关于导数地高考.题汇总(含答案).doc
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1、导数高考题导数高考题1已知函数 f(x)=x3+ax+ ,g(x)=lnx(i)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线;(ii)用 min m,n 表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)=min f(x) ,g(x)(x0) ,讨论 h(x)零点的个数解:(i)f(x)=3x2+a,设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 P(x0,0) ,则 f(x0)=0,f(x0)=0,解得,a=因此当 a= 时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线;(ii)当 x(1,+)时,g(x)=lnx0,函数 h(x)=min f(x) ,g(x)g(x)0,故 h(x)在 x(1,+)时无零点当
2、x=1 时,若 a ,则 f(1)=a+ 0,h(x)=min f(1) ,g(1)=g(1)=0,故 x=1 是函数 h(x)的一个零点;若 a ,则 f(1)=a+ 0,h(x)=min f(1) ,g(1)=f(1)0,故 x=1 不是函数 h(x)的零点;当 x(0,1)时,g(x)=lnx0,因此只考虑 f(x)在(0,1)内的零点个数即可当 a3 或 a0 时,f(x)=3x2+a 在(0,1)内无零点,因此 f(x)在区间(0,1)内单调,而 f(0)= ,f(1)=a+ ,当 a3 时,函数 f(x)在区间(0,1)内有一个零点,当 a0 时,函数 f(x)在区间(0,1)内没
3、有零点当3a0 时,函数 f(x)在内单调递减,在内单调递增,故当 x=时,f(x)取得最小值=若0,即,则 f(x)在(0,1)内无零点若=0,即 a= ,则 f(x)在(0,1)内有唯一零点若0,即,由 f(0)= ,f(1)=a+ ,当时,f(x)在(0,1)内有两个零点当3a时,f(x)在(0,1)内有一个零点综上可得:当或 a时,h(x)有一个零点;当 a=或时,h(x)有两个零点;当时,函数 h(x)有三个零点2设函数 f(x)=emx+x2mx(1)证明:f(x)在(,0)单调递减,在(0,+)单调递增;(2)若对于任意 x1,x21,1,都有|f(x1)f(x2)|e1,求 m
4、 的取值范围解:(1)证明:f(x)=m(emx1)+2x若 m0,则当 x(,0)时,emx10,f(x)0;当 x(0,+)时,emx10,f(x)0若 m0,则当 x(,0)时,emx10,f(x)0;当 x(0,+)时,emx10,f(x)0所以,f(x)在(,0)时单调递减,在(0,+)单调递增(2)由(1)知,对任意的 m,f(x)在1,0单调递减,在0,1单调递增,故 f(x)在 x=0 处取得最小值所以对于任意 x1,x21,1,|f(x1)f(x2)|e1 的充要条件是即设函数 g(t)=ette+1,则 g(t)=et1当 t0 时,g(t)0;当 t0 时,g(t)0故
5、g(t)在(,0)单调递减,在(0,+)单调递增又 g(1)=0,g(1)=e1+2e0,故当 t1,1时,g(t)0当 m1,1时,g(m)0,g(m)0,即合式成立;当 m1 时,由 g(t)的单调性,g(m)0,即 emme1当 m1 时,g(m)0,即 em+me1综上,m 的取值范围是1,13函数 f(x)=ln(x+1)(a1) ()讨论 f(x)的单调性;()设 a1=1,an+1=ln(an+1) ,证明:an解:()函数 f(x)的定义域为(1,+) ,f(x)=,当 1a2 时,若 x(1,a22a) ,则 f(x)0,此时函数 f(x)在(1,a22a)上是增函数,若 x
6、(a22a,0) ,则 f(x)0,此时函数 f(x)在(a22a,0)上是减函数,若 x(0,+) ,则 f(x)0,此时函数 f(x)在(0,+)上是增函数当 a=2 时,f(x)0,此时函数 f(x)在(1,+)上是增函数,当 a2 时,若 x(1,0) ,则 f(x)0,此时函数 f(x)在(1,0)上是增函数,若 x(0,a22a) ,则 f(x)0,此时函数 f(x)在(0,a22a)上是减函数,若 x(a22a,+) ,则 f(x)0,此时函数 f(x)在(a22a,+)上是增函数()由()知,当 a=2 时,此时函数 f(x)在(1,+)上是增函数,当 x(0,+)时,f(x)
7、f(0)=0,即 ln(x+1), (x0) ,又由()知,当 a=3 时,f(x)在(0,3)上是减函数,当 x(0,3)时,f(x)f(0)=0,ln(x+1),下面用数学归纳法进行证明an成立,当 n=1 时,由已知,故结论成立假设当 n=k 时结论成立,即,则当 n=k+1 时,an+1=ln(an+1)ln(),an+1=ln(an+1)ln(),即当 n=k+1 时,成立,综上由可知,对任何 nN结论都成立4已知函数 f(x)=exex2x()讨论 f(x)的单调性;()设 g(x)=f(2x)4bf(x) ,当 x0 时,g(x)0,求 b 的最大值;()已知 1.41421.4
8、143,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001) 解:()由 f(x)得 f(x)=ex+ex2,即 f(x)0,当且仅当 ex=ex即 x=0 时,f(x)=0,函数 f(x)在 R 上为增函数()g(x)=f(2x)4bf(x)=e2xe2x4b(exex)+(8b4)x,则 g(x)=2e2x+e2x2b(ex+ex)+(4b2)=2(ex+ex)22b(ex+ex)+(4b4)=2(ex+ex2)(ex+ex+22b) ex+ex2,ex+ex+24,当 2b4,即 b2 时,g(x)0,当且仅当 x=0 时取等号,从而 g(x)在 R 上为增函数,而 g(0)=0,x0 时,g(
9、x)0,符合题意当 b2 时,若 x 满足 2ex+ex2b2 即,得,此时,g(x)0,又由 g(0)=0 知,当时,g(x)0,不符合题意综合、知,b2,得 b 的最大值为 2()1.41421.4143,根据()中 g(x)=e2xe2x4b(exex)+(8b4)x,为了凑配 ln2,并利用的近似值,故将 ln即代入 g(x)的解析式中,得当 b=2 时,由 g(x)0,得,从而;令,得2,当时,由 g(x)0,得,得所以 ln2 的近似值为 0.6935设函数 f(x)=aexlnx+,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处得切线方程为 y=e(x1)+2()求 a、b;()证明
10、:f(x)1解:()函数 f(x)的定义域为(0,+) ,f(x)=+,由题意可得 f(1)=2,f(1)=e,故 a=1,b=2;()由()知,f(x)=exlnx+,f(x)1,exlnx+1,lnx,f(x)1 等价于 xlnxxex ,设函数 g(x)=xlnx,则 g(x)=1+lnx,当 x(0, )时,g(x)0;当 x( ,+)时,g(x)0故 g(x)在(0, )上单调递减,在( ,+)上单调递增,从而 g(x)在(0,+)上的最小值为 g( )= 设函数 h(x)=xex ,则 h(x)=ex(1x) 当 x(0,1)时,h(x)0;当 x(1,+)时,h(x)0,故 h(
11、x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,从而 h(x)在(0,+)上的最大值为 h(1)= 综上,当 x0 时,g(x)h(x) ,即 f(x)16已知函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d)若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2) ,且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2()求 a,b,c,d 的值;()若 x2 时,f(x)kg(x) ,求 k 的取值范围解:()由题意知 f(0)=2,g(0)=2,f(0)=4,g(0)=4,而 f(x)=2x+a,g(x)=ex(cx+d+c) ,故 b=2,d=2,a=4,d+c=4,从而 a=4,
12、b=2,c=2,d=2;()由(I)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1) ,设 F(x)=kg(x)f(x)=2kex(x+1)x24x2,则 F(x)=2kex(x+2)2x4=2(x+2) (kex1) ,由题设得 F(0)0,即 k1,令 F(x)=0,得 x1=lnk,x2=2,若 1ke2,则2x10,从而当 x(2,x1)时,F(x)0,当 x(x1,+)时,F(x)0,即 F(x)在(2,x1)上减,在(x1,+)上是增,故 F(x)在2,+)上的最小值为 F(x1) ,而 F(x1)=x1(x1+2)0,x2 时 F(x)0,即 f(x)kg(x)恒成立若
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