)yax2bxc 可以表示多少个不同的二次函数;(2)yax2bxc 可以表示多少个图象开口向上的二次函数解 (1)a 的取值有 5 种情况,b 的取值有 6 种情况,c 的取值有 6 种情况,因此 yax2bxc可以表示 566180(个)不同的二次函数(2)yax2bxc 的图象开口向上时,a 的取值有 2 种情况,b、c 的取值均有 6 种情况,因此yax2bxc 可以表示 26672(个)图象开口向上的二次函数题型三 两个原理的综合应用例 3 如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的
9、染色方法总数思维启迪 染色问题是常见的计数应用问题,可从选颜色、选顶点进行分类、分步,从不同角度解决问题解 方法一 可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可得出结论由题设,四棱锥 SABCD 的顶点 S、A、B 所染的颜色互不相同,它们共有 54360(种)染色方法当 S、A、B 染好时,不妨设其颜色分别为 1、2、3,若 C 染 2,则 D 可染 3 或 4 或 5,有 3 种染法;若 C 染 4,则 D 可染 3 或 5,有 2 种染法;若 C 染 5,则 D 可染 3 或 4,有 2 种染法可见,当 S、A、B 已染好时,C、
10、D 还有 7 种染法,故不同的染色方法有 607420(种)方法二 以 S、A、B、C、D 顺序分步染色第一步,S 点染色,有 5 种方法;第二步,A 点染色,与 S 在同一条棱上,有 4 种方法;第三步,B 点染色,与 S、A 分别在同一条棱上,有 3 种方法;第四步,C 点染色,也有 3 种方法,但考虑到 D 点与 S、A、C 相邻,需要针对 A 与 C 是否同色进行分类,当 A 与 C 同色时,D 点有 3 种染色方法;当 A 与 C 不同色时,因为 C 与 S、B 也不同色,所以 C 点有 2 种染色方法,D 点也有 2 种染色方法由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有 54
11、3(1322)420(种)方法三 按所用颜色种数分类第一类,5 种颜色全用,共有 A 种不同的方法;5 5第二类,只用 4 种颜色,则必有某两个顶点同色(A 与 C,或 B 与 D),共有 2A 种不同的方4 5法;第三类,只用 3 种颜色,则 A 与 C、B 与 D 必定同色,共有 A 种不同的方法3 5由分类加法计数原理,得不同的染色方法总数为A 2A A 420(种)5 54 53 5思维升华 用两个计数原理解决计数问题时,关键是明确需要分类还是分步(1)分类要做到“不重不漏” ,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数(2)分步要做到“步骤完整” ,只有完成了
12、所有步骤,才完成任务,根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数(3)对于复杂问题,可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的 4 个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?解 如图所示,将 4 个小方格依次编号为 1,2,3,4,第 1 个小方格可以从5 种颜色中任取一种颜色涂上,有 5 种不同的涂法当第 2 个、第 3 个小方格涂不同颜色时,有 A 12(种)不同的涂法,2 4第 4 个小方格有 3 种不同的涂法由分步乘法计数原理可知,有5123180(种)不同的涂
13、法;当第 2 个、第 3 个小方格涂相同颜色时,有 4 种涂法,由于相邻方格不同色,因此,第 4 个小方格也有 4 种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有 54480(种)不同的涂法由分类加法计数原理可得,共有 18080260(种)不同的涂法A 组 专项基础训练一、选择题1从集合1,2,3,10中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为( )A3 B4 C6 D8解析 按从小到大顺序有 124,139,248,469 共 4 个,同理按从大到小顺序也有 4 个,故这样的等比数列的个数为 8 个2. 现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的
14、 两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有( )A24 种 B30 种 C36 种 D48 种解析 共有 432248(种),故选 D.3集合 Px,1,Qy,1,2,其中 x,y1,2,3,9,且 PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是( )A9 B14 C15 D21解析 当 x2 时,xy,点的个数为 177(个);当 x2 时,xy,点的个数为 717(个),则共有 14 个点,故选 B.4(2013山东)用 0,1,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A243 B252 C261 D279解析 0,1,2,9 共能组成
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