高考.文科数学所有重点资料库分析情况分析总结.doc
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1、高中数学高中数学 必修必修 1 1 知识点知识点 第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 1.11.1集合集合 【1.1.1】【1.1.1】集合的含义与表示集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法表示自然数集,或表示正整数集,表示整数集,表示有理数集,表示实数集.NNNZQR(3)集合与元素间的关系对象与集合的关系是,或者,两者必居其一.aMaMaM (4)集合的表示法自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. 描述法:|具有的性质,其中为集合的代表元素.xxx 图示法:用数轴
2、或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集(). 【1.1.2】【1.1.2】集合间的基本关系集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA (或)AB A 中的任一元素都 属于 B(1)AA(2)A (3)若且,则BA BCAC(4)若且,则BA BAABA(B)或BA真子集AB (或BA) ,且 B 中BA 至少有一元素不属 于 A(1)(A 为非空子集)A (2)若且,则AB BC AC BA集合 相等ABA 中的任一元素都 属于 B,B 中的任 一元素都属于 A(1)
3、AB(2)BAA(B)(7)已知集合有个元素,则它有个子集,它有个真子集,它有个非空子集,A(1)n n 2n21n21n它有非空真子集.22n 【1.1.3】【1.1.3】集合的基本运算集合的基本运算 (8)交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集AB且 |,x xAxB(1)AAA(2)A (3)ABAABBBA并集AB或 |,x xAxB(1)AAA(2)AA (3)ABAABBBA补集UA |,x xUxA且1 ()UAA 2 ()UAAU A【补充知识补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法不等式解集|(0
4、)xa a |xaxa |(0)xa a或|x xa xa|,|(0)axbc axbc c把看成一个整体,化成,axb|xa型不等式来求解|(0)xa a(2)一元二次不等式的解法判别式24bac 0 0 0 二次函数2(0)yaxbxc a的图象O=OLO一元二次方程20(0)axbxca的根21,24 2bbacxa (其中12)xx122bxxa 无实根20(0)axbxca的解集或1 |x xx2xx |x2bxa R()()()UUUABAB()()()UUUABAB20(0)axbxca的解集12 |x xxx1.21.2函数及其表示函数及其表示 【1.2.1】【1.2.1】函数
5、的概念函数的概念 (1)函数的概念设、是两个非空的数集,如果按照某种对应法则,对于集合中任何一个数,在集合ABfAx中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应(包括集合,以及到的对应法B( )f xABAB则)叫做集合到的一个函数,记作fAB:fAB函数的三要素:定义域、值域和对应法则 只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 (2)区间的概念及表示法设是两个实数,且,满足的实数的集合叫做闭区间,记做;满足, a babaxbx , a b的实数的集合叫做开区间,记做;满足,或的实数的集axbx( , )a baxbaxbx合叫做半开半闭区间,分别记做,;满足的实数的集合分 ,
6、)a b( , a b,xa xa xb xbx别记做 ,),( ,),(, ,(, )aabb注意:注意:对于集合与区间,前者可以大于或等于,而后者必须 |x axb( , )a babab (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:是整式时,定义域是全体实数( )f x是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数( )f x是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合( )f x对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1中,tanyx()2xkkZ零(负)指数幂的底数不能为零若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各
7、基本初等函( )f x数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知的定义域为,其复合函数( )f x , a b的定义域应由不等式解出 ( )f g x( )ag xb对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义(4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,如果在函数的值域中存在 一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值因此求函数的最值与值域,其实质是相同 的,只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法:观察法:对于比较简单的函数
8、,我们可以通过观察直接得到值域或最值 配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函 数的值域或最值数的值域或最值判别式法:若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程( )yf xyx,则在时,由于为实数,故必须有2( )( )( )0a y xb y xc y( )0a y , x y,从而确定函数的值域或最值2( )4 ( )( )0bya yc y 不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问
9、题转化 为三角函数的最值问题 反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 函数的单调性法 【1.2.2】【1.2.2】函数的表示法函数的表示法 (5)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法:就是列出表格来表示两个变 量之间的对应关系图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系 (6)映射的概念设、是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中任何一个元素,在集合中都ABfAB有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合,以及
10、到的对应法则)叫做集合ABABf到的映射,记作AB:fAB给定一个集合到集合的映射,且如果元素和元素对应,那么我们把元素AB,aA bBab叫做元素的象,元素叫做元素的原象baab1.31.3函数的基本性质函数的基本性质 【1.3.1】【1.3.1】单调性与最大(小)值单调性与最大(小)值 (1)函数的单调性 定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法yxo如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两 个自变量的值 x1、x2,当 x x1 1) f(xf(x2 2) ),那么就说 f(x)在 这个区间上是减函数减函数y=f(X)yxoxx2f(x )f(x )211(1)利用定义 (2)利
11、用已知函 数的单调性 (3)利用函数图 象(在某个区间图 象下降为减) (4)利用复合函 数在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函 数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数对于复合函数,令,令,若,若为增,为增,为增,则为增,则 ( )yf g x( )ug x( )yf u( )ug x为增;若为增;若为减,为减,为减,则为减,则为增;若为增;若为增,为增, ( )yf g x( )yf u( )ug x ( )yf
12、 g x( )yf u为减,则为减,则为减;若为减;若为减,为减,为增,则为增,则( )ug x ( )yf g x( )yf u( )ug x ( )yf g x为减为减(2)打“”函数的图象与性质( )(0)af xxax分别在、上为增函数,分别在、( )f x(,a ,)a ,0)a(0,a上为减函数 (3)最大(小)值定义一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:( )yf xIM(1)对于任意的,都有;xI( )f xM(2)存在,使得那么,我们称是函数 的最大0xI0()f xMM( )f x值,记作max( )fxM一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:(1)对于任意的,
13、都有( )yf xImxI;(2)存在,使得那么,我们称是函数的最小值,记作( )f xm0xI0()f xmm( )f xmax( )fxm【1.3.2】【1.3.2】奇偶性奇偶性 (4)函数的奇偶性定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法如果对于函数 f(x)定义 域内任意一个 x,都有 f(f(x)=x)=f(x)f(x),那么函 数 f(x)叫做奇函数奇函数(1)利用定义 (要先判断定义域 是否关于原点对称)(2)利用图象 (图象关于原点对 称)函数的奇偶性如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有 f(f(x)=x)=f(x)f(x),那么函数 f(x)叫做偶函数偶函数(1
14、)利用定义 (要先判断定义域 是否关于原点对称)(2)利用图象 (图象关于 y 轴对 称)若函数为奇函数,且在处有定义,则( )f x0x (0)0f奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反yy 在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) ,两个偶函数 (或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数 补充知识补充知识函数的图象函数的图象 (1)作图 利用描点法作图: 确定函数的定义域; 化解函数解析式; 讨论函数的性质(奇偶性、单调性) ; 画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次
15、函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基 本初等函数的图象平移变换0, 0,|( )()hh hhyf xyf xh 左移个单位 右移|个单位0, 0,|( )( )kk kkyf xyf xk 上移个单位 下移|个单位伸缩变换01, 1,( )()yf xyfx 伸 缩01, 1,( )( )A Ayf xyAf x 缩 伸对称变换( )( )xyf xyf x 轴( )()yyf xyfx 轴( )()yf xyfx 原点1( )( )y xyf xyfx 直线( )(|)y yyyf xyfx 去掉轴左边图象 保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象( )|(
16、 )|x xyf xyf x 保留轴上方图象 将轴下方图象翻折上去(2)识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定 义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系 (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题 途径,获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章第二章 基本初等函数基本初等函数()() 2.12.1指数函数指数函数 【2.1.1】【2.1.1】指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 (1)根式的概念如果,且,那么叫做的次方根当是奇数时,,1nxa aR xR
17、 nnNxann的次方根用符号表示;当是偶数时,正数的正的次方根用符号表示,负的次annanannan方根用符号表示;0 的次方根是 0;负数没有次方根nanan式子叫做根式,这里叫做根指数,叫做被开方数当为奇数时,为任意实数;nanana当为偶数时,n0a 根式的性质:;当为奇数时,;当为偶数时, ()nnaannnaan(0)|(0) nnaaaaaa(2)分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是:且0 的正分数指数幂(0,m nmnaaam nN1)n 等于 0正数的负分数指数幂的意义是:且0 的负11( )( ) (0,mm mnnnaam nNaa1)n 分数指数幂没有意义 注意口
18、诀:注意口诀:底数取倒数,指数取相反数 (3)分数指数幂的运算性质 (0, ,)rsr saaaar sR()(0, ,)rsrsaaar sR()(0,0,)rrraba b abrR【2.1.2】【2.1.2】指数函数及其性质指数函数及其性质 (4)指数函数函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数(0xyaa1)a 1a 01a图象定义域R值域(0,)过定点图象过定点,即当时,(0,1)0x 1y 奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数R在上是减函数R函数值的 变化情况1 (0)1 (0)1 (0)xxxaxaxax1 (0)1 (0)1 (0)xxxaxaxax变化对图象的影响a在第一象限内,越
19、大图象越高;在第二象限内,越大图象越低aa2.22.2对数函数对数函数 【2.2.1】【2.2.1】对数与对数运算对数与对数运算 (1)对数的定义若,则叫做以为底的对数,记作,其中叫做底数,(0,1)xaN aa且xaNlogaxNa叫做真数N 负数和零没有对数对数式与指数式的互化:log(0,1,0)x axNaN aaN(2)几个重要的对数恒等式,log 10alog1aa logb aab(3)常用对数与自然对数常用对数:,即;自然对数:,即(其中) lg N10logNln NlogeN2.71828e (4)对数的运算性质 如果,那么0,1,0,0aaMN加法: 减法:loglogl
20、og ()aaaMNMNlogloglogaaaMMNNxay xy(0,1)O1y xay xy(0,1)O1y 数乘: loglog()n aanMMnRlogaNaN 换底公式:loglog(0,)bn aanMM bnRbloglog(0,1)logb a bNNbba且【2.2.2】【2.2.2】对数函数及其性质对数函数及其性质 (5)对数函数函数 名称对数函数定义函数且叫做对数函数log(0ayx a1)a 1a 01a图象定义域(0,)值域R过定点图象过定点,即当时,(1,0)1x 0y 奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数(0,)在上是减函数(0,)函数值的 变化情况log0 (1
21、)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxlog0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxx变化对图象的影响a在第一象限内,越大图象越靠低;在第四象限内,越大图象越靠高aa(6)反函数的概念设函数的定义域为,值域为,从式子中解出,得式子如( )yf xAC( )yf xx( )xy果对于在中的任何一个值,通过式子,在中都有唯一确定的值和它对应,那么式yC( )xyxA子表示是的函数,函数叫做函数的反函数,记作,习( )xyxy( )xy( )yf x1( )xfy惯上改写成1( )yfx(7)反函数的求法xyO(1,0)1x logayx xyO(1,0)1x l
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