高级中学数学专栏评论练习学习进步题集.doc
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1、高考等差、等比数列及其应用高考等差、等比数列及其应用【考纲要求考纲要求】1考查数列的函数性及与方程、不等式相结合的数列综合题2考查运用数列知识解决数列综合题的能力【课程类型课程类型】一对一个性化教学【教学建议教学建议】数列是高中的重要内容,考试说明中,等差、等比数列都是 C 级要求,因而考试题多为中等及以上难度,试题综合考查了函数与方程,分类讨论等数学思想填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式及等差、等比数列的性质,考查运算求解能力;解答题综合性很强,不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识,基本上都是压轴题因此希望同事们多研究全国各省市高考题,精
2、选精练,让学生学有所获,学有所思,学有信心,克服数列难的思想。【复习指导复习指导】1熟练等差数列与等比数列的基本运算2.数列中与之间的互化关系也是高考的一个热点.nanS3掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想,如“函数与方程” 、 “数形结合” 、“分类讨论” 、 “等价转化”等基础练习基础练习1.1.已知是等比数列,则=_. na41252aa,13221nnaaaaaa解析数列仍是等比数列,其首项是公比为1nna a128,a a 1.4所以, 12231181 ( ) 324(1 4 )1314nn nna aa aa a 2.设12a ,12 1n naa,2 1n n naba,
3、*nN,则数列 nb的通项公式nb= 解析数列 nb是等比数列,则114 22nn nb3数列an满足a12,a21,并且(n2),则数列an的an1an anan1anan1 anan1第 100 项为 .解析 由已知可得:,n2,是等差数列,a1001 an11 an12 an na1.1 50一.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a3bc10,则a_解析 由c,a,b成等比数列可将公比记为q,三个实数a,b,c,待定为cq,cq2,c.由实数a、b、c成等差数列得 2bac,即 2cq2cqc,又等比数列中c0,所以2q2q10,解一元二次方程得q1(舍去,否
4、则三个实数相等)或q ,1 2又a3bca3aq a10,所以a4.a q5 25已知数列an的前n项和为Sn,a11,Sn2an1,则Sn_.解析 本小题主要考查数列前n项和Sn与通项an的关系,解题的突破口是用an表示Sn.由Sn2an12(Sn1Sn)得Sn1Sn,所以Sn是以S1a11 为首项, 为3 23 2公比的等比数列,所以Sn.123 n考向一考向一 等差数列与等比数列的综合应用等差数列与等比数列的综合应用【例 1】设数列na的前n项和为,nS 已知11,a 142nnSa(I)设12nnnbaa,证明数列 nb是等比数列 (II)求数列na的通项公式.解:(I)由11,a 及
5、142nnSa,有12142,aaa21121325,23aabaa由142nnSa, 则当2n 时,有142nnSa 得111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa又12nnnbaa,12nnbb nb是首项13b ,公比为的等比数列(II)由(I)可得1 123 2nnnnbaa ,1 13 224nn nnaa 数列2n na是首项为1 2,公差为3 4的等比数列1331(1)22444n nann,2(31) 2nnan 第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找1nnbb与的关系即可第(II)问中由(I)易得1 123 2nnnaa ,这个递推式明显是一个构造新数列的模型:1(
6、 ,n nnapaqp q为常数),主要的处理手段是两边除以1nq【巩固练习】 1已知等比数列an的公比q .1 2(1)若a3 ,求数列an的前n项和;1 4(2)证明:对任意kN N,ak,ak2,ak1成等差数列解:(1)由a3a1q2 及q ,得a11,所以数列an的前 n 项和Sn1 41 23)21(21n(2)证明:对任意kN N,2ak2(akak1)2a1qk1(a1qk1a1qk)a1qk1(2q2q1),由q 得 2q2q10,故 2ak2(akak1)0.1 2所以,对任意kN N,ak,ak2,ak1成等差数列2设是公差不为零的等差数列,为其前项和,满足 nanSn2
7、222 234577aaaa ,S(1)求数列的通项公式及前项和; nannS(2)试求所有的正整数,使得为数列中的项. m12mmma a a na解:(1)设公差为,则,d2222 2543aaaa由性质得,因为,所以,即43433 ()()d aad aa0d 430aa,又由得,解得,1250ad77S 176772ad15a 所以的通项公式为,前项和。2d na27nann26nSnn(二),122725 23mmma a( m)( m) a( m)令,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23mt1242mmma a(t)(t) at86tt 因为 是奇数,所以 可取的值为,当,
8、时,tt11t 2m 863tt,是数列中的项;,时,数列2 573 na1t 1m 8615tt 中的最小项是,不符合.所以满足条件的正整数. na52m . 考向二考向二 数列与函数的综合应用数列与函数的综合应用【例 2】 在数 1 和 100 之间插入n个实数,使得这2n个数构成递增的等比数列,将这2n个数的乘积记作nT,再令,lgnnaT1n.()求数列na的通项公式;()设1tantan,nnnbaaA求数列 nb的前n项和nS.解:(I)设221,nlll构成等比数列,其中,100, 121ntt则,2121nnnttttT,1221ttttTnnn并利用得),21 (102213
9、1nittttnin. 1, 2lg,10)()()()()2(2 122112212 nnTattttttttTnnn nnnnn(II)由题意和(I)中计算结果,知. 1),3tan()2tan(nnnbn另一方面,利用,tan) 1tan(1tan) 1tan() 1tan(1tankkkkkk得. 11tantan) 1tan(tan) 1tan(kkkk所以231tan) 1tan(nknkknkkbS.1tan3tan)3tan() 11tantan) 1tan(23nnkknk本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等基本知识,考查灵活运用知识解决问题的能力,综
10、合运算能力和创新思维能力.【巩固练习】 设函数f(x)(x3)3x1,an是公差不为 0 的等差数列,f(a1)f(a2)f(a7)14,则a1a2a7_解析 记公差为d,则f(a1)f(a2)f(a7)(a13)3(a23)3(a73)3(a1a2a7)7(a43d3)3(a42d3)3(a42d3)3(a43d3)37a477(a43)373(a43)7a47.由已知,7(a43)373(a43)7a4714,即 7(a43)373(a43)7(a43)0,(a43)34(a43)0.因为f(x)x34x在 R R 上为增函数,且f(0)0,故a430,即a43,a1a2a77a47321
11、.考向三考向三 数列与不等式的综合应用数列与不等式的综合应用热身:设,其中成公比为 q 的等比数列,1271aaa7531,aaaa成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是_.642,aaa【答案】33【例 3】 已知各项均为正数的两个数列an和bn满足:an1,nN N* *.anbna2nb2n(1)设bn11,nN N* *,求证:数列 是等差数列;bn an 2)(nn ab一、设bn1,nN N* *,且an是等比数列,求a1和b1的值2bn an(2)因为an0,bn0,所以ab0 知q0.下证q1.若q1,则a1logq时,an1a1qn,与(*)矛盾;a2 q22a12若
12、0a21,故当nlogq时,an1a1qn1,于是b1a1,则a4a2解析 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式,选(2)2.已知等比数列中,则其前 3 项的和的取值范围是na21a 3S_.解析:等比数列中 na21a 312321111Saaaaqqqq 当公比时,;0q 3111123Sqqqq 当公比时, 0q 31111 21Sqqqq 3, 13,S 3.等差数列 na中,已知158a,139a,则12a的取值范围是 .答案:(,7拓展错误错误! !未指定书签。未指定书签。1. (2012 年高考(广东理) )设数列的前 项和为 nan,满足,nS1 1221n nnS
13、a n*N且、成等差数列.()求的值;()求数列的通项公式;1a25a 3a1a na()证明:对一切正整数 ,有.n121113 2naaa错误错误! !未找到引用源。未找到引用源。1.解析:()由,解得. 12123213232725aaaaaaaa 11a ()由可得(),两式相减,可得1 1221n nnSa 1221n nnSa2n ,即,即,所以数列(122nnnnaaa132nnnaa1 1232nn nnaa 2nna )是一个以为首项,3 为公比的等比数列.由可得,所2n 24a 1223aa25a 以,即(),当时,也满足该式子,所以229 3nn na 32nn na 2
14、n 1n 11a 数列的通项公式是. na32nn na ()因为,所以,所以,111332 32 22nnnnn1323nnn111 3nna于是. 1 12111111131331113323213nnn naaa 【考纲要求考纲要求】1考查数列的函数性及与方程、不等式相结合的数列综合题2考查运用数列知识解决数列综合题的能力【课程类型课程类型】一对一个性化教学【教学建议教学建议】数列是高中的重要内容,考试说明中,等差、等比数列都是 C 级要求,因而考试题多为中等及以上难度,试题综合考查了函数与方程,分类讨论等数学思想填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式及等差、等比数列的
15、性质,考查运算求解能力;解答题综合性很强,不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识,基本上都是压轴题因此希望同事们多研究全国各省市高考题,精选精练,让学生学有所获,学有所思,学有信心,克服数列难的思想。【复习指导复习指导】1熟练等差数列与等比数列的基本运算2.数列中与之间的互化关系也是高考的一个热点.nanS3掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想,如“函数与方程” 、 “数形结合” 、“分类讨论” 、 “等价转化”等基础练习基础练习1.1.已知是等比数列,则=_. na41252aa,13221nnaaaaaa解析数列仍是等比数列,其首项是公比为1nna a12
16、8,a a 1.4所以, 12231181 ( ) 324(1 4 )1314nn nna aa aa a 2.设12a ,12 1n naa,2 1n n naba,*nN,则数列 nb的通项公式nb= 解析数列 nb是等比数列,则114 22nn nb3数列an满足a12,a21,并且(n2),则数列an的an1an anan1anan1 anan1第 100 项为 .解析 由已知可得:,n2,是等差数列,a1001 an11 an12 an na1.1 50二.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a3bc10,则a_解析 由c,a,b成等比数列可将公比记为q,三
17、个实数a,b,c,待定为cq,cq2,c.由实数a、b、c成等差数列得 2bac,即 2cq2cqc,又等比数列中c0,所以2q2q10,解一元二次方程得q1(舍去,否则三个实数相等)或q ,1 2又a3bca3aq a10,所以a4.a q5 25已知数列an的前n项和为Sn,a11,Sn2an1,则Sn_.解析 本小题主要考查数列前n项和Sn与通项an的关系,解题的突破口是用an表示Sn.由Sn2an12(Sn1Sn)得Sn1Sn,所以Sn是以S1a11 为首项, 为3 23 2公比的等比数列,所以Sn.123 n考向一考向一 等差数列与等比数列的综合应用等差数列与等比数列的综合应用【例
18、1】设数列na的前n项和为,nS 已知11,a 142nnSa(I)设12nnnbaa,证明数列 nb是等比数列 (II)求数列na的通项公式.解:(I)由11,a 及142nnSa,有12142,aaa21121325,23aabaa由142nnSa, 则当2n 时,有142nnSa 得111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa又12nnnbaa,12nnbb nb是首项13b ,公比为的等比数列(II)由(I)可得1 123 2nnnnbaa ,1 13 224nn nnaa 数列2n na是首项为1 2,公差为3 4的等比数列1331(1)22444n nann,2(31) 2
19、nnan 第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找1nnbb与的关系即可第(II)问中由(I)易得1 123 2nnnaa ,这个递推式明显是一个构造新数列的模型:1( ,n nnapaqp q为常数),主要的处理手段是两边除以1nq【巩固练习】 1已知等比数列an的公比q .1 2(1)若a3 ,求数列an的前n项和;1 4(2)证明:对任意kN N,ak,ak2,ak1成等差数列解:(1)由a3a1q2 及q ,得a11,所以数列an的前 n 项和Sn1 41 23)21(21n(2)证明:对任意kN N,2ak2(akak1)2a1qk1(a1qk1a1qk)a1qk1(2q2q1),由
20、q 得 2q2q10,故 2ak2(akak1)0.1 2所以,对任意kN N,ak,ak2,ak1成等差数列2设是公差不为零的等差数列,为其前项和,满足 nanSn2222 234577aaaa ,S(1)求数列的通项公式及前项和; nannS(2)试求所有的正整数,使得为数列中的项. m12mmma a a na解:(1)设公差为,则,d2222 2543aaaa由性质得,因为,所以,即43433 ()()d aad aa0d 430aa,又由得,解得,1250ad77S 176772ad15a 所以的通项公式为,前项和。2d na27nann26nSnn(三),122725 23mmma
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