量子力学之狄拉克符号系统与表象.doc
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1、Dirac 符号系统与表象一、一、Dirac 符号符号1. 引言 我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式,它们都是取定了某一具体 的 力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外,也可以 不取定表象,正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量, 而不用具体坐标系中的分量(Ax, Ay, Az)表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的,本质是一个线性泛函空间,所以该方法所使用 的符号称为 Dirac 符号。2. 态矢量(1). 右矢空间力学量本征态构成完备系,所以本征函数所对应的右矢空间中
2、的右矢也组 成该空间的完备右矢(或基组) ,即右矢空间中的完备的基本矢量(简称基矢) 。右矢空间的任一矢量 | 可按该空间的某一完备基矢展开。例如:=n na n(2). 左矢空间 右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量,记为 称为伴矢量。的关系 | 按 Q 的左基矢 |Qn 展开: | = a1 |Q 1 + a2 |Q 2 + . + a3 |Q3 + . 展开系数即相当于 Q 表象中的表示:12naaa 和 * = 。对于满足归*nn nba 一化条件的内积有:。这样,本征态的归一化条件可以写*1nn naa 为:由此可以看出: 满足: a)在同一确定表象中,各分量互为
3、复共轭; b)由于二者属于不同空间所以它们不能相加,只有同一空间的矢量才能相 加; c)右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算,其结果为 一复数。 (4). 本征函数的封闭性 a)分立谱 展开式:=nn na Q|( )|( )( )mnmnnmnn nnQa tQQa ta t可得:|nn nQQ因为 | 是任意态矢量,所以:| 1nn nQQb)连续谱 对于连续谱 |q ,q 取连续值,任一状态 | 展开式为:|( ) |qa tqdq因为 | 是任意态矢量,所以:| 1qdqq这就是连续本征值的本征矢的封闭性。 c)投影算符 |Qn上,相当于 把 | 投影到左基矢 |Qn
4、或 |q 上,即作用的结果只是留下了该态矢在 |Qn 上的分量 或 。故称 |Qn 在 X 表象的表示是 (x, t),所以显然有:在分立谱下:| 1nn nQQ|nn nx QQxx x|( )|( )|nmnmppppxxxxQQ连续谱连续谱分立谱|qdqq|( , ) |*( , )xx t xxx t 所以。*( )( )()nn nux uxxx在连续谱下:| 1qdqq|x qdqq xx x所以。*( )( )()qqux ux dqxx上述讨论即本征矢的封闭性,其与完备性的区别如下:正交归一性的表示式是对坐标的积分,封闭性的表示式是对本征值的求和 或积分。所以,我们也可以把封闭
5、性解释为本征函数对于本征值的求和或积分 是正 交归一的。它来自于本征函数的完备性,也是本征函数完备性的表示。 3. 算符 (1). 右矢空间X 表象下:在一般 Dirac 表象下:利用分立谱下的完备性可以得到:写成矩阵形式为:即 Q 表象下 = F 。平均值公式:。利用利用分立谱下的完备性可以得到:|FF*|mmnn mnmmnn mnFQQF QQa F a(2). 共轭式(右矢空间)) ()() (*) ()() (*xxdqxuxuxxxuxuqqnn n ) ()()(*)()(*qqdxxuxudxxuxuqqnmmn ( , )( , ) ( , )x tF x px t |FQQ
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