高等代数(北大版.)第6章习题参考.答案.doc
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1、第六章 线性空间1.设证明:。,NM ,MNM MNN证证 任取由得所以即证。又因,M,NM ,N,NM MNM故。再证第二式,任取或但因此无论,MNMMNMM,N,NM 哪 一种情形,都有此即。但所以。,N,NMNMNN2.证明,。)()()(LMNMLNM)()()(LMNMLNM证证 则在后一情形,于是),(LNMx. LNxMx且所以,由此得. LMxNMx或)()(LMNMx。反之,若,则)()()(LMNMLNM)()(LMNMx在前一情形,因此故得. LMxNMx或,NxMx. LNx在后一情形,因而,得故),(LNMx,LxMxxNL),(LNMx),()()(LNMLMNM于
2、是。)()()(LMNMLNM若。xMNLMNL(),则x,x在前一情形 X, 。xMNXML且,xMN因而()(M L),NLxMNXML MNMMNMN 在后一情形,x, x因而且,即X (M N )(M L)所以()(M L)(N L)故 (L)=()(M L)即证。3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间: 1) 次数等于 n(n1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法; 2) 设 A 是一个 nn 实数矩阵,A 的实系数多项式 f(A)的全体,对于矩阵的加法和数 量乘法; 3) 全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法; 4) 平面上
3、不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法; 5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:21212112 111 2babaabba ak kba1111(a,)(,)()k。(a,)=(ka,kb +6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:;0k a 7) 集合与加法同 6) ,数量乘法定义为: ;k aa 8) 全体正实数 r,加法与数量乘法定义为:,;ababkk aa解 1)否。因两个 n 次多项式相加不一定是 n 次多项式,例如。523nnxx ()()2)令 V=f(A)|f(x)为实数多项式,A 是 nn 实矩阵 因为f(x)+g(x)=h(x)
4、,kf(x)=d(x) 所以f(A)+g(A)=h(A) ,kf(A)=d(A) 由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的 18 条,故 v 构成线性空间。3)矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的 18 条性质,只需证明对称矩阵(上三 角矩阵,反对称矩阵)对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明:当 A,B 为反对称矩阵,k 为任意一实数时,有,A+B 仍是反对称矩阵。(A+B)=A+B=-A-B=-(A+B),所以 kA 是反对称矩阵。KAKAKAKA ()()() 故反对称矩阵的全体构成线性空间。 4)否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5)不难
5、验证,对于加法,交换律,结合律满足, (0,0)是零元,任意(a,b)的负元是(-a,-b) 。对于数乘:2a222222221(1 1)111)( , ),2 (1)(1)(1).( .( , ).( ,)(, 2() )222 (1)(1)(1)(1)(, () )(,() )2222 (1)(,)().( , ),2(ababaa bl ll lk kk l a bk la lbakla k lbalal lk kkl klk kkla k lbalaklaalakl klklaaklbkla b。(,)(。,。2222222()(1).( , )() ,() 2 (1)(1).( ,
6、).( , )(,)( ,22 (1)(1)(,)22 (1)(1)() ,() .2kl klkla bkl aakl bk kl lk a bl a bka kbala lbak kk kkala kbaaklakklkl aakl b 即。),(),(),()(balbakbalk),(),(),(2121212211aabbaakbabak,)(2) 1(),(2 21212121aakkaabbkaak),()(221, 1bakbak)2) 1(,()2) 1(,(2 2222 111akkkbkaakkkbka)2) 1( 2) 1(,(2122 222 1121aakakkkb
7、akkkbkaka)2) 1( 2) 1()(),(212122 22 1212121aakaakakkakkaabbkaak,)(2) 1()(),(22 22 1212121aakkaabbkaak即,所以,所给集合构成线性空间。),(),(2211babak ),()(221, 1bakbak6)否,因为。.01 7)否,因为,)()()(,2,)(lklklklk所以所给集合不满足线性空间的定义。 8)显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的,满足1); )()()()();)111; 1111):1,1;)1;)()()()();)()()();)()llklkklk lkli
8、ababbaba ii abcabcabcabcabciiiaaaiv aaaaaaaa vaaavi kl akaaaaklavii klaaaakalaviii kab 是零元:的负元是且()()()().kkkkababa bk ak b所以,所给集合构成线性空间。R4 在线性空间中,证明:1) 2)。00 kkkk)(证证 1)。00)() 1()()(0kkkkkkkk2)因为。()(),()kkkkkkk所以5 证明:在实函数空间中,1,式线性相关的。tt2cos,cos2证证 因为,所以 1,式线性相关的。1cos22cos2tttt2cos,cos26 如果是线性空间中三个互素
9、的多项式,但其中任意两个都不互)(),(),(321xfxfxfxP素,那么他们线性无关。证证 若有不全为零的数使,321,kkk0)()()(332211xfkxfkxfk不妨设则,这说明的公因式也是, 01k)()()(3 13 2 12 1xfkkxfkkxf)(),(32xfxf的因式,即有非常数的公因式,这与三者互素矛盾,所以)(1xf)(),(),(321xfxfxf线性无关。)(),(),(321xfxfxf7 在中,求向量在基下的坐标。设4P4321,1);) 1 , 1 , 2 , 1 (),1 , 1, 1, 1 (),11 , 1, 1 (),1, 1, 1 , 1 ()
10、,1 , 1 , 1 , 1 (43212)。) 1 , 0 , 0 , 0(),1, 1, 1 , 0(),0 , 0 , 1 , 1 (),1 , 3 , 1 , 2(),1 , 0 , 1 , 1 (4321解解 1)设有线性关系,则,4321dcba 1121dcbadcbadcbadcba可得在基下的坐标为。4321,41,41,41,45dcba2)设有线性关系,则,4321dcba 103002dbadbdcbacba可得在基下的坐标为。4321,0, 1, 0, 1dcba8求下列线性空间的维数于一组基:1)数域 P 上的空间 P;2)P中全体对称(反对nnnn称,上三角)矩阵
11、作成的数域 P 上的空间;3)第 3 题 8)中的空间;4)实数域上由矩阵 A 的全体实系数多项式组成的空间,其中 A=。, 00000012231i解 1)的基是且。nnP),.,2 , 1,(njiEij2dim()n nPn2) i)令,即其余元素均为零,则 .1.1.ijF, 1jiijaa是对称矩阵所成线性空间 的一组基,所以是nnnnFFFFF,.,.,.,222,111nMnM维的。2) 1( nnii)令,即其余元素均为零,则 .1.1.ijG),( , 1jiaajiij是反对称矩阵所成线性空间的一组基, 所以它是nnnnGGGGG, 1223,112,.,.,.,nS维的。
12、2) 1( nniii) 是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是nnnnEEEEE,.,.,.,222,111维的。2) 1( nn3)任一不等于 1 的正实数都是线性无关的向量,例如取 2,且对于任一正实数,可经 2 线性a表出,即.,所以此线性空间是一维的,且 2 是它的一组基。2)(log2aa 4)因为,所以,231i13 23,13,3, 12qnqnqnn于是, 而。EAA 111,1322 23,13,3,2qnAqnAqnE An9.在中,求由基,到基的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐4P, 1,4324321,标。设, 1 , 0 , 0 , 0 0 , 1 , 0 , 0
13、 0 , 0 , 1 , 0 0 , 0 , 0 , 114321 3 , 1 , 6 , 6 1 , 2 , 3 , 5 0 , 1 , 3 , 0 1 , 1, 1 , 24321在下的坐标;4321,xxxx4321,, 1 , 0 , 1, 1 1 , 1 , 2 , 1 1 , 1 , 1, 1 10, 2 , 124321 2 , 1 , 3 , 1 2 , 1 , 1 , 2 2 , 2 , 1 , 0 1 , 0, 1 , 24321在下的坐标;0 , 0 , 0 , 1, 1,432, 1 , 1, 1, 1 1, 1 , 1, 11, 1, 1 , 11 , 1 , 1 ,
14、 134321 1, 1, 1 , 00 , 0 , 1 , 1 1 , 3 , 1 , 2 1 , 0 , 1 , 14321在下的坐标;1, 0 , 0 , 14321,解 ()=()=()A14321,1,4323101121163316502,1432,这里 A 即为所求由基到的过渡矩阵,将上式两边右乘得,,1,4324321,1A得 ()=(),,1432,4321,1A于是()=(),,1432,4321xxxx4321,1A4321xxxx所以在基下的坐标为,1A4321xxxx这里=。1A2726 31 91 2773200312723 31 94 271911131 94令则
15、2) 1 , 0 , 0 , 0(),0 , 1 , 0 , 0(),0 , 0 , 1 , 0(),0 , 0 , 0 , 1 (4321eeee()=()=()A,,1432,43, 21,eeee111001111212111143, 21,eeee()=()=()B,4321,43, 21,eeee222111203111120243, 21,eeee将()=()代入上式,得43, 21,eeee,1432,1A()=()B ,4321,1432,1A这里=,B=,1A138 137 132 133131 134 133 132134 133 131 135135 136 133 13
16、31A0100111010111001且即为所求由基到基的过渡矩阵,进而有BA1 , 1,4324321,=()=()0 , 0 , 0 , 143, 21,eeee0001,1432,1A0001=(),,1432,133132135133所以在下的坐标为。,1432, 133,132,135,133同,同理可得343, 21,eeee2A=B=,11111111111111111011103011110121=1A41,1111111111111111则所求由到的过渡矩阵为,1432,4321,B=。1A41041 4141043 4143 21 41 4141 21 47 43再令+b+
17、c+d,即1a234, 1110001113121011,0 , 0 , 0 , 14321dcbadcba由上式可解得在下的坐标为下的坐标为4321,。dcba, 23, 421, 21a10继第 9 题 1)求一非零向量,它在基与下有相同的,1432,4321,坐标。解 设在两基下的坐标为,则4, 321,xxxx=()=()。,1432,4321xxxx4321,4321xxxx又因为()=()=()4321,1432,3101121163316502,1432,A,所以=A(A - E)=0。4321xxxx4321xxxx4321xxxx又,0 101111321 , 0210111
18、1163216501且EA于是只要令且且,4cx, cxxcxxxcxxx263231321321解此方程组得= (c 为任意非零常数),4, 321,xxxxcccc,取 c 为某个非零常数,则所求为0c。40302010cccc11.证明:实数域作为它自身的线性空间与第 3 题 8)中的空间同构。 证 因为它们都是实数域上的一维线性空间,故同构。12.设都是线性空间的子空间,且,证明:如果的维数与的维数12,V VV12VV1V2V相等,那么。12VV证 设 dim()=r,则由基的扩充定理,可找到的一组基,因,1V1V,.,21raaa21VV 且它们的唯数相等,故,也是的一组基,所以=
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