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    组合信用风险模型及应用研究_马勇1.docx

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    组合信用风险模型及应用研究_马勇1.docx

    T 图 5-2参数 Pl取不同值时违约相关系数与时间之间的关系 1, 2 T 图 5-3参数 取不同值时违约相关系数与时间之间的关系 1, 2 5.2.3 应用 最后给出该模型在风险管理中的一个应用。设某信用组合中有 n种信用资产,信用 i的名义额为巧。在组合风险管理中,我们关心的是该 信用组合在时间丨 0,1 内的损失 分布,因为一旦知道了损失分布,就可以求出相应的风险度量值,如 VaR 和 ES。 接下 来,我们应用提出的模型得到该信用组合的损失分布。假设每个信用发行公司的资产价 值服从形如 ( 56的过程,通过前面的方法可得每个信用在丨 0, T]内的违约概率; p,及它 们之间的违约相关系数 /。根据穆迪公司采用的方法,设该信用组合的等价独立信用 个数为 m、等价名义额为 F、 等价违约概率为 p, 因此 [11 ] 攻 p / c 表 本仕 j 円 1g 用组 / 曰、甲句 /c 个个 1 本违约的概毕,则 p / c C ;; U _p 广 ; 设违约时的回收率为 i它可以通过历史回收率估计 ,则在队 T]内该信用组合以 pfc 的概率损失 。这样信用组合的损失分布得以确定,然后风险管理人员可以利用 损失分布求出各种风险度量值。 5.3 多个信用主体的违约相关性 上一节通过经济时间中的布朗运动相关性建立了资产价值过程的相关性,进而建立 了两个信用主体之间的违约相关性,但若采用该模型方法研宄多个信用主体之间的违约 相关性,模型的中参数将随着信用主体的数目的增加而快速增多,从而不便 于未来的估 计。为了减少模型参数,本节将通过一组公共经济时间 “ 基底 ” 生成个体经济时间,同 时也建立起资产价值过程的相关性。 5.3.1 模型构建 设 Gi ⑷ , G2 ⑷ , ..., Gm〇〇 ’ , 其中 Gi ⑷ , ⑷ 是 777,个独立的经 济时间。以这 m 个独立经济时间为基底构成的 n 维经济时间向量 St S1t,S2t,...,Snt AGt,5-12 其中 4 是非负矩阵且满足对任意的 1 仝 € 仝 n, 1 ,则 民 ⑷ YlTiaijGj{t_。 假设某资产组合由 n种信用资产(债券或贷款 ) 构成,不妨设其为 n家公司发行的 债券。设第 z家公司的对数资产负债比过程 Ri{t 〇 ;; 0 aiWilySt, 1 A9 II fu t91 exp H 丛汍 . ( 5_17 il il L 1 kl 设 Ju 〇 ;,..0/\/ 力 ) { 〇 〇 仝 s 仝小 S 其中 V 表示心代数的并。则公司 z在时刻 f 以乃为条件 的违约概率为 m Ftt Pif〇 x n为下三角矩阵 ; 4 令 ________ m m n R i { t a; i0 i i i E a i j 9 j A〆 a i j 9 j〆 lijZ j, j l \ j l j l 若 ( l1-11 ⑷„ , ( -11 - 71 ⑴ in 0 丨 J}, 或者等价地定义为 入 ⑷ AS 以 } ⑷ 丨 }, 其中 {}为 iV⑷ 适应的心代数域或者滤子 ( filtration。 若 {J; }为 iVt的自然滤子, 则乃 a{T„ 仝〇。 若 iV⑷ 为泊松过程,则它的强度过程为一固定正常数,即 A⑴ 三 A 0。众所 周知,泊松过程中的事件发生时间间隔服从参数为 A 的指数分布且具有独立性,即 {T„1 -是独立同分布序列且 T„1 - T„〜 expA。 若 iV⑷ 的强度过程为 At X 9 〆 exp[ St Ti,6-1 Tn 0\Ht} At,Ax〇 At Ax 或者定义为 入 t,x lim E[M[tt At x [xx Ax\T-Lt] At,Ax〇 At Ax 其中%为从〇 4适应的滤子。若%为自然滤子,则 % cj{rn, xn 0\Ht}. y At0 At 从地面强度过程的定义可知,它是刻画事件发生的强度大小,不反映与事件相联系的标 记的信息。从而,带标记的点过程 M 是 iV 的更一般形式。有关(带标记)点过程的更 详细内容,参见文献 Daley和 David2007[112]。 6.1.2 模拟 Hawkes过程 下面介绍如何运用 Ogata 1981的稀释算法 thinning algorithm模拟 Hawkes过程 在 [o,r]上事件发生的时间〈胃。设 c/[o, i]是 [0,1]均匀分布。 算法(一维 Hawkes 过程) 1 令 A i A〇 , Tl i l〇 2 生成随机变量 [/〜 且令 si f, 若 sT, 则 is;否则跳到最后一 步。 3 令 Tl i 1, A i A尤 n i 0。 4 生 成 随 机 变 量 [/〜 且令 如果 s ST-Ti i]}]IexP{[2T2-1]}- 证明设 Af {72, , TWt}和 Af ⑴ {7\1, r21, „ , 7”} 分别是 Hawkes 过 程 iVt和 iVf在时间 [0, T]内发生跳跃的时间,且令 TQ T』 1 0。由于两个独立的 Hawkes过程几乎必然 ( almost surely不会在同一时间发生跳跃,所以 M和 A/x几乎必 然不相交。将集合 MU Mi中的元素按从小到大顺序排列得到序列巧 ,巧, -〇 因此对 z 1, „ ,脚 iV, 可得 ASt Y,St_6-8 且在两个相邻的跳跃时间 T;和 T;1之间,即对 T; ]J Vi0 expjcriW7 / i /iA〇 /IAQ -crT} J[l exp{ [e T, 1]} 41} nl l; , exp{[e-11 1]} Vi0 expjcriW7 / i /iA〇 /IAQ -alT}JiQi, 通过以上相同的步骤可以得到 V2T的解析形式。定理证毕。 由该定理和独立泊松过程之和仍是泊松过程知,若 0 A 02 〇 ,则公司资产价 值过程退化为一般的跳跃扩散过程。 6.3 违约概率和违约相关系数 在 Merton结构模型中,公司 z的违约概率队 ,T P{K,T仝 A}, n 1, 2。设共 同违约概率 p12T P{RT A, V2T D2}, 则违约相关系数 p 12T - Pl T p 2 T PI-2T P I { T { \ - P I { T P2{ T { \ - P2{ T 6-12 定理 6.2设 T为 风 险 期 限 ,分 别 为 两 个 公 司 的 违 约 边 界 。若 公 司 资 产 价 值发生跳跃时的幅度都服从对数正态分布,具体而言,设 logl l;〜 iVai,圬 , logl 石) 〜iVa2,另)。则公司 n 1, 2 的违约概率为 p n T E [ N f n Rn ,Kn ] , 6-13 其中 〇 ;为标准正态分布函数, /„ 7\ 况 _, /, expos„ i圮 ) 1, NT Rn n exp{ 4n -ST-Ti _ 1]} Yl exp{ AA|-5nT-Tin 1]}, fn{Rn,Kn l〇 g-RKi〇 /Dn /i„ l3nX〇 /3„A〇 |crT anKn alT blKn 公司的违约相关系数 p12T为 E[N2f1R1,K1J2R2,K2y,p]-E[Nf1R1,K1}E[Nf2R2,K2} v/E[iV/1ii,K1]l-E[iV/1ii,K1]v/E[iV/2i2,K2]l-E[iV/2i2,K2] 6-14 其中 iV.,.;/5是边际分布为标准正态分布、相关系数为 /5的两元正态分布函数,且 piKK-2 , PT1T2T T WMTWQ 证明由前面定理所得的公司资产价值解析表达形式知, log y cnW/r i AAo1 21 . 设 jrf a{ATt u ivf 〇 仝 f 仝了 } n 1, 2, JV 片 1 U 片 2。由于 V41与 % 独立, 则给定信息 Ff, Ni a,W] J2l S Yi X, Nia.KalT blK,. il 同理,给定 Jf, N2 a2W logl Z, X2 - Na2K2, a\T b22K2. 由于 〜 AT〇 , T, Wf p 且 {}与 {Z,}独立,所以给定 JV, P{Xl, X2\jrT ■ P P 1 2 alT blKalT blK, 给定信息 Jf, 则条件违约概率 p1T|41 P{ITAi2TATnA|1r-nA|2r- k\ki k\k2 k\ 2/i〇 , fci, /2〇 , k] pfci, k2. 6-19 将等式 ( 6-18和 ( 6-19代入 ( 6-12即可相应地得到泊松跳跃扩散模型的违约相关系数。 6.4 数值算例 本节将在 Merton结构模型框架内,利用上节设定的资产价值过程,探讨资产价值 中的参数对公司违约概率和违约相关性的影响。 模型的基本参数设置如表 6-1 所示。在基准参数的设置情形下,实际上假设两个公 司是同质的 ( homogeneous, 从而它们的违约概率是相等的。基准情形下的公司违约概 率为 2.99,违约相关系数为 0.0767。若公司资产价值过程为跳跃扩散过程,其中跳跃 部分为两个独立的泊松过程,在其参数取基准情形中的值时,则由 ( 6-18得公司的违约 概率为 1.03,违约相关系数为 0.0803。而若公司资产价值过程为几何布朗运动时,在 其参数取基准情形中的值时,则由式 ( 6-15得公司违约概率为 0.45,违约相关系数为 0.0912;这说明资产价值如果具有跳跃性,则会增加公司违约概率,且若概率意义上的 跳跃频率越高,则违约概率越大。另一方面,在基准情形中,资产价值过程为一般扩散 过程(几何布朗运动)所得违约相关系数最大,为本章模型提出 Hawkes 跳跃扩散过程 时其次,为泊松跳跃扩散过程最小。在余下部分,我们会对三个模型所得违约概率和违 约相关系数的差异做更详尽的比较分析。约定在本节余下所有分析中,未给出的参数 值都取基准情形中的值。 6.4.1 模型比较及结论 本小节将分析资产价值过程为几何布朗运动 ( Geom.Brownian、 泊松跳跃扩散过程 Poisson与 Hawkes 跳跃扩散过程 Hawkes三个模型所得违约概率之间和违约相关系 数之间的差异,并试图解释差异的来源及其由它们的差异可推导出的结论。我们稍微回 顾下三个模型的差别几何布朗运动没有跳跃,泊松跳跃过程中的跳跃以固定强度泊松 过程到来, Hawkes跳跃扩散中的跳跃以强度不断刺激的 Hawkes过程到来。 图 6-2展示了资产价值过程为几何布朗运动、泊松跳跃扩散过程与 Hawkes跳跃扩 散过程三个模型所得违约概率与风险期限 T 之间的关系。由图易知, Hawkes 跳跃扩散 模 型 所 得 违约概率要大于其他两个模型所得值,其中在时,各模型所得值的 差异不大,但随着风险期限 T的增大,它们所得的违约概率都增大,但它们之间的差 表 6-1模型参数设置的基准值 参数 参数值 参数 参数值 参数 参数值 Ml 0.05 12 0.05 P 0.5 y\ 0.3 0.3 D1 10 糊 30 糊 30 D-2 10 入 0 1 e 2 S 2 1 9i 2 Si 2 A〇 时,几何布朗运动模型所得违约相关系数对 参数 p 最敏感,泊松跳跃模型其次, Hawkes跳跃扩散最不敏感。 图 6-6 是公共 Hawkes 过程和公共泊松过程中参数 A。 对公司违约相关系数的影响。 由该图知,泊松跳跃扩散模型所得的违约相关系数是关于 A。 的减函数,而 Hawkes 跳 跃扩散模型所得违约相关系数是关于 A。 的增函数。尽管它们都具有单调性,但从图易 知,当 A。 从 0变到 3时,违约相关系数变化不大。另一方面,当 A。 增大时,单位时间 内资产价值过程中的公共泊松过程和公共 Hawkes 过程期望发生的跳跃次数都增多,此 外, Hawkes 过程的跳跃聚集程度会增大。这说明资产价值过程的公共跳跃对违约相关 系数的影响与跳跃次数有关,还与跳跃出现的方式有关。在泊松过程中跳跃出现的时间 间 隔是独立的,而在 Hawkes 过程,跳跃的出现具有一定的聚集性 ( 聚集度是关于 Aq,0 的增函数, 6的减函数)。综上可得如下结论资产价值过程中的公共跳跃期望次数增多 并不一定会使违约相关系数增大,但发生在公共过程中的跳跃的聚集度增强会增大违约 P 图 6-5 三个模型所得违约相关系数与布朗运动相关系数之间关系的对比 相关系数。 6.4.2 违约概率的敏感性分析 首先,我们分析资产价值过程中的跳跃部分所含参数对公司违约概率的影响,即分 析公司违约概率对这些参数的敏感性。在分析违约概率对某个参数的敏感性时,我们总 是保持其他参数值为基准情形的设置值。由于假设公司是同质的,不失一般性,我们只 对公司 1做相关分析,但结论对公司 2同样成立。 图 6-7 是公共 Hawkes 过程中参数对公司违约概率的影响(有关违约概率对 A。 的敏感性分析见前一小节)。由左图知,公司违约概率是 0的增函数,且随着 0越大, 违约概率对参数0越来越敏感。具体而言,当 0 1时,违约概率为 2.959;当 0 3 时,违约概率为 5.591;当 0 4时,违约概率为 13.476。由于 0体现跳跃对未来发 生跳跃的 “ 刺激 ” 效果强弱,且0越大, “ 刺激 ” 效果越强,进而跳跃聚集的可能性更 大。所以,公司资产价值的跳跃聚集风险越大,公司的违约概率越大。观察右图可得, 5对公司违约概率的影响与 0对违约概率的影响互为 “ 镜像 ” ,效果相反,即公司违约概 率是 6的减函数,且随着 6 的增大,违约概率对它越来越不敏感。具体而言,当 61 入 0 图 6-6 公共 Hawkes 过程中的参数 A。 对公司违约相关系数的影响 时,违约概率为 4.379;当 6 3 时,违约概率为 2.549;当 6 4 时,违约概率为 2.327。因为 6 是跳跃对未来发生跳跃的刺激效果的指数衰减率,所以 6 越大,刺激效 果衰减地越快,进而跳跃聚集的可能性越小,公司违约概率越小。但总体来说,相比参 数 5,违约概率对参数0 更为敏感。另外,由于公共 Hawkes 过程和个体 Hawkes 过程在 单个资产价值过程的地位是对等的,所以违约概率对个体 Hawkes 过程中的参数敏感性 与其对公共 Hawkes 过程中的参数敏感性一致。 图 6-8 是资产价值跳跃幅度所服从的对数正态分布中的参数对违约概率的 影响。通过左图可知,违约概率与参数 之间的关系呈 “ U” 形状,即随 着 的增大, 违约先减小后增大,并在 0 附近取得最小值,即说明违约概率是关于 |Ql|的递增函 数,且随着 |a 的增大,违约概率对它越来越敏感。通过右图可知,违约概率是关于 的增函数,但随着 \增大到一定程度后( 如大于 0.15,违约概率对它的敏感性基本保 持一致,即呈近似线性关系。总之,相比其他参数,违约概率对参数最为敏感。 图 6-7 公共 Hawkes 过程中的参数 0, 5 对公司违约概率的影响 图 6-8 跳跃幅度所服从的对数正态分布中的参数对公司违约概率的影响 6.4.3 违约相关系数的敏感性分析 图 6-9为资产价值过程的公共 Hawkes过程的参数 6对违约相关系数的影响。该 图表示,乂 6对违约相关系数的作用效果相反,其中违约相关系数是 0的增函数,是 5 的减函数。此外,随着 0的增大,违约相关系数对 其越来越敏感,而随着 5的增大,违 约相关系数对其越来越不敏感。特殊地,当 0 1, 3, 4 时,违约相关违约系数分别为 0.0676, 0.1237, 0.2699;当 5 1, 3, 4 时,违约相关系数为 0.0972, 0.0701, 0.0687。 0, J 对违约相关系数的作用效果相反这与它们在 Hawkes 过程中发挥的作用相反一致,前者 越大, Hawkes 过程发生跳跃的次数越多,跳跃的聚集程度更高,而后者恰恰相反。结 合前面就 A。 如何影响违约相关系数所作的分析,可得如下结论 0对违约相关系数产 生正向影响的原因在于 0的增大会增强公共跳跃聚集程度,而非公共跳跃次数的增多 ; 5 对违约相关系数产生负向影响的原因在于 6的增大会降低公共跳跃聚集程度,而非公 共跳跃次数的减少。 图 6-9 公共 Hawkes 过程中的参数 0, 5对违约相关系数的影响 上面分析的是公共 Hawkes 过程中的参数对违约相关系数的影响,而图 6-10 展示了 个体Hawkes过程中的参数 对违约相关系数的影响。由图可得,个体 Hawkes过 程中的参数 A, 对违约相关系数的作用与公共 Hawkes 过程中的相应参数对违约相关 系数的作用相反,即久越大,违约相关系数越小; 越大,违约相关系数越大。由对称 性知,屯如对违约相关系数的影响与分别与一致。 图 6-10 个体 Hawkes 过程中的参数 对违约相关系数的影响 6.5 本章小结 在本章,我们利用具有跳跃聚集性的 Hawkes 过程为资产价值过程建模。通过布朗 运动的相关性和一个公共的 Hawkes 过程建立资产价值的相关性,进而建立起违约相关 性。通过数值算例分析,得到如下一些重要结论第一,在 Merton 违约模型中,期望跳 跃次数的增多会增大公司的违约概率;第二,资产价值过程发生的公共跳跃次数的增多 期望意义下 ) 不一定会增大违约相关性,但公共跳跃的聚集程度越高,则违约相关系 数越大;第三,个体跳跃聚集程度越高,则违约相关系数越小。 第七章多标的信用衍生品定价模型 由于 MGB2 分布能刻画丰富的相依结构且能刻画极端风险,本章将利用它对合 成 ( synthetic CDO 等多标的信用衍生品进行定价。我们将证明资产块的保险金率关于 MGB2 分布中的某个参数具有单调性。此外,本章将比较 MGB2 模型和单因子高斯模 型,单因子 Clayton 模型和双 tdouble-t模型的对合成 CDO 定价的差别。结果表明,尽 管本章提出的 MGB2 模型不能生成市场中存在的隐含合成相关系数微笑,但它比其他 三个模型在生成基相关系数 ( base correlation方面具有很大的灵活性。就基相关系数而 言, MGB2 模型和双 f模型比单因子高斯模型和 Clayton 模型能更好的拟合市场数据。 7.1 单因子 模型和 MGB2 分布 7.1.1 单因子模型 设所考察的组合由 n种信用资产构成。债务人的违约时间定义为卜 15..., 7〇 ,它的 边际分布函数分别为 Fl5...,凡。单因子模型具有很多种表现形式,此处只介绍较为典 型的两种。 第一种单因子模型可以表示为如下的形式 Xi pi.M \J \ pj Zi, i 1,. . . . n, 其中 M和及均为零均值,单位方差的独立变量。以 M为条件, X 独立且 X,的条件分布函数为 PX, 〇 . 此外,如果 0 服从形状参数为 g, 尺度参数为 1 的逆 gamma分布,即 0〜 InvGag, 1, 密度函数为 ( 7-6 则称( , , X„都服从 MGB2分布且记足 〜 62屯九仍, g。 注意到 a.;. 1,内 1,贝 IJ广义 gamma分 布 变 成 均 值 为 M的指数 分布;另一方面,如果 P, 1, a, 0或 P, 1, a, 0, rp为 gamma函数。 GB2分布随机变量和标准 beta 分布随机变量具有以下关系如果 X〜 GB2a,,p,g, 则随机变量 ( X/6a/[l pf/6a] 服从分 布 因 此 的 分 布 函 数 为 FXiXi Bpuq xai/xbT, 其中是参数为 Pi和 g的标准 beta随机变量的分布函数,即 我 给定 0, X的条件分布函数为 n Fx]ex1,x2,...,xn GpXi/biY1-, il 则 x的分布函数为 -X|0 *1 2 *n E[Fx\ex1,x2,xn\e] /〇〇 n / 球 , W _9 V 7-8 设 11供,则 X的无条件密度函数为 /〇〇 n f{xl,x2, ...,xn / f0{0Y\_fx,.\0{Xi\ddd n Ck Xi rpixi \bi n Xi HPi diPi r⑷ 0-q - Sn 奇 ri cW r6,„ q rpia; i \bi rS,„ q r ELiAat iSn QWL1mx [i T/br iXEtij n aAr /[i ELm1/]Ei ■ rE.m1pf q nri [ Y Z M/ ai/ Er™ i/a-]]9ELlW 9 __________ n,i 屯 ( M1Erm二 A,r; ]T7 a,p, j T n m i P i Q nri r- [1 以上等式表明 Xi|X2是边际分布为 n n GB2a, bi [l { xi/ bi a , l ] 1 a \ pi q Pi im-\-l im-\-l 的 m维 MGB2分布。所以,与多元正态分布一样, MGB2的条件分布类型保持不变, 仍然是 MGB2分布。 此外,类似于高斯关联函数的定义,我们可以通过 MGB2分布函数定义 n维 MGB2 关联函数为 -YMGB2 x-Yi Ul Xn Un uP o ]-q l e -l /〇 Tq - d d , 其中(叫 , , M„ e [0, l]n。 若 X服从 MGB2 分布,则它的生存函数 ..., t„可以表示为 7-9 , , t n j G p人 Q D f e d d d _ 考虑到 GB2 分 布 随 机 变 量 和 标 准 贝 塔 分 布 随 机 变 量 之 间 的 关 系 , 即 如 果 X〜 GB2 a,6,p, g, 则 ( X/a/[l X/6a]服从贝塔分布 Betap,g, 则 X 的累计分 布函数为 iMz _Bp,g y7aa 6a, 生存函数为 5 ⑷1 - _Bp,g af/ty* 6a。它 的生存函数的逆函数为 S\u/br 所以 X的生存关联函数可以表示为 B 二 1 - u 1 _ p,q U 1 B- Ik} j j f〇 e d d . 如文献 [114]所示, MGB2关联函数在刻画尾部相依性方面具有很强的弹性,且其他 关联函数可以表示为它的极限情形,如独立关联函数,高斯关联函数, Frhet-Hoeffdmg 的上界等。此外,两元 MGB2关联函数是下尾独立,但上尾相依的。 7.1.3 违约时间联合分布 为了对多标的信用衍生品进行定价,我们需要得出违约时间的联 合违约分布。在强度模型框架内,人们通常简单地假设违约时间 T,的分布函数为 趴⑷ 仝 f 1 exp t入办 〇 ,其中入 ⑴ 是确定性的非负过程且称为强度 过程,然后使用关联函数生成它们的联合分布函数 [18L Madan 等( 2006; 评估两类极 值分布WeAull 和 Fr6chet 分布分别刻画违约时间的效果,结果发现前者对市场数据的 拟合优度更好。此外,他们利用单因子高斯和克莱登关联函数连接边际分布函数进行 衍生品定价。我们在本文选择 MGB2分布作为违约时间的联合分布。我们的模型可以 通过以下方式加以理解边际违约时间都服从 GB2分布 ------- 广义 gamma 混合分布,即 B且他们之间的相依结构为 MGB2 分布。另外,由于 Weibull分布 是广义 gamma分布的一种特殊情况,因此我们的模型在很大程度上比 Madan模型更一 般化。 7.2 多标的衍生品定价模型 7.2.1 违约数分布和第 m个违约发生时间分布 设 Q和左分别表示风险中性概率测度和风险中性概率测度下的期望。设 ⑷ EL lt, 即 ⑷ 是在时间,总的违约数目。设况 ⑷ kg是第 i个个体违约 的 指 示 变 量 ,则 EILI况 ⑷ 。下面我们使用概率生成函数 ( Probability generating function计算在时间 f 发生 /c违 约 的 概 率 , 即 ,几。 iV⑷ 的概率生成函数为 n Nt{u E[U n] Q{N{t k、 uk 7-10 k0 另一方面,给定 0,瓜 ⑷ 是条件独立的。记 ⑴ 则可得 E[uN{t] E[E[uN{t\e}] - E[f[E[uNi{t\9]\ il 广 n 乂 /i9 ⑷ [1 -仍 |0 ⑷ Pip ⑷撒( 7-11 il 上面针对 MGB2 分布计算矩母函数的步骤对其他单因子模型同样可行,只要将 0 替代 为单因子模型中的公共因子即可。可通过令式 7-1〇 和 7-11同阶项系数相同得到 AT⑷ 的概率密度函数。 类似地,给定 0, iV⑷ 的条件密度函数可以通过观察下面两个多项式的系数得到 n E[u NW\9] Y/QNt k\9uk, 7-12 k0 n n E[U N \9] l[E[u N\9]] JJ [1-Pi\e{t Pi\e{tu] . 7-13 因此, k Q糊 綱 E H⑷ II _ ⑷ . h々 t \e Q {N {t 的概率密度函数,对式 ( 7-12和 ( 7-13中的 f求导, d Q N t k \d k L m k0 Z、 U- ldp, n [ - Pj\e{t pjle{tu] il ji il k0 E 0\ e Q iN it k \6 il kl - Q N { - i}t k - l\ 9 u k Q {N - i]{t n - l\ 9 u n }. 因此当 A 0时, _ d Q N t 0 \ 9 j 21 Q N \t 0\ 9 , il 当 1 S A S n 时, _dQNt m m - QN\t k -1|0 il 其中对任意的 1 仝 n, 以 iV-f⑷ n|0 0。进而,给定 0, rm的概率密度函数为 “ 、dQr t\9 dQNt k\9 ⑷ - -h k0 f , 心) 肌 叫 ,7-15 il 7.2.2 第 m个违约互换 设 是保险金的支付日期,其中 j 设 AS1, S2 是时间区间 [Sl, S2]的长度 ; 设之 ⑴ 是离时间 t最近且在其之前的保险金支付日。特殊地, Apy定义为时间区间 的长度。定义 m为到期日为 T的第 m个违约互换的年化保险金率,则在保 险金支付日 t,所能收到的保险金期望值为 其 中 为 贴 现 因 子 , t/为支付保险金的名义额。通过加总所有保险金支付日所得 的保险金期望值,可得该多标的信用衍生品所能收到的总保险金期望值为 ]et 7-16 7-17 其中认 A分别为第 z个 标 的 物 的 名 义 本 金 额 和 而 违 约 遭 受 损 失 的 比 例 , 为 应计未付的保险金数额。由于 p,|e⑷ d p . i ejt dt 1 c,⑷ Pi-i c;⑴ 刚 Vi-C,_ m g 1_Ci ⑴ 0 X 1 设 G⑷ 只 ⑷ , 则 X 〇 a - mr rnr-1 a - m 、 g-i CM dPT{Pi q 1 c,⑷ K 9e d-⑶ 屮 /,⑷ 如果巧 ⑷ 是 GB2ai, 6“ 趴 ,g,贝ij d p i \ e { t km, 7-26 所以 E [Dm Am Lm{tj] Dm AmQN{tj 订 ] 且 Q { N t j x n ,x t fWil-peitdO. 7-29 7.2.4资产块年化保险金率对参数 a的单调性 为了使违约时间服从 MGB2边际分布与服从常强度 ( constant intensity指数分布相 适应,我们假设两者的一阶矩即期望值相同。在边际分布相同的假设前提下,违约时间 期望值 fw、 bT{q - l/aT{pl/a 1 B{p l/a,q - 1/a E{Xl mm b . 显然,违约时间期望值是关于尺度参数 递增的函数。由于贝塔函数 - 在区间 〇, c/2]内递减且在区间 [c/2, c内递增。与此同时,当 p lnrp 1/a 0p l/a/a 且 lnrg lnrg 1/a 0g l/a/a,进而 -0g- - - 0P - lnr” s 1 / a 0. 下面证明合成 CDO 股本权益块的违约支付是关于参数 a的递减函数。利用分部积 分可得, 50, T⑴ ) l{Tue[〇 , r]} e- rtdFrW{ t -, rT ; rW T r f e Jo rt ] r〇 { tdt e rtl Fri{t\0 r e rtl Fri{tdt l-e-rll FTlT r e_rtl - FTltdt Jo 其中 1 ⑴ ;〇 Q7V⑷ 〇〇且 p/g c, MGB2 关联函数逼近相关系数为 p c/l c的尚斯关 联函数;此外, MGB2 的上尾相关系数仅与参数有关,见 Yang 等( 201 以 _。我 们发现,在参数 g不是特别大的情况下, MGB2 定价模型所得各分块价格与市场标准模 型所得价格非常相似,这表明尾部相依与否不足以解释模型定价差异。 Correlation 图 7-3 市场标准模型 单因子高斯定价模型所得合成 CDO 各分块的价格 . 表 7-2 iTraxx CDO 各分块市场保险金率和模型保险金率分别所 得的基相关系数 MGB2 p, q Market Gaussian Clayton t5,5 t4,4 t3,3 2.32,4 3.11,6 [0 - 3] 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 [3 - 6] 0.30 0.22 0.22 0.31 0.32 0.35 0.29 0.27 [6-9] 0.37 0.22 0.22 0.37 0.39 0.43 0.37 0.34 [9 - 12] 0.43 0.22 0.21 0.42 0.44 0.49 0.45 0.41 [12 - 22] 0.55 0.22 0.12 0.53 0.56 0.62 0.64 0.59 图 7-5 为其他几个常见合成 CDO 定价模型与 MGB2 定价模型所得的基相关系数图 形形状。如该图所示, MGB2 模型能够生成很广范围内的各种形状的基相关系数;与此 同时,某些 MGB2模型很好地吻合了市场数据,例如,当模型参数以 / 2.32, 4和 3.11, 6时。有关 MGB2分布模型取这两组参数时所得基相关系数结果见表 7-2。从该 表可得,相比高斯模型和克莱顿模型, MGB2模型和双 t分布具有具有更强的拟合市场 数据能力。 需要指出的是, MGB22.32,4和 MGB23.11, 6对应的合成 CDO各分块的保险金 率(价格 )分别是 ( 916,114,21,4, .3和( 916,124,25,6,1。与先前所讨论一样, MGB2 模型倾向于低估分块丨 9 - 12]和丨 12 - 22]的价格;但是, MGB2模型得到的隐含基 图 7-4 当 MGB2 模型中的 p 值从下往上递增时所对应的隐含相关系数(虚线部分) 相关系数与双 t 模型得到的隐含基相关系数非常相像。事实上,我们的模拟结果显示隐 含基相关系数对分块丨 3 - 6]的价格特别敏感,但是对更高级的分块不够敏感。这也表 明,隐含基相关系数也许不能充分度量信用变

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