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材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院1第十章第十章 组合变形组合变形 10.1 10.1 概述概述一、简单变形（基本变形）一、简单变形（基本变形）FF轴向拉压轴向拉压MM扭扭 转转平面弯曲平面弯曲FAB材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院2 事实上，简单变形不过是简化模型，只事实上，简单变形不过是简化模型，只有在一种变形特别突出，其余变形可以忽略有在一种变形特别突出，其余变形可以忽略不计的情况下才有可能发生。不计的情况下才有可能发生。q F FFFF 当几种变形的影响相近时再用简单模型当几种变形的影响相近时再用简单模型计算，将会引起较大的误差。计算，将会引起较大的误差。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院3AB二、组合变形二、组合变形同时发生两种或两种以上的简单变形。同时发生两种或两种以上的简单变形。PFAxFAyFFyFx压压+弯弯材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院4弯曲弯曲+扭转扭转材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院5拉拉+弯弯 立柱内力立柱内力轴力，弯矩轴力，弯矩材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院6偏心压缩偏心压缩材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院7拉伸拉伸+扭转扭转材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院8弯弯+弯弯+扭扭材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院9拉拉+弯弯+弯弯+扭扭材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院10 组合变形的形式有无穷多种，本章学组合变形的形式有无穷多种，本章学习四种典型形式。习四种典型形式。 1、斜弯曲；、斜弯曲； 2、弯扭组合；、弯扭组合； 3、拉（压）弯组合；、拉（压）弯组合； 4、偏心拉压。、偏心拉压。 应注意通过这四种典型组合变形的学应注意通过这四种典型组合变形的学习，习， 学会计算一般组合变形强度的原理和学会计算一般组合变形强度的原理和方法。方法。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院11三、组合变形强度计算方法三、组合变形强度计算方法 方法方法： 叠加法叠加法 前提条件：前提条件： 1、材料服从虎克定律材料服从虎克定律 ； 2、小变形小变形。 基本步骤：基本步骤： 1、分解分解: 目标目标几种简单变形几种简单变形材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院122、分别计算、分别计算: 内力计算（一般画内力图）内力计算（一般画内力图） 确定危险截面确定危险截面 应力计算应力计算 确定危险点确定危险点3、叠加：、叠加： 危险点应力叠加危险点应力叠加 （注意应力作用面）（注意应力作用面）4、强度计算：、强度计算： 选择适当的强度理论。选择适当的强度理论。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院1310.2 10.2 斜弯曲斜弯曲一、概念一、概念 外力：作用线不与形心主惯性轴重合；外力：作用线不与形心主惯性轴重合； 内力内力: 弯矩矢不与形心主惯性轴重合弯矩矢不与形心主惯性轴重合 （可分解成两个形心主惯性轴方向的分量）；（可分解成两个形心主惯性轴方向的分量）； 变形：挠曲线不与荷载线共面。变形：挠曲线不与荷载线共面。F1F2F4F3材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院14斜弯曲斜弯曲平面弯曲平面弯曲材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院15二、斜弯曲的正应力强度条件二、斜弯曲的正应力强度条件例：分析图示斜弯曲的应力计算方法例：分析图示斜弯曲的应力计算方法xyzF1F2F3F41、外力分解、外力分解将所有外力向梁的形心主惯性平面分解。将所有外力向梁的形心主惯性平面分解。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院16xyz分解后得分解后得计算简图计算简图2、外力分解、外力分解形心主惯性平面内的形心主惯性平面内的y向外力计算向外力计算Mz ， z向向 外力计算外力计算My ，两向弯矩均按绝对值计算。，两向弯矩均按绝对值计算。xyzMzMy 弯矩用矢量弯矩用矢量 表示如图表示如图M为合成弯矩为合成弯矩22yzMMMyzMzMyMjCtanzyMMj且且材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院17yzMzMyMjC3、应力计算、应力计算其中其中 MzzzM yI 横截面上的正应力由两部分叠加横截面上的正应力由两部分叠加MyyyM zI 正应力是坐标的线性函数。正应力是坐标的线性函数。yzzyM zM yII叠加得叠加得材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院18yzMzMyMjC4、中性轴的位置、中性轴的位置正应力等于零的点的连线为中性轴。正应力等于零的点的连线为中性轴。设中性轴上一点的坐标为（设中性轴上一点的坐标为（y0、z0）000yzzyM zM yII中性轴方程中性轴方程由以上方程可知由以上方程可知y0、z0正负相反或为零。正负相反或为零。即中性轴过形心，且位于即中性轴过形心，且位于2、4象限内。象限内。M作用面作用面中性轴中性轴a a00tantanyyzzyzIIzMyIMIaj 中性轴与中性轴与y轴的夹角轴的夹角材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院195、截面上的最大正应力、截面上的最大正应力离中性轴最远的点正应力最大。离中性轴最远的点正应力最大。作与中性轴平行并与截面边界相作与中性轴平行并与截面边界相切的两条直线，切点分别为最大切的两条直线，切点分别为最大拉应力点和最大压应力点。拉应力点和最大压应力点。矩形及矩形组合截面（有棱角）矩形及矩形组合截面（有棱角）最大正应力在离形心最远的棱角上。最大正应力在离形心最远的棱角上。yzMzMyMjCM作用面作用面中性轴中性轴a amaxtmaxcmaxmaxmaxyyzzzyzyM zMM yMIIWWyzMCmaxcmaxt常见截面形式常见截面形式材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院20D1maxmax D2maxmax zzyyWMWMmaxmaxmaxmax zzyyctWMWMmaxmaxmaxmax zzyytWMWMmaxmaxmax危险点处于单向应力状态，因此危险点处于单向应力状态，因此 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院21maxmaxmaxyyzzzyzyM zMM yMIIWW材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院22中性轴与弯矩作用面垂直，且弯矩作用中性轴与弯矩作用面垂直，且弯矩作用面与截面的两个交点即为最大正应力点。面与截面的两个交点即为最大正应力点。最大拉应力作用点坐标：最大拉应力作用点坐标：sin,cos22ttDDyzjj max1(sinsincoscos)22ytzttzyM zM yDDMMIIIjjjj22yzMMMWW332DWyz圆形截面圆形截面jMCtantantanyzIIajj 中性轴与中性轴与y轴的夹角轴的夹角中性轴中性轴M作用面作用面jmaxcmaxt圆截面圆截面 Iy=Iz=I 且且 Mz=Msinjj, , My=Mcosj jMzMy材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院23 矩形截面木檩条如图，跨长矩形截面木檩条如图，跨长L=3m,受集度为受集度为q=800N/m 的均布力作用，的均布力作用， =12MPa，校核强度。，校核强度。sin800 0.447358N/mzqqa解：外力分析解：外力分析分解分解q maxyzzyMMWWcos8000.894715N/myqqa22max715 3804Nm88yzq LM22max358 3403Nm88zyq LMaa 2634 hbzyqqLAB材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院24矩形截面梁如图。已知矩形截面梁如图。已知 b = 50mm , h =75mm ，求梁内的最大正应力。，求梁内的最大正应力。如改为如改为 d = 65mm 的圆截面，最大的圆截面，最大正应力为多少？正应力为多少？22223maxmaxmax391.521092.8M Pa651032zyMMW圆截面梁圆截面梁maxmaxmaxmaxmax2266yzzyyzMMWWMMbhhb33221.5 1061 2 10696MPa0.05 0.0750.075 0.05 矩形矩形截面梁截面梁材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院25解：作计算简图解：作计算简图, ,将自由将自由端截面端截面B上的集中力沿两上的集中力沿两主轴分解为主轴分解为 00cos 400.383sin 400.321yzFFqaFFqa 在在xoz主轴平面内的主轴平面内的弯矩图弯矩图( (y轴为中性轴轴为中性轴) ) 在在xoy主轴平面内的主轴平面内的弯矩图弯矩图 ( (z轴为中性轴轴为中性轴) )20a号工字钢悬臂梁承受均布荷载号工字钢悬臂梁承受均布荷载q和集中力和集中力F=qa/2 作用。已作用。已知钢的许用弯曲正应力知钢的许用弯曲正应力=160MPa, a=1m。试求梁的许可荷。试求梁的许可荷载集度载集度q。 yqzaa40FOCBA0.642qa0.444qa0.321qa222ADCByM图图(N m)0.617aADCBMz图图0.456qa0.383qa0.266qa222(N m)FyzqaaABCDFzyxO材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院26危险截面危险截面：由：由弯矩图弯矩图 ，可确定可确定A、D两截面为危险截面两截面为危险截面 按叠加法，在按叠加法，在xoz主轴平面内、主轴平面内、 xoy主轴平面内的主轴平面内的弯曲正应力，在弯曲正应力，在x方向叠加方向叠加qWMWMAzzAyyAA)m105 .21()(:截面13max31max: ()(16.02 10 m )yDzDDyzMMDqWW截面 A、D截面在截面在xoz、 xoy平面的弯曲截面系数，平面的弯曲截面系数，可查表得可查表得3636m105 .31,m10237yzWW材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院27 可见，梁的危险点在截面可见，梁的危险点在截面A的棱角处。危险点处的棱角处。危险点处是单轴应力状态，强度条件为是单轴应力状态，强度条件为 max即即Pa10160)m105 .21()(613maxqA解得解得 kN/m44. 7N/m1044. 73qmaxmax()()AD材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院2810.3 10.3 弯扭组合弯扭组合F材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院29弯弯+弯弯+扭扭材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院3080 F2zyxF1150200100ABCD150200100ABCDF1MxzxyF2yF2zMx一、外力向形心一、外力向形心 简化并分解简化并分解材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院31二、内力计算二、内力计算每种外力分量每种外力分量对应的内力图对应的内力图MT、Mz 、My MT图图Mz图图My图图M图图由由Mz 、My 作作合成弯矩合成弯矩M图图22yzMMM材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院32 三、危险点应力分析三、危险点应力分析x22zyMMMWWTPMW四、强度条件四、强度条件图示二向应力状态图示二向应力状态 223r4 224r3材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院33圆截面圆截面WP=2W T2MW圆截面杆强度条件的简化圆截面杆强度条件的简化 22zyMMMWWTPMW223r422TMMW22T42MMWW 222TyzMMMW 22222TTr40.750.75yzMMMMMWW同理同理材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院34空心圆轴，内径空心圆轴，内径d=24mm，外径外径D=30mm，B轮直径轮直径D1400mm，D轮直径轮直径 D2600mm，F1=600N， =100MPa，用第三强，用第三强度理论校核此轴的强度。度理论校核此轴的强度。解：外力分析：解：外力分析：80 F2zyxF1150200100ABCD150200100ABCDF1MxzxyF2yF2zMx121222yxDDFFM解得解得22400N,70.5NyzFF材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院35内力计算内力计算max68.7NmMT120NmM应力分析：应力分析：安全安全223432 68.71203.14 0.03 (1 0.8 ) 88.4MPa22maxT3rMMWM图图MT图图Mz图图My图图120单位均为单位均为Nm407.168.740.668.6材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院362FDm322 16.67kN300 10mFDP = 3F =36.67 = 20 kN AC : 弯、扭组合弯、扭组合 CB : 平面弯曲平面弯曲 解：解：1、简化及受力分析、简化及受力分析mPmABC求：用第四强度理论求：用第四强度理论 校核轴的强度校核轴的强度l / 2 l / 2 ABCmdD2FF已知：已知： m = 1 kNm l = 200 mm D = 300 mmd = 44 mm = 160MPa材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院37危险截面：危险截面：CMT= 1kNm mPmABC320 200 101kN m44PlM3、强度校核、强度校核22223Tr4390.7510.75 110158.2MPa441032MMW MTmMPl/42、内力计算、内力计算 作内力图作内力图材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院38T3P16 700035.7MPa0.1MW324 50106.37MPa0.1FA解：解：拉扭组合拉扭组合, ,危险点危险点应力状态如图应力状态如图直径为直径为d =0.1m的圆杆受力如图的圆杆受力如图, ,Me=7kNm,F=50kN, ,=100MPa, ,试按试按第三强度理论校核此杆的强度第三强度理论校核此杆的强度。A 226.37435.771.7MPa2234rFAFMeMe材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院3910.4 10.4 拉（压）弯组合拉（压）弯组合一、一、概念概念 外力：轴向，横向外力：轴向，横向 内力：轴力，弯矩，剪力（忽略）内力：轴力，弯矩，剪力（忽略）Fj jl材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院40二、强度计算二、强度计算1、分解、分解lFj jAB=Fsinj jFcosj jFNFcosj j危险截面：危险截面：A: FN=Fcosj j, M=Flsinj j危险点：危险点：A 截面上缘，单向应力状态截面上缘，单向应力状态2、分别计算：、分别计算：作内力图作内力图 ; 3、强度条件：、强度条件：NNmaxmaxttccFFMMAWAWMFlsinj j材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院41FFeFeFe=+FFNFAMW NmaxFMAWNFMAW材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院42 120kN 30kN 200 150 h图示立柱，欲使截面上的最大拉应力为零，求截面图示立柱，欲使截面上的最大拉应力为零，求截面尺寸尺寸h及此时的最大压应力。及此时的最大压应力。 解：（解：（1）内力分析）内力分析 N12030150kN302006000N.mFM （2）最大拉应力为零的条件）最大拉应力为零的条件 0150106000615010150233maxhhWMAFNt解得解得 h=240mm 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院432max3500008.75MPa0.2 0.2FA解：解：两柱均为两柱均为压应力压应力1max11zFMAW23500003505060.20.30.20.311.7MPaMFFd d图示力图示力F =350kN，求出两，求出两柱内绝对值最大的正应力。柱内绝对值最大的正应力。F300200200F200200材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院44N3kN( )4 (kN m)AxAyFFM xF xx AxFFAy 作折杆的受力图作折杆的受力图, ,折杆及折杆及受力对称，只需分析一半受力对称，只需分析一半即杆即杆AC，将，将FA分解分解, , 得杆得杆的轴力的轴力FN、弯矩、弯矩M (x) ABCmmfgFBx10kN解解：由平衡条件由平衡条件5kNABFFBFFA一折杆由两根无缝钢管焊接而成，已知两钢管的外一折杆由两根无缝钢管焊接而成，已知两钢管的外径均为径均为140mm，壁厚均为，壁厚均为1010mm。试求折杆危险截。试求折杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力。面上的最大拉应力和最大压应力。 ABCa1.6m1.6m1.2m10kN材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院45 最大弯矩在最大弯矩在 C 处的处的m-m横截面，横截面，m-m 截面为截面为危险截面危险截面 mkN8m2maxAyFM 按按叠加原理，最大拉应力叠加原理，最大拉应力 t和最大压应力和最大压应力 c分分别在杆下边缘的别在杆下边缘的f 点和上边缘的点和上边缘的g点处，其值分别为点处，其值分别为 ,maxN,maxAtcFMW根据已知的截面尺寸根据已知的截面尺寸 2422m108 .40)(4dDAABCmmfgFBx10kNAxFFAy材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院46)(6444dDI36m101242/DIW代入应力表达式得代入应力表达式得,max,max63.8MPa65.2tc材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院47荷载荷载F 设为正；设为正；作用点：（作用点：（yF ,zF）设为正）设为正（yF , zF）xyzF一般情况一般情况10.4 10.4 偏心压缩偏心压缩荷载平行于轴线但不位于形心主惯性平面内。荷载平行于轴线但不位于形心主惯性平面内。一、应力计算一、应力计算材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院48内力正负号：内力正负号： FN、 My 、Mz 均设为正，引起某均设为正，引起某 点的应力为压应力时前面加负号。点的应力为压应力时前面加负号。（yF , zF）xyz=FN = F , My =FzF , Mz= F yF1、分解、分解FMyMz（yF , zF）xyzF材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院49FMyMzxyz2、分别计算、分别计算: A点应力点应力A(x,y)NFFAA FyzyFyyM zFz zII Myyz+zFzzM yFy yII Mzyz+材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院50 A()FFzyFy yFz zFAII 作变换作变换AiIAiIzzyy22得得221FFzyyzFyzAii 3、叠加、叠加 单向应力状态单向应力状态材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院51中性轴方程中性轴方程002210FFzyyzyzii（yF ,zF）yz中性轴中性轴ayaz4、中性轴、中性轴22yzyzFFiiaayz （1）不过形心直线；）不过形心直线； (2) 中性轴与荷载作用点位于中性轴与荷载作用点位于 形心异侧；形心异侧； (3) 中性轴位置与荷载大小无关；中性轴位置与荷载大小无关；(4) 荷载靠近形心时，中性轴远离荷载靠近形心时，中性轴远离 形心。形心。中性轴的特性：中性轴的特性：材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院525、强、强 度度 max11221FFczyyzFyzAii（yF,zF）yz中性轴中性轴ayazD1(y1 ,z2)D2(y2 ,z2)危险点危险点 max22221FFtzyyzFyzAii c max t maxD1(y1,z1)D2(y2,z2) 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院53二、截面核心二、截面核心z（yF ,zF）y中性轴中性轴ayazyz中性轴中性轴（yF ,zF）截面形心附近的一个区域，荷载作用在此截面形心附近的一个区域，荷载作用在此区域内时，中性轴移出截面之外，截面内区域内时，中性轴移出截面之外，截面内正应力同号，这个区域称为截面核心。正应力同号，这个区域称为截面核心。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院54yz中性轴中性轴（yF ,zF） 当压力当压力F作用在截面核心内时，整个截面作用在截面核心内时，整个截面上上只产生压应力。只产生压应力。研究意义研究意义工程中的混凝土柱或砖柱，工程中的混凝土柱或砖柱， 其抗拉性很差，要求构件其抗拉性很差，要求构件 横截面上横截面上 不出现拉应力；不出现拉应力；地基受偏心压缩，不允许其地基受偏心压缩，不允许其 上建筑物某处脱离地基。上建筑物某处脱离地基。 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院55确定截面核心步骤确定截面核心步骤22yzFFyziiyzaa 作截面的形心主惯性轴；作截面的形心主惯性轴；作截面外凸点的直线代替内凹轮廓线；作截面外凸点的直线代替内凹轮廓线；确定边界上切线的截距确定边界上切线的截距ay、az；由公式确定偏心压力作用点的位置；由公式确定偏心压力作用点的位置；连接偏心压力作用点得到的封闭曲线就是连接偏心压力作用点得到的封闭曲线就是 截面核心。截面核心。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院56矩形截面的截面核心矩形截面的截面核心bhyz6h6b材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院57圆形截面的截面核心圆形截面的截面核心4rryzAa