力学专业知识-第三章答案.doc
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1、第三章基本知识小结第三章基本知识小结牛顿运动定律适用于惯性系、质点,牛顿第二定律是核心。矢量式:22dtrdmdtvdmamF分量式:(弧坐标)(直角坐标) 2 ,vmmaFdtdvmmaFmaFmaFmaFnnzzyyxx动量定理适用于惯性系、质点、质点系。导数形式:dtpdF微分形式:pddtF积分形式:pdtFI)((注意分量式的运用)动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零,则质点或质 点系的动量保持不变。即 恒矢量。则,若外pF0(注意分量式的运用)在非惯性系中,考虑相应的惯性力,也可应用以上规律解题。在直线加速参考系中:0*amf在转动参
2、考系中:2,*2*mvfrmfkc质心和质心运动定理iiciiciicamamvmvmrmrmcamF(注意分量式的运用)3.4.1 质量为 2kg 的质点的运动学方程为 (单位:米,秒) , 求证质点受恒jttitr) 133() 16(22力而运动,并求力的方向大小。解:, 为一jidtrda612/22jiamF1224 与时间无关的恒矢量,质点受恒力而运动。F=(242+122)1/2=12N,力与 x 轴之间夹角为:534265 . 0/arctgFarctgFxy3.4.2 质量为 m 的质点在 o-xy 平面内运动,质点的运动学方程为:,a,b, 为正常数,证明作用于jtbi t
3、arsincos质点的合力总指向原点。证明:rj tbi tadtrda2222)sincos(/, 作用于质点的合力总指向原点。rmamF23.4.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛,一方面由筛孔漏出谷 粒,一方面逐出秸杆,筛面微微倾斜,是为了从较低的一边将秸杆 逐出,因角度很小,可近似看作水平,筛面与谷粒发生相对运动才 可能将谷粒筛出,若谷粒与筛面静摩擦系数为 0.4,问筛沿水平方 向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动? 解:以地为参考系,设谷物的质量为 m,所受到的最大静摩擦力为 ,谷物能获得的最大加速度为 mgfo筛面水平方向的加速2/92. 38 . 94 . 0/smgmf
4、ao度至少等于 3.92 米/秒2,才能使谷物与筛面发生相对运动。1 2 3.4.3 题图 3.4.4 题图3.4.4 桌面上叠放着两块木板,质量各为 m1 ,m2,如图所示, m2和桌面间的摩擦系数为 2,m1和 m2间的摩擦系数为 1,问沿 水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。 解:以地为参考系,隔离 m1、m2,其受力与运动情况如图所 示,其中,N1=N1,f1=f1=1N1,f2=2N2,选图示坐标系 o-xy,对 m1,m2分别应用牛顿二定律,有解方程00212222211111111 gmNNamNNFgmNamN组,得 2221211211/mgmgmgmFaga要把木板从
5、下面抽出来,必须满足,即12aa gmgmgmgmF12221211m2m1F m1gf1N1a1a2N2N1 m2gFf1f2xygmmF21213.4.5 质量为 m2的斜面可在光滑的水平面上 滑动,斜面倾角为 ,质量为 m1的运动员与斜面之 间亦无摩擦,求运动员相对于斜面的加速度及其对 斜面的压力。解:以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系(非惯性系, 设斜面相对地的加速度为 a2) ,取 m1为研究对象,其受力及运动情 况如左图所示,其中 N1为斜面对人的支撑力,f*为惯性力,a即人 对斜面的加速度,方向显然沿斜面向下,选如图所示的坐标系 o- xy,应用牛顿第二定律建立方程: )
6、2(cossin) 1 (0sincos12112111 amamgmamgmN再以地为参考系,取 m2为研究对象,其受力及运动情况如右 图所示,选图示坐标 o-xy,应用牛顿第二定律建立方程:(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)联 )4(0cos)3(sin122221 NgmNamN立,即可求得:gmmmmagmmmmN 2 1221 2 1221 1sinsin)(sincos 3.4.6 在图示的装置中两物体的质量各 为 m1,m2,物体之间及物体与桌面间的摩 擦系数都为 ,求在力 F 的作用下两物体 的加速度及绳内张力,不计滑轮和绳的质 量及轴承摩擦,绳不可伸长。 解:以地为参
7、考系, 隔离 m1,m2,受力及运 动情况如图示,其中:f1=N1=m1g,f2=N2=(N1+m2g)=(m1+m2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律:amTgmmgmFamgmT221111)(+可求得:gmmgmFa2112将 a 代入中,可求得:2111)2( mmgmFmT3.4.7 在图示的装置中,物体 A,B,C 的 质量各为 m1,m2,m3,且两两不相等. 若物 体 A,B 与桌面间的摩擦系数为 ,求三 个物体的加速度及绳内的张力,不计绳和 滑轮质量,不计轴承摩擦,绳不可伸长。 解:以地为参考系,隔离 A,B,C,受力及运动情况如图示, 其中:f1=N1=m1g,f2=
8、N2=m2g ,T=2T,由于 A 的位移加 B 的 位移除 2 等于 C 的位移,所以(a1+a2)/2=a3. m1m2 m1m2Ff1N1m1gTaFN2m2gTaN1f1f2CABTf1N1m1ga1Tf2N2m2g a2Tm3ga3yN2a2xN1=N1 m2gxN1 af*=m1a2y m1gY Y2Y10对 A,B,C 分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律:2/ )(22133222111 aamTgmamgmTamgmT,联立,可求得:gmmmmmmmmagmmmmmmmagmmmmmmma 21321321 32132131 22132132 14)()1 ()(4)()1
9、(24)()1 (23.4.8 天平左端挂一定滑轮,一轻绳跨过定滑轮,绳的两端分别 系上质量为 m1,m2的物体(m1m2),天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干,天平才能保持平衡?不计滑轮和绳的 质量及轴承摩擦,绳不伸长。 解:隔离 m1,m2及定滑轮,受力及运动情况如图 示,应用牛顿第二定律:22211TTamTgmamgmT由可求得:212121212,2mmgmmTmmgmmT所以,天平右端的总重量应该等于 T,天 平才能保持平衡。 3.4.11 棒球质量为 0.14kg,用棒击棒球的力随时间的变化如图 所示,设棒球被击前后速度增量大小为 70m/s,求力的最大值,打
10、击时,不计重力。解:由 Ft 图可知:max03. 008. 0max05. 008. 005. 005. 00FFtFFttt时,当时,当斜截式方程 y=kx+b,两点式方程 (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)由动量定理:08. 005. 003. 005. 0005. 008. 00)08. 0(maxmaxdtttdtFdtvmFF可求得 Fmax = 245N3.4.12 沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示, 火箭质量为 2kg,t=0 时处于静止,求火箭发射后的最大速率和最 大高度(注意,推力大于重力时才启动) 。 解:根据推力 F-t 图像,可知
11、 F=4.9t (t20),令 F=mg,即 4.9t=29.8,t=4s 因此,火箭发射可分为三个阶段:t=04s 为第一阶段,由于推力小于重力,火箭静 止,v=0,y=0;t=420s 为第二阶段,火箭作变加速直线运动,设 t=20s 时,y = y1,v = vmax ;t20s 为第三阶段,火箭 只受重力作用,作竖直上抛运动,设达最大高度时的 坐标 y=y2. 第二阶段的动力学方程为:F- mg = m dv/dtt(s)F(N)9820m1m2Tm1gaTm2gaTTT0.05 0.08t(s)F(N)Fmax0 mydttdtdttdydtttvdtdysmvvtttvtdttdt
12、dvdttdtgdtdtmFdvyttv16729 . 448 . 94/9 . 4)9 . 448 . 94/9 . 4(/314)20(209 . 448 . 94/9 . 4208 . 92/9 . 48 . 92/9 . 4/1204204204202max24401第三阶段运动学方程)2()20(9 . 4)20(314),1 ()20(8 . 93142 1ttyytv令 v=0,由(1)求得达最大高度 y2时所用时间(t-20)=32,代入 (2)中,得 y2-y1=5030 y2=ymax=5030+1672=6702(m) 3.4.13 抛物线形弯管的表面光滑,沿铅直轴以匀角
13、速率转动, 抛物线方程为 y=ax2,a 为正常数,小环套于弯管上。弯管角速 度多大,小环可在管上任一位置相对弯管静止?若为圆形光滑弯 管,情况如何? 解:以固定底座为参考系,设弯管的角速度为 ,小环受力及 运动情况如图示: 为小环处切线与 x 轴夹角,压力 N 与切线垂 直,加速度大小 a=2x,方向垂直指向 y 轴。 在图示坐标下应用牛顿二定律的分量式: mgNNxmNN cos)90sin(sin)90cos(2/得:tg=2x/g ;由数学知识: tg=dy/dx=2ax; 所以,agaggxax2,2,/222若弯管为半径为 R 的圆形,圆方程为:x2 + (R-y)2 = R2,即
14、222/122 212/1222/122222/)2()(/)(,)(,)(xRxxxRdxdytgxRRyxRyRxRyR代入中,得:22222/,/xRggxxRx3.4.14 北京设有供实验用的高速列车环形铁 路,回转半径为 9km,将要建设的京沪列车时 速 250km/h,若在环路上作此项列车实验且欲 使铁轨不受侧压力,外轨应比内轨高多少?设 轨距 1.435m. 解:以地为参考系,把车厢视为质点,受 力及运动情况如图示:车厢速度 v=250km/h=69.4m/s,加速度 a=v2/R;设轨矩为 l,外轨比内轨高 h, 有lhlhl/sin,/cos22选图示坐标 o-xy,对车箱应
15、用牛顿第二定律:,RmvlNhNmglhlNN/sin/cos222/得:,两边平方并整理,可求得 h:222/vgRhhlcmmRgvlvh 8 . 70782. 090008 . 94 .69/435. 14 .69/224222423.4.15 汽车质量为 1.210kN,在半径为 100m 的水平圆形弯道 上行驶,公路内外侧倾斜 15,沿公路取自然坐标,汽车运动学方 程为 s=0.5t3+20t (m),自 t=5s 开始匀速运动,问公路面作用于汽车 与前进方向垂直的摩擦力是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内xymgNa xhlmgNya侧? 解:以地为参考系,把汽车视为质点,受力及运
16、动情况如图示:v=ds/dt=1.5t2+20,v| t=5 =1.552+20=57.5m/s,an=v2/R=57.52/100=33 设摩擦力 f 方向指向外侧,取图示坐标 o- xy,应用牛顿第二定律:cossincossinsincossincosfmaNmafNfmgNmgfNnn /得:)sin/()cos(fmgfmatgntgagtgmffmatgfmgtgn nsincos)(,cossin,说明摩擦力0, 043.3033158 . 9ftgagtgn方向与我们事先假设方向相反,指向内侧。3.4.16 速度选择器原理如图,在平行板电容器间有匀强电场,又有与之垂直的匀强磁场
17、。现有带电粒子以速度jEEkBB进入场中,问具有何种速度的粒子方能保持沿 x 轴运动?此i vv装置用于选出具有特定速度的粒子,并用量纲法则检验计算结果。 解:带电粒子在场中受两个力的作用: 电场力 F1=qE,方向向下;磁场力 F2=qvB, 方向向上 粒子若沿 x 轴匀速运动,据牛顿定律:BEvqvBqE/, 01 1111 1dim,dim MTMNATNA BEMTv3.4.17 带电粒子束经狭缝 S1,S2之选择,然后进入速度选择器 (习题 3.4.16) ,其中电场强度和磁感应强度各为 E 和 B. 具有“合 格”速度的粒子再进入与速度垂直的磁场 B0中,并开始做圆周运 动,经半周
18、后打在荧光屏上.试证明粒子质量为:m=qBB0r/E,r 和 q 分别表示轨道半径和粒子电荷。 解:由 3.4.16 题可知,通过 速度选择器的粒子的速度是 v=E/B,该粒子在 B0磁场中受到 洛仑兹力的作用做匀速圆周运动, 其向心加速度为 an=v2/r,由牛顿 第二定律:EBqrBvrqBmrmvqvB /002 0 3.4.18 某公司欲开设太空旅馆。其设计为用 32m 长的绳联结质 量相等的两客舱,问两客舱围绕两舱中点转动的角速度多大,可使 客舱感到和在地面上那样受重力作用,而没有“失重”的感觉。解:sradrgrmmg/78. 016/8 . 9/,23.4.20 圆柱 A 重 5
19、00N,半径 RA=0.30m,圆柱 B 重 1000N,半 径 RB=0.50m,都放置在宽度 L=1.20m 的槽内,各接触点都是光滑 的,求 A、B 间的压力及 A、B 柱与槽壁和槽底间的压力。yx=15fNmganv+ EBxyF2=qvBF1=qEvEBs1s2sB0r解:隔离 A、B,其受力情况如图所示,选图示坐标,运用质点 平衡方程,有 )4(0cos)3(0sin)2(0cos)(!0singmNNNNgmNNNAABABAABBBBAB 通过对ABC 的分析,可知,sin=0.4/0.8=0.5 =30, cos=/2,分别代入(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)中,即
20、可求得: 3NB = 288.5 N , NB= 1500 N , NA = 288.5 N , NAB = 577 N.3.4.21 图表示哺乳动物的下颌骨,假如肌肉提供的力 F1和 F2 均与水平方向成 45,食物作用于牙齿的力为 F,假设 F,F1和 F2 共点,求 F1和 F2的关系以及与 F 的关系。 解:建立图示坐标 o-xy,应用共点力平衡条件:0, 0yxFFx 方向,F1cos-F2cos=0, F1= F2 y 方向,F1sin+F2sin- F=0,111245sin2sin2FFFF3.4.22 四根等长且不可伸长的轻绳端点悬于水平面正方形的四 个顶点处,另一端固结于一
21、处悬挂重物,重量为 W,线与铅垂线夹角为 ,求各线内张力。若四根线均不等长,知诸线之方向余弦, 能算出线内张力吗? 解:设四根绳子的张力为 T1,T2,T3,T4,由于对称,显然, T1=T2=T3=T4=T;设结点下边的拉力为 F,显 然 F=W. 在竖直方向上对结点应用平衡条件:4Tcos-W=0,T=W/(4cos) 若四根线均不等长,则 T1T2T3T4,由于有四个未知量,因此, 即使知道各角的方向余弦,也无法求解,此类问题在力学中称为静 不定问题。3.5.1 小车以匀加速度 a 沿倾角为 的斜面向下运动,摆锤相对小车保持静止, 求悬线与竖直方向的夹角(分别自惯性系和 非惯性系求解)
22、。 解:(1)以地为参考系(惯性系) ,小球受重力 W 和线拉力 T 的作用,加速度 a 沿斜面向下,建立图示坐标 o-xy,应用牛顿第二定律: sincoscossinmaTmgmaT解得 )sin/(cosagatg(2)以小车为参考系(非惯性系) ,小球除受重力 W、拉力 T 外,还受惯性力 f*的作用(见上图虚线表示的矢量),小球在三个 力作用下静止,据牛顿第二定律: 解得 0sincos0cossinmaTmgmaTsincos agatg3.5.2 升降机内有一装T T f1* f2* aa1 a2m1g m2gf*=maa yxTW=mgm1m2FxF1F2y置如图示,悬挂的两物
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