行程知识学习问题汇编.doc
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1、行程问题集锦行程问题集锦1、 基本行程问题: 基本概念:行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、行程三者之间 的关系。基本公式:路程速度时间;路程时间速度;路程速度时间关键问题:确定行程过程中的位置 2、 简单的相遇、追及问题: 相遇问题:速度和相遇时间相遇路程 追击问题:追击时间路程差速度差 简单的相遇与追及问题各自解题时的入手点及需要注意的地方1.相遇问题:与速度和、路程和有关 是否同时出发 是否有返回条件 是否和中点有关:判断相遇点位置 是否是多次返回:按倍数关系走。 一般条件下,入手点从“和“入手,但当条件与“差“有关时,就从差入手,再分 析出时间,由此再得所需结果2.追及
2、问题:与速度差、路程差有关 速度差与路程差的本质含义 是否同时出发,是否同地出发。 方向是否有改变 环形时:慢者落快者整一圈 (1) 甲、乙两列火车同时从相距 700 千米的两地相向而行,甲列车每小时行 85 千米, 乙列车每小时行 90 千米,几小时两列火车相遇?(2) 两列火车从两个车站同时相向出发,甲车每小时行 48 千米,乙车每小时行 78 千 米,经过 2.5 小时两车相遇。两个车站之间的铁路长多少千米?(3) 甲、乙两列火车同时从相距 988 千米的两地相向而行,经过 5.2 小时两车相遇。甲 列车每小时行 93 千米,乙列车每小时行多少千米?(1)师徒两人合作加工 520 个零件
3、, 师傅每小时加工 30 个,徒弟每小时加工 20 个,几小时以后还有 70 个零件没有加工?(2)甲、乙两队合挖一条水渠,甲队从东往西挖,每天挖 75 米;乙队从西往东挖, 每天比甲队少挖 5 米,两队合作 8 天挖好,这条水渠一共长多少米?(3) 甲、乙两艘轮船从相距 654 千米的两地相对开出而行,8 小时两船还相距 22 千米。 已知乙船每小时行 42 千米,甲船每小时行多少千米?(4)一辆汽车和一辆自行车从相距 172.5 千米的甲、乙两地同时出发,相向而行,3 小时后两车相遇。已知汽车每小时比自行车多行 31.5 千米,求汽车、自行车的速度各是多 少?(5)两地相距 270 千米,
4、甲、乙两列火车同时从两地相对开出,经过 4 小时相遇。已知甲车的速度是乙车的 1.5 倍,求甲、乙两列火车每小时各行多少千米?(6)甲、乙两城相距 680 千米,从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶 60 千米,2 小时后,快车从乙城开往甲城,每小时行 80 千米,快车开出几小时后两车相遇?(7)甲、乙两车同时从相距 480 千米的两地相对而行,甲车每小时行 45 千米,途中 因汽车故障甲车停了 1 小时,5 小时后两车相遇。乙车每小时行多少千米?(8)A、B 两地相距 3300 米,甲、乙两人同时从两地相对而行,甲每分钟走 82 米, 乙每分钟走 83 米,已经行了 15 分钟,还要行多少分钟
5、才可以相遇?(9)甲、乙两列汽车同时从两地出发,相向而行。已知甲车每小时行 45 千米,乙车 每小时行 32 千米,相遇时甲车比乙车多行 52 千米。求甲乙两地相距多少千米?(10)姐妹俩同时从家里到少年宫,路程全长 770 米。妹妹步行每分钟行 60 米,姐姐 骑自行车以每分钟 160 米的速度到达少年宫后立即返回,途中与妹妹相遇。这时妹妹走了 几分钟?(2001 年上海市金山区升级考试卷)(11)小明和小华从甲、乙两地同时出发,相向而行。小明步行每分钟走 60 米,小华 骑自行车每分钟行 190 米,几分钟后两人在距中点 650 米处相遇? (2002 年上海市金山 区升级考试卷)(12)
6、A、B 两地相距 300 千米,两辆汽车同时从两地出发,相向而行。各自达到目 的地后又立即返回,经过 8 小时后它们第二此相遇。已知甲车每小时行 45 去,千米,乙车 每小时行多少千米?3、平均速度:平均速度=总路程总时间 例题:张师傅驾驶一辆载重汽车从县城出发到省城送货,到达省城后马上卸货并随即沿原 路返回。他驾驶的这辆汽车去时每小时行 64 千米,返回时每小时行 56 千米,往 返一趟共用去 12 小时(在省城卸货所用时间略去不计)。张师傅在省城和县城之间 往返一趟共行了多少千米? 题说 第五届小数报数学竞赛初赛第 1 题答案:716.8(千米)D10022 一辆汽车以每小时 60 千米的
7、速度从 A 地开往 B 地,它又以每小时 40 千米的速度 从 B 地返回 A 地,那么这辆汽车行驶的平均速度是_千米/小时 题说 第六届“祖冲之杯”数学邀请赛第 4 题 答案:48(千米/小时)D10034 王师傅驾车从甲地开往乙地交货。如果他往返都以每小时 60 千米的速度行驶,正 好可以按时返回甲地,可是当到达乙地时,他发现他从甲地到乙地的速度只有每 小时 55 千米。如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开? 题说 第二届“华杯赛”复赛第 6 题答案:每小时 66 千米4、钟面行程: 两个速度单位:分针每分钟走两个速度单位:分针每分钟走 6 度,时针每分钟走度,时针每分钟走 0.5
8、 度度时钟问题主要有 3 大类题型:第一类是追及问题(注意时针分针关系的时候往往有两种情况) ;第二类是相遇问题(时针分针永远不会是相遇的关系,但是当时针分针与某一刻度夹角相等时,可以求出路程和) ;第三种就是走不准问题,这一类问题中最关键的一点:找到表与现实时间的比例关系。5、走走停停: 行程问题里走走停停的题目应该怎么做画出速度和路程的图。要学会读图。每一个加速减速、匀速要分清楚,这有利于你的解题思路。要注意每一个行程之间的联系。 【题目】甲乙两人同时从一条 800 环形跑道同向行驶,甲 100 米/分,乙 80 米/分,两人 每跑 200 米休息 1 分钟,甲需多久第一次追上乙?【解答】
9、这样的题有三种情况:在乙休息结束时被追上、在休息过程中被追上和在 行进中被追上。很显然首先考虑在休息结束时的时间最少,如果不行再考虑在休息过程中 被追上,最后考虑行进中被追上。其中在休息结束时或者休息过程中被追上的情况必须考 虑是否是在休息点追上的。由此首先考虑休息 80020013 分钟的情况。甲就要比乙多休息 3 分钟,就相当 于甲要追乙 8008031040 米,需要 1040(10080)52 分钟,52 分钟甲行了521005200 米,刚好是在休息点追上的满足条件。行 5200 米要休息 5200200125 分钟。因此甲需要 522577 分钟第一次追上乙。 【题目】在 400
10、米环形跑道上,A、B 两点的跑道相距 200 米,甲、乙两人分别从 A、B 两点同时出发,按逆时针方向跑步,甲每秒跑 7 米,乙每秒跑 5 米,他们每人跑 100 米都 停 5 秒那么,甲追上乙需要多少秒?【解答】这是传说中的“走走停停”的行程问题。这里分三种情况讨论休息的时间,第一、如果在行进中追上,甲比乙多休息 10 秒, 第二,如果在乙休息结束的时候追上,甲比乙多休息 5 秒,第三,如果在休息过程中且又 没有休息结束,那么甲比乙多休息的时间,就在这 510 秒之间。显然我们考虑的顺序是 首先看是否在结束时追上,又是否在休息中追上,最后考虑在行进中追上。有了以上的分析,我们就可以来解答这个
11、题了。我们假设在同一个地点,甲比乙晚 出发的时间在 200/75235/7 和 200/710270/7 的之间,在以后的行程中,甲就要比 乙少用这么多时间,由于甲行 100 米比乙少用 100/5100/740/7 秒。继续讨论,因为 270/740/7 不是整数,说明第一次追上不是在乙休息结束的时候 追上的。因为在这个范围内有 240/740/76 是整数,说明在乙休息的中追上的。即甲共 行了 6100200800 米,休息了 7 次,计算出时间就是 800/775149 又 2/7 秒。注:这种方法不适于休息点不同的题,具有片面性。 在有些行程问题中,既有路程上的前后调头,又有时间上的走
12、走停停,同时又有速度上 的前后变化。遇到此类问题,我们应分析其中的运动规律,把整个运动过程分成几段,再 仔细分析每一段中的情况,然后再类推到其它各段中去。这样既可使运动关系明确、简化,又可减少复杂重复的推理及计算。例:甲、乙两名运动员在周长 400 米的环形跑道上进行 10000 米长跑比赛,两人从 同一起跑线同时起跑,甲每分钟跑 400 米,乙每分钟跑 360 米,当甲比乙领先整整一圈时, 两人同时加速,乙的速度比原来快 ,甲每分比原来多跑 18 米,并且都以这样的速度保持 到终点。问:甲、乙两人谁先到达终点? 停走问题这类题抓住一个关键-假设不停走,算出本来需要的时间。【例 1】龟兔赛跑,
13、全程 5.4 千米,兔子每小时跑 25 千米,乌龟每小时跑 4 千米, 乌龟不停的跑,但兔子却边跑边玩,它先跑 1 分,然后再玩 15 分,又跑 2 分,玩 15 分, 再跑 3 分,玩 15 分,那么先到达终点的比后到达终点的快几分钟呢?【例 2】在一条公路上,甲、乙两个地点相距 600 米。张明每小时行走 4 千米,李 强每小时 5 千米。8 点整,他们两人从甲、乙两地同时出发相向而行,1 分钟后他们都的掉 头反向而行,再过 3 分钟,他们又掉头相向而行,依次按照 1,3,5,7,9,分钟数 掉头行走,那么,张、李二人相遇时间是 8 点几分呢?5多人行程-这类问题主要涉及的人数为 3 人,
14、主要考察的问题就是求前两个人相 遇或追及的时刻,第三个人的位置,解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间的 关系。【例 1】有甲、乙、丙三人同时同地出发,绕一个花圃行走,乙、丙二人同方向行 走,甲于乙、丙背向而行。甲每分 40 米,乙每分 38 米,丙每分 36 米。出发后,甲和乙相 遇后 3 分钟又与丙相遇。这花圃的周长是多少?【例 2】甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走 60 米,乙每分钟走 50 米,丙每分钟走 40 米。甲从 A 地,乙和丙从 B 出发相向而行,甲和乙相遇后,过了 15 分钟又与丙相遇, 求 A、B 两地的距离。【题目】在 400 米环形跑道上,A、B 两点的跑道相距
15、200 米,甲、乙两人分别从 A、B 两点同时出发,按逆时针方向跑步,甲每秒跑 7 米,乙每秒跑 5 米,他们每人跑 100 米都停 5 秒那么,甲追上乙需要多少秒?这里分三种情况讨论休息的时间,第一、如果在行进中追上,甲比乙多休息 10 秒, 第二,如果在乙休息结束的时候追上,甲比乙多休息 5 秒,第三,如果在休息过程中且又 没有休息结束,那么甲比乙多休息的时间,就在这 510 秒之间。显然我们考虑的顺序是 首先看是否在结束时追上,又是否在休息中追上,最后考虑在行进中追上。有了以上的分析,我们就可以来解答这个题了。我们假设在同一个地点,甲比乙晚 出发的时间在 200/75235/7 和 20
16、0/710270/7 的之间,在以后的行程中,甲就要比 乙少用这么多时间,由于甲行 100 米比乙少用 100/5100/740/7 秒。继续讨论,因为 270/740/7 不是整数,说明第一次追上不是在乙休息结束的时候 追上的。因为在这个范围内有 240/740/76 是整数,说明在乙休息的中追上的。即甲共行了 6100200800 米,休息了 7 次,计算出时间就是 800/775149 又 2/7 秒。正方形 ABCD 每边长 100 米,甲从 A 出发顺时针沿 A-D-C-B-A 跑步,每秒 7 米;乙 从 B 出发顺时针沿 B-A-D-C-B 跑步,每秒 6 米,问:(1)他们每到
17、A、B、C、D 都要停 10 秒,甲何时追上乙?(2)他们每到 A、B、C、D 都要停 1 秒,甲何时追上乙?(3)他 们每到 A、B、C、D 都要停 0.5 秒,甲何时追上乙?例: 快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出,相向而行,经过 5 小时相遇。已知慢车 从乙地到甲地用 12.5 小时,慢车到甲地停留 0.5 小时后返回。快车到乙地停留 1 小时后返 回,那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间?125 - 5 = 75 小时 慢车行 AC 这段路所用的时间5 :75 = 2 :3 行相同路程快车与慢车的时间比则 3 :2 为相同时间内 快车与慢车的速度比所以: 12.5 * (2/3
18、)= 25/3 小时 快车到达 B 点所需的时间12.5 + 0.5 - (25/3 + 1)= 11/3 小时 返回时快车比慢车先行的时间即先行了:(11/3)* 3 = 11 快车返回时先行的路程(25/3)* 3 = 25 AB 两地的总路程(25 - 11)/(2+3)= 14/5 小时 快车先行后两车第二次相遇时间所以:7.5 + 0.5 + 14/5 = 10.8 小时 两车从第一次相遇到第二次相遇所 用的时间或: 25/3 - 5 + 1 + 11/3 + 14/5 = 10.8 小时程问题中,遇到给出条件一个人走多久又休息多久的条件总是觉得思路很不明朗,不 知各位都有哪些好方法
19、来解此类题,下面提供两个例题:1、绕湖一周是 20 千米,甲、乙二人从湖边某一点同时同地出发,反向而行,甲以 每小时 4 千米的速度每走一小时休息 5 分钟,乙以每小时 6 千米的速度每走 50 分钟后休息 10 分钟,则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟?2、环形跑道周长是 500 米,甲、乙二人按顺时针方向沿环形跑道同时同地起跑,甲 每分钟跑 60 米,乙每分钟跑 50 米,甲、乙两人每跑 200 米均要停下来休息一分钟,那么 甲首次追上乙需要多少分钟?当甲首次追上乙的时候,甲跑的距离肯定比乙跑的距离多 500则当 S/200 的余数100 时,甲停的次数比乙多 3则甲跑的时间为 T-35
20、0*T+500=60*(T-3) 得 T=68S=50*68=3400 S/200 的余数=0 矛盾所以结果是: 77快车和慢车分别从 A,B 两地同时开出,相向而行.经过 5 小时两车相遇.已知慢车从 B 到 A 用了 12.5 小时,慢车到 A 停留半小时后返回.快车到 B 停留 1 小时后返回.问:两车 从第一次相遇到再相遇共需多少时间?解:画一张示意图:设 C 点是第一次相遇处.慢车从 B 到 C 用了 5 小时,从 C 到 A 用了 12.5-5=7.5(小 时).我们把慢车半小时行程作为 1 个单位.B 到 C10 个单位,C 到 A15 个单位.慢车每小时 走 2 个单位,快车每
21、小时走 3 个单位.有了上面“取单位“准备后,下面很易计算了.慢车从 C 到 A,再加停留半小时,共 8 小时.此时快车在何处呢?去掉它在 B 停留 1 小时.快车行驶 7 小时,共行驶 37=21(单位).从 B 到 C 再往前一个单位到 D 点.离 A 点 15-114(单位).现在慢车从 A,快车从 D,同时出发共同行走 14 单位,相遇所需时间是14(23)2.8(小时).慢车从 C 到 A 返回行驶至与快车相遇共用了7.50.52.810.8(小时).答:从第一相遇到再相遇共需 10 小时 48 分.6、接送问题、接送问题例题:奥数接送问题 例题 1:如果 A、B 两地相距 10 千
22、米,一个班有学生 45 人,由 A 地去 B 地,现在有一辆马车, 车速是人步行的 3 倍,马车每次可以 乘坐 9 人,在 A 地先将第一批学生送到 B 地,其余 的学生同时向 B 地前进;车到 B 地后立即返回,在途中与步行的学生相遇后,再接 9 名学 生前往 B 地,余下的学生继续向 B 地前进.多次往返后,当全体学生到达 B 地时,马车共 行了多少千米?答案:10*(1+2/3*3/4*2+1/3*3/4*2+1/6*3/4*2+1/8*3/4*2)=10*47/16=235/8 千米例题 2:某工厂每天早晨都派小汽车接专家上班.有一天,专家为了早些到厂,比平时提前一小 时出发,步行去工
23、厂,走了一段时间后遇到来接他的汽车,他上车后汽车立即调头继续前 进,进入工厂大门时,他发现只比平时早到 10 分钟,问专家在路上步行了多长时间才遇到 汽车?(设人和汽车都作匀速运动,他上车及调头时间不记)解析:设专家从家中出发后走到 M 处(如图 1)与小汽车相遇。由于正常接送必须从BAB,而现在接送是从 BMB 恰好提前 10 分钟;则小汽车从 MAM 刚好需 10 分钟;于是小汽车从 MA 只需 5 分钟。这说明专家到 M 处遇到小汽车时再过 5 分钟, 就是以前正常接送时在家的出发时间,故专家的行走时间再加上 5 分钟恰为比平时提前的 1 小时,从而专家行走了:60 一 555(分钟)
24、。例题 3:甲乙两辆汽车分别从 A.B 两成出发,相向而行,甲车和乙车的速度比是 5:4,到两车 相遇时距离中点 48 千米,两城之间的路程是多少千米?甲乙两辆汽车分别从 A.B 两成出 发,相向而行,甲车和乙车的速度比是 5:4,到两车相遇时距离中点 48 千米,两城之间 的路程是多少千米?解析:相遇时甲乙的行程比也是:5:4,即甲行了全程的:5/(4+5)=5/9,乙行了:4/9 又相遇时甲比乙多行了:48*2=96 千米 所以路程是:96/(5/9-4/9)=864 千米.例题 4:有两个班的小学生要到少年宫参加活动,但只有一辆车接送。第一班的学生做车从学 校出发的同时,第二班学生开始步
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