高考.文科数学重点资料库分析情况分析总结.doc
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1、高中数学高中数学 必修必修 1 知识点知识点第第 1 章章 集合与函数概念集合与函数概念【1.1.1】【1.1.1】集合的含义与表示集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.(2)常用数集及其记法表示自然数集,或表示正整数集,表示整数集,表示有理数集,表示实数集.NNNZQR(3)集合与元素间的关系对象与集合的关系是,或者,两者必居其一.aMaMaM(4)集合的表示法自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.描述法:|具有的性质,其中为集合的代表元素.x xx图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.(5)集合的分类
2、含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】【1.1.2】集合间的基本关系集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA (或)AB A 中的任一元素都属于 B(1)AA(2)A (3)若且,则BA BCAC(4)若且,则BA BAABA(B)或BA真子集AB (或BA) ,且 B 中至BA 少有一元素不属于 A(1)(A 为非空子集)A (2)若且,则AB BC AC BA集合相等ABA 中的任一元素都属于 B,B 中的任一元素都属于 A(1)AB(2)BAA(B)(7)已知集合有个元素,则它有个
3、子集,它有个真子集,它有个非空子集,它有非空真子A(1)n n 2n21n21n22n集.【1.1.3】【1.1.3】集合的基本运算集合的基本运算(8)交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集AB且 |,x xAxB(1)AAA(2)A (3)ABAABBBA并集AB或 |,x xAxB(1)AAA(2)AA (3)ABAABBBA补集UA |,x xUxA且1 2 ()UAA ()UAAU A【补充知识补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法不等式解集|(0)xa a |xaxa |(0)xa a或|x xa xa|
4、,|(0)axbc axbc c把看成一个整体,化成,axb|xa型不等式来求解|(0)xa a(2)一元二次不等式的解法判别式24bac 0 0 0 二次函数2(0)yaxbxc a的图象O=OLO一元二次方程20(0)axbxca的根21,24 2bbacxa (其中12)xx122bxxa 无实根20(0)axbxca的解集或1 |x xx2xx |x2bxa R20(0)axbxca的解集12 |x xxx()()()UUUABAB()()()UUUABAB1.21.2函数及其表示函数及其表示 【1.2.1】【1.2.1】函数的概念函数的概念(1)函数的概念设、是两个非空的数集,如果按
5、照某种对应法则,对于集合中任何一个数,在集合中都有唯一确定的数ABfAxB和它对应,那么这样的对应(包括集合,以及到的对应法则)叫做集合到的一个函数,记作( )f xABABfAB:fAB函数的三要素:定义域、值域和对应法则只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数(2)区间的概念及表示法设是两个实数,且,满足的实数的集合叫做闭区间,记做;满足的实数的, a babaxbx , a baxbx集合叫做开区间,记做;满足,或的实数的集合叫做半开半闭区间,分别记做,( , )a baxbaxbx , )a b;满足的实数的集合分别记做( , a b,xa xa xb xbx ,),(
6、,),(, ,(, )aabb注意:注意:对于集合与区间,前者可以大于或等于,而后者必须 |x axb( , )a babab(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:是整式时,定义域是全体实数( )f x是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数( )f x是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合( )f x对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1中,tanyx()2xkkZ零(负)指数幂的底数不能为零若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集( )f x对于求复合函数定义域问题,一般
7、步骤是:若已知的定义域为,其复合函数的定义域应由不等式( )f x , a b ( )f g x解出( )ag xb对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义(4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法:观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方
8、式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法:若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程,则在( )yf xyx2( )( )( )0a y xb y xc y时,由于为实数,故必须有,从而确定函数的值域或最值( )0a y , x y2( )4 ( )( )0bya yc y 不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确
9、定函数的值域或最值数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2】【1.2.2】函数的表示法函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系(6)映射的概念设、是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中任何一个元素,在集合中都有唯一的元素和它对应,ABfAB那么这样的对应(包括集合,以及到的对应法则)叫做集合到的映射,记作ABABfAB:fAB给定一个集合到集合的映射,且如果元素和元素
10、对应,那么我们把元素叫做元素的象,元AB,aA bBabba素叫做元素的原象ab1.31.3函数的基本性质函数的基本性质 【1.3.1】【1.3.1】单调性与最大(小)值单调性与最大(小)值(1)函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x x1 1f(x)f(x2 2) ),那么就说f(x)在这个区间上是减函减函数数y=f(X)yxoxx2f(x )f(x )211(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象下降为减)(4)利用复合函数yxo在公共定义域内,两个增函数的和是增函
11、数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数个增函数为减函数对于复合函数对于复合函数,令,令,若,若为增,为增,为增,则为增,则为增;若为增;若 ( )yf g x( )ug x( )yf u( )ug x ( )yf g x为减,为减,为减,则为减,则为增;若为增;若为增,为增,为减,则为减,则为减;为减;( )yf u( )ug x ( )yf g x( )yf u( )ug x ( )yf g x若若为减,为减,为增,则为增,则为减为减( )
12、yf u( )ug x ( )yf g x(2)打“”函数的图象与性质( )(0)af xxax分别在、上为增函数,分别在、上为减函数( )f x(,a ,)a ,0)a(0,a(3)最大(小)值定义一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:(1)对于任意的,都有( )yf xIMxI( )f xM;(2)存在,使得那么,我们称是函数 的最大0xI0()f xMM( )f x值,记作max( )fxM一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:(1)对于任意的,都有( )yf xImxI( )f xm;(2)存在,使得那么,我们称是函数的最小值,记作0xI0()f xmm( )f xmax(
13、 )fxm【1.3.2】【1.3.2】奇偶性奇偶性(4)函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有 f(x)=f(x)f(x),那么函数 f(x)叫做奇函数奇函数(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于原点对称)函数的奇偶性如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有 f(x)=f(x)f(x),那么函数 f(x)叫做偶偶函数函数(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于 y 轴对称)若函数为奇函数,且在处有定义,则( )f x0x (0)0f奇函数在轴两侧相对称的区间
14、增减性相同,偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反yy在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) ,两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数补充知识补充知识函数的图象函数的图象(1)作图利用描点法作图:确定函数的定义域; 化解函数解析式;讨论函数的性质(奇偶性、单调性) ; 画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换0, 0,|( )()hh hhyf xyf xh 左移个单位 右移|个单位0, 0,|( )(
15、)kk kkyf xyf xk 上移个单位 下移|个单位伸缩变换01, 1,( )()yf xyfx 伸 缩01, 1,( )( )A Ayf xyAf x 缩 伸对称变换( )( )xyf xyf x 轴( )()yyf xyfx 轴( )()yf xyfx 原点1( )( )y xyf xyfx 直线( )(|)y yyyf xyfx 去掉轴左边图象 保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象( )|( )|x xyf xyf x 保留轴上方图象 将轴下方图象翻折上去(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图
16、象与函数解析式中参数的关系(3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章第二章 基本初等函数基本初等函数() 2.12.1指数函数指数函数 【2.1.1】【2.1.1】指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算(1)根式的概念如果,且,那么叫做的次方根当是奇数时,的次方根用符号,1nxa aR xR nnNxannan表示;当是偶数时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号表示;0 的次方根是 0;nanannannan负数没有次方根an式子叫做根式,这里叫做根指数,叫做被开方数当为奇
17、数时,为任意实数;当为偶数时,nananan0a 根式的性质:;当为奇数时,;当为偶数时, ()nnaannnaan(0)|(0) nnaaaaaa(2)分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是:且0 的正分数指数幂等于 0(0,m nmnaaam nN1)n 正数的负分数指数幂的意义是:且0 的负分数指数幂没有意11( )( ) (0,mm mnnnaam nNaa1)n 义 注意口诀:注意口诀:底数取倒数,指数取相反数(3)分数指数幂的运算性质 (0, ,)rsr saaaar sR()(0, ,)rsrsaaar sR()(0,0,)rrraba b abrR【2.1.2】【2.1.2
18、】指数函数及其性质指数函数及其性质(4)指数函数函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数(0xyaa1)a 1a 01a图象定义域R值域(0,)过定点图象过定点,即当时,(0,1)0x 1y 奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数R在上是减函数R函数值的变化情况1 (0)1 (0)1 (0)xxxaxaxax1 (0)1 (0)1 (0)xxxaxaxax变化对 图象的影响a在第一象限内,越大图象越高;在第二象限内,越大图象越低aa2.22.2对数函数对数函数 【2.2.1】【2.2.1】对数与对数运算对数与对数运算xay xy(0,1)O1y xay xy(0,1)O1y (1)对数的定义若,则叫做
19、以为底的对数,记作,其中叫做底数,叫做真数(0,1)xaN aa且xaNlogaxNaN负数和零没有对数对数式与指数式的互化:log(0,1,0)x axNaN aaN(2)几个重要的对数恒等式,log 10alog1aa logb aab(3)常用对数与自然对数常用对数:,即;自然对数:,即(其中) lg N10logNln NlogeN2.71828e (4)对数的运算性质 如果,那么0,1,0,0aaMN加法: 减法:logloglog ()aaaMNMNlogloglogaaaMMNN数乘: loglog()n aanMMnRlogaNaN 换底公式:loglog(0,)bn aanM
20、M bnRbloglog(0,1)logb a bNNbba且【2.2.2】【2.2.2】对数函数及其性质对数函数及其性质(5)对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数log(0ayx a1)a 1a 01a图象定义域(0,)值域R过定点图象过定点,即当时,(1,0)1x 0y 奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数(0,)在上是减函数(0,)xyO(1,0)1x logayx xyO(1,0)1x logayx 函数值的变化情况log0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxlog0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxx变化对 图象的影响a在第一象限
21、内,越大图象越靠低;在第四象限内,越大图象越靠高aa(6)反函数的概念设函数的定义域为,值域为,从式子中解出,得式子如果对于在中的( )yf xAC( )yf xx( )xyyC任何一个值,通过式子,在中都有唯一确定的值和它对应,那么式子表示是的函数,函数( )xyxA( )xyxy叫做函数的反函数,记作,习惯上改写成( )xy( )yf x1( )xfy1( )yfx(7)反函数的求法确定反函数的定义域,即原函数的值域;从原函数式中反解出;( )yf x1( )xfy将改写成,并注明反函数的定义域1( )xfy1( )yfx(8)反函数的性质原函数与反函数的图象关于直线对称( )yf x1(
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