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1、三角函数复习专题三角函数复习专题一、核心知识点归纳:一、核心知识点归纳: 1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2x xkk值域1,11,1R最值当时,22xkk;max1y当 22xk时,kmin1y 当时, 2xkk;max1y当2xk时,kmin1y 既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kk上是增函数;在k32,222kk上是减函数k在上2,2kkk是增函数;在2,2kk上是减函数k在,22kk上是增函数k对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称中心,02kk函数性质对称轴xkk无
2、对称轴2.正、余弦定理:正、余弦定理:在中有:ABC正弦定理:(为外接圆半径)2sinsinsinabcRABCRABC注意变形应用注意变形应用2 sin2 sin2 sinaRAbRBcRC sin2sin2sin2aAR bBR cCR 面积公式:111sinsinsin222ABCSabsCacBbcA余弦定理: 2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC 222222222cos2cos2cos2bcaAbc acbBac abcCab 二、方法总结:二、方法总结:1.三角函数恒等变形的基本策略。三角函数恒等变形的基本策略。(1)注意隐含条件的应用:
3、1cos2xsin2x。(2)角的配凑。(),22等。(3)升幂与降幂。主要用 2 倍角的余弦。(4)化弦(切)法,用正弦定理或余弦定理。(5)引入辅助角。asinbcos22ba sin(),这里辅助角所在象限由 a、b 的符号确定,角的值由 tanab确定。2.解答三角高考题的策略。解答三角高考题的策略。(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。(2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。36o1x1y三、例题集锦:三、例题集锦:考点一:考点一:三角函数的概念三角函数的概念1.1.(20112011 年东
4、城区示范校考试文年东城区示范校考试文 1515)如图,设A是单位圆和x轴正半轴的交点,QP、是单位圆上的两点,O是坐标原点,6AOP,, 0,AOQ(1)若3 4( , )5 5Q,求 6cos的值;(2)设函数 fOP OQ ,求 f的值域2 2 (20112011 年西城期末文年西城期末文 1515)已知函数.()若点2( )3sin22sinf xxx(1,3)P在角的终边上,求的值; ()若,求的值域.( )f,63x ( )f x考点二:考点二:三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质3.3.(20112011 年东城区期末文年东城区期末文 1515)函数部分图象如图所( )sin(
5、) (0,0,|)2f xAxA示 ()求的最小正周期及解析式;()设,求函数在区间( )f x( )( )cos2g xf xx( )g x上的最大值和最小值0,2x考点三、四、五:考点三、四、五:同角三角函数的关系、同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换诱导公式、三角恒等变换4 4 (20102010 年海淀期中文年海淀期中文 1616)已知函数xxxf2cos)62sin()(.(1)若1)(f,求cossin的值;(2)求函数)(xf的单调增区间.(3)求函数的对称轴方程和对称中心5.5.(20112011 年丰台区期末文年丰台区期末文 1515)已知函数2( )2sincos2
6、cosf xxxx() ,相邻两条对称轴之间的距离等于 ()求的值;()当0xR,2( )4f时,求函数的最大值和最小值及相应的 x 值02x,)(xf6、 (2011 朝阳二模文朝阳二模文 15)已知函数.2( )2sinsin()2sin12f xxxx()xR()求函数的最小正周期及函数的单调递增区间;( )f x( )f x()若,求的值.02()23xf0(, )44x 0cos2x7 7、 (20112011 东城二模问东城二模问 1515) (本小题共 13 分)已知,7 2sin()410A (,)4 2A()求的值; ()求函数的值域cos A5( )cos2sinsin2f
7、 xxAx考点六:考点六:解三角形解三角形8 8 (20112011 年朝阳期末文年朝阳期末文 1515)已知中,.ABC2sincossincoscossinABCBCB()求角的大小;()设向量,求当取最B(cos , cos2 )AAm12(, 1)5 nm n小值时, 值.)4tan(A9 9 (20112011 年石景山期末文年石景山期末文 1515)已知函数23cossinsin3)(2xxxxfRx()求的值;()若,求的最大值;()在中,若,)4(f)2, 0(x)(xfABCBA ,求的值21)()(BfAfABBC1010、 (20112011 东城一模文东城一模文 151
8、5)在中,角,的对边分别为,分,且满足ABCABCabc ()求角的大小;()若,求面积的最大值2cos coscbB aAA2 5a ABC11、(2011 丰台一模文丰台一模文 15). 在ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 b2+c2-a2=bc()求角 A 的大小;()设函数,当取最大值时,判2cos2cos2sin3)(2xxxxf)(Bf23断ABC 的形状1212、(2011(2011 海淀一模文海淀一模文 15)15). . 在中,内角A、B、C所对的边分别为,已知,ABC, ,a b c1tan2B ,且.1tan3C 1c ()求; ()求的面积.t
9、an AABC1313、 (20112011 石景山一模文石景山一模文 15) 在中,角,所对应的边分别为,且ABCABCabc274sincos222ABC()求角的大小; ()求的最大值CsinsinABYX AOQP例题集锦答案:例题集锦答案:1.1.(20112011 年东城区示范校考试理年东城区示范校考试理 1515)如图,设A是单位圆和x轴正半轴的交点,QP、是单位圆上的两点,O是坐标原点,6AOP,, 0,AOQ(1)若3 4( , )5 5Q,求 6cos的值;(2)设函数 fOP OQ ,求 f的值域单位圆中的三角函数定义单位圆中的三角函数定义解:解:()由已知可得54sin
10、,53cos2 分6sinsin6coscos6cos 3 分1043321 54 23 53 4 分() fOP OQ cos,sincos ,sin666 分sin21cos237 分sin38 分0, ) 4,)3339 分3sin12312 分 f的值域是3,1213 分2 2 (20112011 年西城期末理年西城期末理 1515)已知函数.()若点2( )3sin22sinf xxx(1,3)P36o1x1y在角的终边上,求的值; ()若,求的值域.( )f,63x ( )f x三角函数一般定义三角函数一般定义解:解:()因为点在角的终边上, (1,3)P所以, 2 分3sin2
11、1cos2所以 4 分22( )3sin22sin2 3sincos2sinf. 5 分23132 3()2 ()3222 () 6 分2( )3sin22sinf xxx3sin2cos21xx, 8 分2sin(2) 16x因为,所以, 10 分,63x 65 626x所以, 11 分1sin(2)126x所以的值域是. 13 分( )f x 2,13.3.(20112011 年东城区期末理年东城区期末理 1515)函数部分图象如图所( )sin() (0,0,|)2f xAxA示 ()求的最小正周期及解析式;()设,求函数在区间( )f x( )( )cos2g xf xx( )g x上
12、的最大值和最小值0,2x解:解:()由图可得,1A 2 2362T所以 2 分T 所以2当时,可得 ,6x( )1f x sin(2)16因为,所以 5 分|26所以的解析式为 6 分( )f x( )sin(2)6f xx()( )( )cos2sin(2)cos26g xf xxxxsin2 coscos2 sincos266xxx 10 分31sin2cos222xxsin(2)6x因为,所以02x52666x当,即时,有最大值,最大值为 ;262x3x( )g x1当,即时,有最小值,最小值为13 分266x 0x ( )g x1 2相邻平衡点(最值点)横坐标的差等; ; ;-代点法代
13、点法2T2|Tmaxmin1 2yyA 4 4 (20102010 年海淀期中文年海淀期中文 1616)已知函数xxxf2cos)62sin()(.(1)若1)(f,求cossin的值;(2)求函数)(xf的单调增区间.(3)求函数的对称轴方程和对称中心解:解:(1)22cos1 6sin2cos6cos2sin)(xxxxf.3 分(只写对一个公式给 2 分)212sin23x .5 分由1)(f,可得332sin .7 分所以2sin21cossin .8 分 63 .9 分(2)当Zkkxk,22222,换元法换元法 .11 即Zkkkx,4,4时,)(xf单调递增.所以,函数)(xf的
14、单调增区间是Zkkk,4,4. 13 分5.5.(20112011 年丰台区期末理年丰台区期末理 1515)已知函数2( )2sincos2cosf xxxx() ,相邻两条对称轴之间的距离等于 ()求的值;()当0xR,2( )4f时,求函数的最大值和最小值及相应的 x 值02x,)(xf解:解:() 意义意义 4 分( )sin2cos212sin(2) 14f xxxx 因为 ,所以 , 6 分22TT 1所以 所以 7 分( )2sin(2) 14f xx( )04f()( )2sin(2) 14f xx当 时, , 无范围讨论扣分无范围讨论扣分0,2x32444x所以 当,即时, 1
15、0 分242x8xmax( )21f x当,即时, 13 分244x 0x min( )2f x 6、 (2011 朝阳二模理朝阳二模理 15)已知函数.2( )2sinsin()2sin12f xxxx()xR()求函数的最小正周期及函数的单调递增区间;( )f x( )f x()若,求的值.02()23xf0(, )44x 0cos2x解解: 1 分2( )2sincos2sin1f xxxx2 分sin2cos2xx. 和差角公式逆用和差角公式逆用 3 分2sin(2)4x()函数的最小正周期. 5 分( )f x22T 令, 6 分2 22 242kxk()kZ所以. 即.32 22
16、44kxk388kxk所以,函数的单调递增区间为. 8 分( )f x3 , 88kk()kZ()解法一:由已知得, 9 分0 002()sincos23xfxx两边平方平方,得 同角关系式同角关系式 所以 11 分021 sin29x07sin29x 因为,所以.0(, )44x 02(, )22x 所以. 13 分2 074 2cos21 ()99x 解法二:因为,所以. 9 分0(, )44x 0(0, )42x 又因为,00 02()2sin(2)2sin()22443xxfx得 . 10 分01sin()43x 所以. 11 分2 012 2cos()1 ( )433x 所以,000
17、00cos2sin(2)sin2()2sin()cos()2444xxxxx. 诱导公式的运用诱导公式的运用1 2 24 223397 7、 (20112011 东城二模理东城二模理 1515) (本小题共 13 分)已知,7 2sin()410A (,)4 2A()求的值; ()求函数的值域cos A5( )cos2sinsin2f xxAx解:()因为,且, 42A7 2sin()410A所以,3 244A2cos()410A 角的变换角的变换因为coscos()44AAcos()cossin()sin4444AA 所以 6 分227 223 1021025 3cos5A ()由()可得4
18、sin5A 所以此结构转化为二次函数值域问题此结构转化为二次函数值域问题 5( )cos2sinsin2f xxAx,21 2sin2sinxx 2132(sin)22x xR因为,所以,当时,取最大值;sin 1,1x 1sin2x ( )f x3 2当时,取最小值sin1x ( )f x3所以函数的值域为 ( )f x3 3, 28 8 (20112011 年朝阳期末理年朝阳期末理 1515)已知中,.ABC2sincossincoscossinABCBCB()求角的大小;()设向量,求当取最B(cos , cos2 )AAm12(, 1)5 nm n小值时, 值.)4tan(A解:解:(
19、)因为, 和差角公式逆用和差角公式逆用2sincossincoscossinABCBCB所以. 3 分2sincossin()sin()sinABBCAA因为,所以.所以. 5 分0Apsin0A1cos2B 因为,所以. 7 分0Bp3B()因为, 8 分12coscos25AA m n所以. 10 分2212343cos2cos12(cos)5525AAA m n所以当时,取得最小值.3cos5A m n此时() ,于是. 同角关系或三角函数定义同角关系或三角函数定义12 分4sin5A 0Ap4tan3A 所以. 13 分tan11tan()4tan17AAA9 9 (20112011
20、年石景山期末理年石景山期末理 1515)已知函数23cossinsin3)(2xxxxfRx()求的值;()若,求的最大值;()在中,若,)4(f)2, 0(x)(xfABCBA ,求的值21)()(BfAfABBC解:解:() 4 分23 4cos4sin4sin3)4(2f21()2)2cos1 (3)(xxf232sin21x 6 分xx2cos232sin21)32sin(x, 20 x32 323x当时,即时,的最大值为 8 分232x125x)(xf1(),)32sin()(xxf若是三角形的内角,则, x x035 323x令,得 21)(xf,此处两解此处两解15sin(2)
21、22323636xxx或解得或 10 分4x127x由已知,是的内角,且,BA ,ABCBA21)()(BfAf, 4A127B 11 分 6BAC又由正弦定理,得 13 分221226sin4sinsinsinCA ABBC1010、 (20112011 东城一模理东城一模理 1515) (本小题共 13 分)在中,角,的对边分别为,分,且满足ABCABCabc2cos coscbB aA()求角的大小;()若,求面积的最大值A2 5a ABC解:()因为,2cos coscbB aA所以(2) coscoscbAaB由正弦定理正弦定理,得边化角边化角(2sinsin) cossincosC
22、BAAB整理得2sincossincossincosCABAAB所以2sincossin()sinCAABC在中, 所以,ABCsin0C 1cos2A 3A()由余弦定理,2221cos22bcaAbc2 5a 所以 均值定理在三角中的应用均值定理在三角中的应用2220220bcbcbc所以,当且仅当时取“=” 取等条件别忘取等条件别忘20bc bc所以三角形的面积1sin5 32SbcA所以三角形面积的最大值为 13 分5 311、(2011 丰台一模理丰台一模理 15). 在ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 b2+c2-a2=bc()求角 A 的大小;()设函数
23、,当取最大值时,判2cos2cos2sin3)(2xxxxf)(Bf23断ABC 的形状解:()在ABC 中,因为 b2+c2-a2=bc,由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得 cosA=(余弦定理或公式必须有一个,否则扣余弦定理或公式必须有一个,否则扣 1 分分) 3 分1 2 0A , (或写成 A 是三角形内角) 4 分 5 分3A() 7 分2cos2cos2sin3)(2xxxxf311sincos222xx, 9 分1sin()62x (没讨论,扣 1 分)10 分3A2(0,)3B5 666B当,即时,有最大值是 11 分62B3B( )f B23又, ABC 为
24、等边三角形 13 分3A3C1212、(2011(2011 海淀一模理海淀一模理 15)15). . (本小题共(本小题共 1313 分)分)在中,内角A、B、C所对的边分别为,已知,且.ABC, ,a b c1tan2B 1tan3C 1c ()求; ()求的面积.tan AABC解:(I)因为,, 1 分1tan2B 1tan3C tantantan()1tantanBCBCBC代入得到, . 3 分11 23tan()111123BC 因为 , 4 分 180ABC所以. 角关系角关系 5 分tantan(180()tan()1ABCBC (II)因为,由(I)结论可得: . 7 分01
25、80A135A因为,所以. 8 分11tantan023BC090CB所以. 9 分5sin,5B 10sin10C 由得, 11 分sinsinac AC5a 所以的面积为:. 13 分ABC11sin22acB 1313、 (20112011 石景山一模理石景山一模理 15) 在中,角,所对应的边分别为,且ABCABCabc274sincos222ABC()求角的大小;C()求的最大值sinsinAB解:() 、为三角形的内角, ABCCBA , 三角形中角的大小关系三角形中角的大小关系274sincos222ABC 2 分272cos2cos42CC 即 4 分27) 1cos2(2cos142CC021cos2cos22CC 又 , 7 分21cosC C03C()由()得 角度变换角度变换 32 BA)32sin(sinsinsinAABA10 分AAAsin32coscos32sinsin)6sin(3cos23sin23AAA , 320 A65 66 A 当,即 时,取得最大值为13 分26A3ABAsinsin3
限制150内