几个微分中值定理之异同_从罗尔定理到泰勒定理_闵兰.docx

DOI ： 10. 13718/j. cnki. xsxb. 2009. 06. 001 第 34卷第 6 期 西南师范大学学报（自然科学版 ） 2009年 12月 Vol 34 No. 6 Journal of Southwest China Normal University (Natural Science Edition) Dec 2009 文章编号 ： 1000 5471 (2009)06 0196 04 几个微分中值定理之异同 - 从罗尔定理到泰勒定理 闵兰 陈晓敏 2 1.成都理工大学信息管理学院，成都 610059; 2.成都电子机械高等专科学校信息与计算科学系，成都 610031 摘要：要深刻地了解函数的性质，就必须进一步研究可导函数与其导数之间的关系 .微分中值定理就深刻地揭示 了它们的内在联系 .微分中值定理是微分学教学的重点和难点 .从理论上、形式结构上、定理的证明上等方而分 析了几个微分中值定理的异同，揭示了微分中值定理在微分学中的重要地位和理论价值 . 关键词：微分中值定理；函数；构造辅助函数 中图分类号： 文献标识码 ： A 要深刻地了解函数的性质，就必须进一步研宄可导函数与其导数之间的关系 . 导数的定义就是描述函数在某一处的瞬时变化 (率）状态 .因此，函数的导数与其本身之间就存在着一 定的关系 .微分中值定理就深刻地揭示了它们的内在联系 . 微分中值定理是微分学教学的重点和难点 .微分中值定理是罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值 定理和泰勒定理的统称 .它们有如下几个共同点 . 1.在理论上，函数在一定条件下、在给定的区间中存在着一点 (即中值 )，使得在此点的函数与导数在 区间上存在着某种特定的等式联系 . 微分中值定理是微分学的重要理论基础；也是微分学研宄函数性态的重要定理；它是沟通函数及其导 数之间的桥梁；是应用导数研宄函数在某点的局部性质和在某个区间上的整体性质的重要工具 .通常应用 导数研宄函数的性质都要直接借助于中值定理，特别是导数的许多重要应用都是建立在中值定理的基础 上；许多理论性的证明都要用到中值定理 .拉格朗日中值定理 (也称为有限增量定理）在整个高等数学的教 学中处于十分重要的地位 .故学习中值定理要时刻把握定理的条件、结论、几何解释、证明方法、各定理之 间的联系和应用等 .通常，中值定理中中值 5的值 不易求出，即中值？的准确值常不易知道，但其存在性是 肯定的且不影响定理的应用价值和理论研宄 . 2在形式结构上，罗尔定理是中值定理的基础 . 罗尔定理的几何意义是：如果每一点都有切线的连续曲线 7 = /(x)， 在儿 5两点有相同的纵坐标，则 之间至少存在一点（ 5, /( )，使得曲线在点（ 5, /($)处有水平切线 . 拉格朗日中值定理给出了用一个导数值与自变量增量之积准确地表达函数增量的公式 =/( x+0Ar)4 g ( a ) ) 这样？ (x)便满足罗尔定理的 3个条件，柯西中值定理便可得证 . 最后，给出泰勒定理证明的主要思想和证明过程中是如何构造辅助函数的 . 要证明泰勒定理，主要不是在于 /(X)是否可以表 (X X0 )的次多项式尸 (X) 与其余项 ( X)之和， 因为 /(Xo)， /"(X()， ， /，以）都存在，则当 X取定值时 Pn (x) = f (x ) fr (x ) (x Xo ) + . jX° ) (x Xo )2 + +(x Xo )w 2 ! n ! 总是有确定的值 .如此只要令兄 （ X ) = /(X) 凡（ X)，则 /(X )就可以表成凡 （ X)与兄 （ X)之和 .故泰勒 定理证明的重点是兄 ,（ X)是否可以表 /(X。 ） 成为 I?十 K!( X XO广 1 (其中 ？ 介于 X。与 X之间 ） .为了验证 第 6期 闵兰，等：几个微分中值定理之异同 从罗尔定理到泰勒定理 199 此结论，可假设儿 （ x)= (;7+Kn t(x 別严 Vfc为待定系数 ） . 因而要证明泰勒定理，实际上就是要证明其中？在 X。和 x之间 .故在证明中只要对函数 儿 （ x)(假定其在 （ a， &)内有 1 到 ?7 + 1 阶导数 ，且凡 ,（ x ) = i?'n(x )= =i?,/n)(x,) = 0)&(x x yr H 在以 X。与 X为端点的区间上反复用柯西中值定理，即可得定理的结论 .为此，在证明中可引入辅助函数 是怎样构造的呢？因 /(x)= Pn (x)JrR (x) =/(x ) + / (x ) (x x ) + (x x )2 + 十 (x x )" + 7 . (x x ),rrl 2 ! n ! (?十 1) ! 在上式中暂把 X看着常数且把右边的 X。换成？，然后再与左边的 /(X)相减便可得出辅助函数 ) = fix) I / +/ (x - f) + '2 (尤 -Z)2 + + "产 (x -+ (?7 +1) 以广 1 其中 X和 K为常数，？为变量，故 <?(）是？的函数 .则 <PG)在 X， X。 或 X。， X均满足罗尔定理的 3个条 件，故泰勒定理得证 . 参考文献： 1 魏贵民 .微积分 (上 ） | M.北京：高等教育出版社， 2004. 2 马杰 .高等数学教材辅导丨 M.北京：科学技术文献出版社， 2005. 3 费定晖，周学圣 .数学分析习题集题解（二）丨 M.济南：山东科学技术出版社， 1999. 4 陈传璋 数学分析 M 北京：高等教育出版社， 1978. 5 韩云瑞 微积分教程 M 北京：清华大学出版社， 1998. 6 同济大学数学教研室 .高等数学 M.北京：高等教育出版社， 1996. 7 电子科技大学应用数学系 .一元微积分与微分方程 M.成都：电子科技大学出版社， 1997. 8 李心灿 高等数学应用 2 5例 M 北京：高等教育出版社， 1997. 9 Sun Jiayong. Calculus with Related Topics M 西安：西北工业大学出版社， 1988. 10 北京大学数学系 .数学分析 M.天津：天津大学出版社， 1987. Differences and Similarities in Several Differential Mean Value Theorem - from Roll Theorem to Taylor Theorem MIN Lan1， CHENG Xiao min2 1. College Information Management, Chengdu University of Technology, Chengdu 610059, China； 2. Department of Information and Compute, Chengdu Electromechanical College, Chengdu 610031, China Abstract： To have a deeper understanding of the nature of function, it is necessary to further study the relationship between function (assumed to be derivable) and derivative. Differential mean value theorem profoundly reveals the inherent relationship between them. The differential mean value theorem is the focus and difficult of the differential calculus. In theory, modality structure, and demonstration of theorem, this paper analyses the differences of these theorems? at the same time this paper reveals the important status and theoretical value of mean value theorem in differential calculus. Key words： differential mean value theorem； function； constructing auxiliary function 责任编辑覃吉康