历届全国大学生数学竞赛预赛试卷.doc
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1、全国大学生数学竞赛全国大学生数学竞赛预赛试预赛试卷卷(非数学类)(非数学类)2009 年年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类非数学类)一、填空题(每小题 5 分,共 20 分)1计算_,其中区域由直线与两坐标轴()ln(1) d d1Dyxyxx yxy D1 yx所围成三角形区域.2设是连续函数,且满足,则_.)(xf220( )3( )d2f xxf xx( )f x 3曲面平行平面的切平面方程是_.2 222xzy022zyx4设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,则)(xyy 29ln)(yyfexef1 f_.22dd xy二、 (5 分)
2、求极限,其中是给定的正整数.xenxxxxneee)(lim20n三、 (15 分)设函数连续,且,为常数,求)(xf10( )()g xf xt dtAxxfx )(lim 0A并讨论在处的连续性.( )g x)(xg0x四、 (15 分)已知平面区域,为的正向边界,试0,0| ),(yxyxDLD 证:(1);LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin(2).2sinsin 25ddLyyxyeyxe五、 (10 分)已知,是某二阶常系数xxexey2 1xxexey2xxxeexey2 3 线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.六、 (10 分)设抛物线过
3、原点.当时,又已知该抛cbxaxyln2210 x0y物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成x1x31cba,x的旋转体的体积最小.V七、 (15 分)已知满足,且,求函数项级数)(xun1( )( )1,2,nx nnuxuxxenneun) 1 (之和.1)(nnxu八、 (10 分)求时,与等价的无穷大量.1x02nnx2010 年年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类非数学类)一、 (25 分,每小题 5 分)(1)设,其中求22(1)(1)(1)nnxaaa| 1,a lim.nnx (2)求.21lim1x xxex
4、(3)设,求.0s 0(1,2,)sxn nIex dx n(4)设函数有二阶连续导数,求.( )f t221, ( , )rxyg x yfr2222gg xy(5)求直线与直线的距离.10:0xylz 2213:421xyzl二、 (15 分)设函数在上具有二阶导数,并且,( )f x(,) ( )0fx,lim( )0 xfx ,且存在一点,使得. 证明:方程在恰有两lim( )0 xfx 0x0()0f x( )0f x (,) 个实根.3、 (15 分)设函数由参数方程所确定,且,( )yf x22(1)( )xtttyt 22d3 d4(1)y xt其中具有二阶导数,曲线与在出相切
5、,求函数.( ) t( )yt2213 2tuyedue1t ( ) t四、 (15 分)设,证明:10,nnnk kaSa(1)当时,级数收敛;11nnna S(2)当且时,级数发散.1()nsn 1nnna S五、 (15 分)设 是过原点、方向为, (其中的直线,均匀椭球l( , ) 2221)(其中,密度为 1)绕 旋转.2222221xyz abc0cbal(1)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向的最大值和最小值.( , ) 六、(15 分)设函数具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上,曲( )xC线积分的值为常数.422d( )d0 Lxy xxy xy A(1)
6、设为正向闭曲线,证明;L22(2)1xy422d( )d0 Lxy xxy xy A(2)求函数;( )x(3)设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求.C422d( )dCxy xxy xy A2011 年年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类非数学类)一、计算下列各题(本题共 3 小题,每小题各 5 分,共 15 分)(1)求;1 1 cos0sinlimxxx x(2).求;111lim.12nnnnn(3)已知,求.2ln 1arctanttxeyte 22d dy x二、 (本题 10 分)求方程的通解.24 d1 d0xyxxyy三、 (本题 1
7、5 分)设函数在的某邻域内具有二阶连续导数,且( )f x0x 均不为 0,证明:存在唯一一组实数,使得 0 ,0 ,0fff123,k k k. 123 20230lim0 hk f hk fhk fhf h四、 (本题 17 分)设,其中,为与2221222:1xyz abc0abc222 2:zxy1的交线,求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.21五、 (本题 16 分)已知是空间曲线绕轴旋转形成的椭球面的上半部分(S22310xyzy) (取上侧) ,是在点处的切平面,是原点到切平面的距离,0z S( , , )P x y z( , , )x y z表示的正法向的方向余
8、弦. 计算:, , S(1);(2)d, ,SzSx y z3dSzxyzS六、 (本题 12 分)设是在内的可微函数,且,其中,( )f x(,) ( )( )fxmf x01m任取实数,定义,证明:绝对收敛.0a1ln(),1,2,.nnaf an1 1()nn naa 七、 (本题 15 分)是否存在区间上的连续可微函数,满足,0,2( )f x(0)(2)1ff,( )1fx?请说明理由.20( )d1f xx 2012 年年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类非数学类)一、 (本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分)解答下列各题(要求
9、写出重要步骤).(1)求极限.21 lim( !)n nn (2)求通过直线的两个互相垂直的平面和,使其中一个平面过2320:55430xyzlxyz12点.(4,3,1)(3)已知函数,且. 确定常数和,使函数满足方( , )ax byzu x y e2 0u x y ab( , )zz x y程.2 0zzzzx yxy (4)设函数连续可微,且在右半平面与路径( )uu x(2)1u3(2 ) d() d Lxy u xxu u y无关,求.( , )u x y(5)求极限.13sinlimdcosxxxtxttt二、 (本题 10 分)计算.20sindxexx三、 (本题 10 分)
10、求方程的近似解,精确到 0.001.21sin2501xxx四、 (本题 12 分)设函数二阶可导,且,求( )yf x( )0fx(0)0f(0)0f ,其中是曲线上点处的切线在轴上的截距.330( )lim( )sinxx f u f xuu( )yf x( ,( )P xf xx五、 (本题 12 分)求最小实数,使得满足的连续函数都有C10( ) d1f xx ( )f x.10()fx dxC六、 (本题 12 分)设为连续函数,. 区域是由抛物面和球面( )f x0t 22zxy所围起来的部分. 定义三重积分,2222xyzt(0)z 222( )()dF tf xyzv 求的导数
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