高级中学数学必修五全集学案.doc
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1、 1.1.1 正弦定理学习目标 1. 掌握正弦定理的内容; 2. 掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题学习过程 一、课前准备 试验:固定ABC 的边 CB 及B,使边 AC 绕着顶点 C 转动思考:C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系?显然,边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而 能否用一个等式把这种 关系精确地表示出来? 二、新课导学 学习探究 探究 1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨 直角三角形中,角与边的等式关系. 如图,在 RtABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义
2、,有,又, sinaAcsinbBcsin1cCc 从而在直角三角形 ABC 中, sinsinsinabc ABC( 探究 2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义,有 CD=,则, sinsinaBbAsinsinab AB同理可得, sinsincb CB从而sinsinab ABsinc C类似可推出,当ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立请你试试导.新知:正弦定理正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即sinsinab ABsinc C
3、试试: (1)在中,一定成立的等式是( )ABC A B.sinsinaAbBcoscosaAbB C. D.sinsinaBbAcoscosaBbA (2)已知ABC 中,a4,b8,A30,则B 等于 理解定理理解定理 (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数, 即存在正数 k 使, ,;sinakAsinckC(2)等价于 ,sinsinab ABsinc Csinsincb CBsina Asinc C (3)正弦定理的基本作用为:已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如; sin sinbAaBb 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他
4、角的正弦值,如; sinsinaABbsinC (4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形解三角形 典型例题 例 1. 在中,已知,cm,解三角形ABC45A 60B 42a 变式:在中,已知,cm,解三角形ABC45B 60C 12a 例 2. 在6,45 ,2,ABCcAabB C中,求和变式:在3,60 ,1,ABCbBcaA C中,求和三、总结提升 学习小结1. 正弦定理:sinsinab ABsinc C2. 正弦定理的证明方法:三角函数的定义, 还有 等积法,外接圆法,向量法. 3应用正弦定理解三角形:已知两角和一边; 已知两边和其中一边的对角 知识拓展
5、,其中为外接圆直径.sinsinab AB2sincRC2R学习评价学习评价 自我评价自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:1. 在中,若,则是( ).ABCcos cosAb BaABCA等腰三角形 B等腰三角形或直角三角形 C直角三角形 D等边三角形 2. 已知ABC 中,ABC114, 则 abc 等于( ).A114 B112 C11 3D223 3. 在ABC 中,若,则与的大小关系为( ).sinsinABABA. B. ABAB C. D. 、的大小关系不能确定ABAB 4
6、. 已知ABC 中,则= sin:sin:sin1:2:3ABC : :a b c5. 已知ABC 中,A,则603a = sinsinsinabc ABC 课后作业 1. 已知ABC 中,AB6,A30,B,解此三角形1202. 已知ABC 中,sinAsinBsinCk(k1)2k (k0),求实数 k 的取值范围为1.1.2 余弦定理学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式; 2. 证明余弦定理的向量方法; 3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题学习过程 一、课前准备 复习 1:在一个三角形中,各 和它所对角的 的 相等,即 = = 复习 2:在ABC 中,已知,A=45,C=3
7、0,解此三角形10c 思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢?二、新课导学 探究新知 问题:在中,、ABCAB、的长分别为、.BCCAcabcabABC ,AC ACAC同理可得: ,2222cosabcbcA2222coscababC新知:余弦定理:三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它 们的夹角的 的积的两倍思考:这个式子中有几个量? 从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论:, ,222 cos2bcaAbc 理解定理理解定理 (1)若 C=,则 ,这时90cosC 222cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,
8、勾股定理是余弦定理的特例 (2)余弦定理及其推论的基本作用为: 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; 已知三角形的三条边就可以求出其它角试试:(1)ABC 中,求3 3a 2c 150B b(2)ABC 中,求2a 2b 31c A 典型例题例 1. 在ABC 中,已知,求和3a 2b 45B ,A Cc变式:在ABC 中,若 AB,AC5,且 cosC,则 BC_59 10例 2. 在ABC 中,已知三边长,求三角形的最大内角3a 4b 37c 变式:在ABC 中,若,求角 A222abcbc三、总结提升 学习小结 1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是
9、余弦定理的特例; 2. 余弦定理的应用范围: 已知三边,求三角; 已知两边及它们的夹角,求第三边 知识拓展 在ABC 中, 若,则角是直角;222abcC 若,则角是钝角;222abcC 若,则角是锐角222abcC学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:1. 已知已知 a,c2,B150,则边,则边 b 的长为(的长为( ).3A. B. C. D. 34 23422 2222. 已知三角形的三边长分别为已知三角形的三边长分别为 3、5、7,则最大角为(,则最大角为( ). A B C
10、 D6075120150 3. 已知锐角三角形的边长分别为已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则,则 x 的取值范围是(的取值范围是( ).A Bx5 513x13C 2x Dx5554. 在在ABC 中,中,|3,|2,与与的夹角为的夹角为 60,则,则AB ACAB AC|_AB AC5. 在在ABC 中,已知三边中,已知三边 a、b、c 满足满足 ,则,则C 等于等于 222bacab课后作业 1. 在ABC 中,已知 a7,b8,cosC,求最大角的余弦值13 142. 在ABC 中,AB5,BC7,AC8,求的值.AB BC 1.1 正弦定理和余弦定理(练习)学习目标 1. 进一
11、步熟悉正、余弦定理内容; 2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形学习过程 一、课前准备 复习 1:在解三角形时 已知三边求角,用 定理; 已知两边和夹角,求第三边,用 定理; 已知两角和一边,用 定理复习 2:在ABC 中,已知 A,a25,b50,解此三角形622二、新课导学 学习探究 探究:在ABC 中,已知下列条件,解三角形. A,a25,b50; 62 A,a,b50; 650 6 32 A,a50,b50.62思考:解的个数情况为何会发生变化? 新知:用如下图示分析解的情况(A 为锐角时)bab ab aba a一 一 一 a,b一 A一 一
12、 一 一 一一 一 一 一一 一 一 一 一一 一abCH=bsinA0,d0,前n项和有最小值,可由0,且0,求得n的值奎屯王新敞新疆nana1na(2)利用:由,利用二次函数配方法求得最大(小)值时n的nS2 1()22nddSnan值. 动手试试 练 1. 已知,求数列的通项.232nSnnna练 2. 有两个等差数列 2,6,10,190 及 2,8,14,200,由这两个等差数列的 公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,求这个新数列的各项之和. 三、总结提升 学习小结 1. 数列通项和前 n 项和关系;nanS2. 等差数列前项和最大(小)值的两种求法. 知识拓展 等差数列奇数项与偶
13、数项的性质如下:1若项数为偶数 2n,则;SSnd偶奇1(2)nnSanSa奇偶2若项数为奇数 2n1,则 ;1nSSa奇偶1nSna偶1(1)nSna奇.1Sn Sn 偶奇学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列数列是等差数列的是( ). A. B. 2 nan21nSnC. D. 221nSn22nSnn2. 等差数列中,已知,那么( ).na1590S8a A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 3. 等差数列的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前
14、 3m 项和为( ).naA. 70 B. 130 C. 140 D. 170 4. 在小于 100 的正整数中共有 个数被 7 除余 2,这些数的和为 .5. 在等差数列中,公差 d,1 2100145S则 .13599.aaaa课后作业 1. 在项数为 2n+1 的等差数列中,所有奇数项和为 165,所有偶数项和为 150,求 n 的 值.2. 等差数列,该数列前多少项的和最小?na10a 912SS2.4 等比数列(1)学习目标 1 理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质; 2. 能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力; 3. 体会等比数列与指数函数的
15、关系. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P48 P51,找出疑惑之处) 复习 1:等差数列的定义? 复习 2:等差数列的通项公式 ,na 等差数列的性质有: 二、新课导学 学习探究 观察:1,2,4,8,16,1,1 21 41 81 16 1,20,220320420 思考以上四个数列有什么共同特征 新知: 1. 等比数列定义:一般地,如果一个数列从第 项起, 一项与它的 一项的 等于 常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母 表示(q0),即:= (q0)1nna a 2. 等比数列的通项公式:; ;21aa3211()aa qa q qa; 2 4311
16、()aa qa qqa 等式成立的条件 11nnaaqa3. 等比数列中任意两项与的关系是:nama 典型例题例 1 (1) 一个等比数列的第 9 项是,公比是,求它的第 1 项;4 91 3 (2)一个等比数列的第 2 项是 10,第 3 项是 20,求它的第 1 项与第 4 项. 小结:关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式.1 1n naa q例 2 已知数列中,lg ,试用定义证明数列是等比数列.na35nanna小结:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数 n,是一个不为 0 的1nna a常数就行了. 动手试试 练 1. 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留
17、的这种物质是原来的 84. 这种物质的半衰期为多长(精确到 1 年)?练 2. 一个各项均正的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比( ). A. B. C. D. q 3 23 5 251 251 2三、总结提升 学习小结 1. 等比数列定义; 2. 等比数列的通项公式和任意两项与的关系.nama 知识拓展 在等比数列中, na 当,q 1 时,数列是递增数列;10a na 当,数列是递增数列;10a 01qna 当,时,数列是递减数列;10a 01qna 当,q 1 时,数列是递减数列;10a na 当时,数列是摆动数列;0q na 当时,数列是常数列. 1q na学习评价
18、自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在为等比数列,则( ). na112a 224a 3a A. 36 B. 48 C. 60 D. 722. 等比数列的首项为,末项为,公比为,这个数列的项数 n( ).9 81 32 3A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知数列 a,a(1a),是等比数列,则实数 a 的取值范围是( 2(1)aa).A. a1 B. a0 且 a1 C. a0 D. a0 或 a14. 设,成等比数列,公比为 2,则 .1a2a3a4a12342 2aa
19、 aa 5. 在等比数列中,则公比 q .na4652aaa课后作业 在等比数列中,na ,q3,求;427a 7a ,求和 q;218a 48a 1a ,求;44a 76a 9a ,求.514215,6aaaa3a2.4 等比数列(2)学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念; 2. 熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.学习过程 一、课前准备 (预习教材 P51 P54,找出疑惑之处) 复习 1:等比数列的通项公式 = .na 公比 q 满足的条件是 复习 2:等差数列有何性质? 二、新课导学 学习探究 问题 1:如果在 a 与 b 中
20、间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,则2GbGabGaG新知 1:等比中项定义等比中项定义如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 称为 a 与 b 的等比中项. 即 G= (a,b 同号).试试:数 4 和 6 的等比中项是 . 问题 2: 1.在等比数列中,是否成立呢?na2 537aa a2.是否成立?你据此能得到什么结论?2 11(1)nnnaaan3.是否成立?你又能得到什么结论?2(0)nn kn kaaank新知 2:等比数列的性质等比数列的性质在等比数列中,若 m+n=p+q,则.mnpka aa a试试:在等比数列,已知,
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