高级中学数学基本不等式知识资料点归纳及其学习总结分析题.doc
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1、 高中数学基本不等式的巧用高中数学基本不等式的巧用1基本不等式:abab2(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当 ab 时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a,bR);(2) 2(a,b 同号);(3)ab2(a,bR);baab(ab2)(4)2(a,bR)a2b22(ab2)3算术平均数与几何平均数设 a0,b0,则 a,b 的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为两ab2ab个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0,y0,则(1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时,xy 有最小值是 2
2、.(简记:积定和最小)p(2)如果和 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时,xy 有最大值是.(简记:和定积最大)p24一个技巧运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如 a2b22ab 逆用就是ab;(a,b0)逆用就是 ab2(a,b0)等还要注意“添、拆项”a2b22ab2ab(ab2)技巧和公式等号成立的条件等两个变形(1)2ab(a,bR,当且仅当 ab 时取等号);a2b22(ab2)(2) (a0,b0,当且仅当 ab 时取等号)a2b22ab2ab21a1b这两个不等式链用处很大,注意掌握它们三个注意(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提
3、“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆” “拼” “凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正” “定” “等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致应用一:求最值应用一:求最值 例 1:求下列函数的值域(1)y3x 2 (2)yx1 2x 21 x解题技巧:解题技巧: 技巧一:凑项技巧一:凑项例 1:已知,求函数的最大值。5 4x 14245yxx技巧二:凑系数技巧二:凑系数例 1. 当时,求的最大值。(82 )yxx 技巧三技巧三: 分离分离例 3. 求的值域。2710(1)1
4、xxyxx 。 技巧四技巧四:换元:换元技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数的单调性。的单调性。( )af xxx例:求函数的值域。2254xy x 练习求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.(1) (2) (3) 231,(0)xxyxx12,33yxxx12sin,(0, )sinyxxx2已知,求函数的最大值.;3,求函数的最大值.01x(1)yxx203x(2 3 )yxx条件求最值条件求最值1.若实数满足,则的最小值是 .2baba33 变式:若,求的最小值.并求x,y的
5、值44loglog2xy11 xy技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。2:已知,且,求的最小值。0,0xy191xyxy变式: (1)若且,求的最小值Ryx,12 yx yx11(2)已知且,求的最小值Ryxba,1yb xayx 技巧七、已知技巧七、已知x x,y y为正实数,且为正实数,且x x 2 21 1,求,求x x的最大值的最大值. .y y 2 2 2 21 1y y 2 2技巧八:已知技巧八:已知a a,b b为正实数,为正实数,2 2b
6、bababa a3030,求函数,求函数y y的最小值的最小值. .1 1 a ab b技巧九、取平方技巧九、取平方 5、已知x,y为正实数,3x2y10,求函数W的最值.3x2y应用二:利用基本不等式证明不等式应用二:利用基本不等式证明不等式1已知为两两不相等的实数,求证:cba,cabcabcba2221)正数a,b,c满足abc1,求证:(1a)(1b)(1c)8abc例 6:已知a、b、c,且。求证:R1abc1111118abc应用三:基本不等式与恒成立问题应用三:基本不等式与恒成立问题例:已知且,求使不等式恒成立的实数的取值范围。0,0xy191xyxymm应用四:均值定理在比较大
7、小中的应用:应用四:均值定理在比较大小中的应用:例:若,则的大小关系是 .)2lg(),lg(lg21,lglg, 1baRbaQbaPbaRQP,解:(1)y3x 22 值域为,+)1 2x 266(2)当x0 时,yx 22;1 x当x0 时, yx = ( x )2=21 x1 x值域为(,22,+)解:因,所以首先要“调整”符号,又不是常数,所以对要进行拆、凑450x1(42)45xxA42x项,5,5404xx 11425434554yxxxx 231 当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,。15454xx1x 1x max1y评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定
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