第三章 正态分布及其应用.ppt

正态分布及其应用正态分布及其应用山东大学公共卫生学院山东大学公共卫生学院王淑康王淑康2p生物现象中有许多变量服从正态分布，如健康人群的大部分反映身体形态、生理功能、机体代谢及免疫状况的解剖学、生理、生化、免疫学指标，一般都基本服从正态分布。p例2.1中，由100名18岁男大学生的身高资料所绘制的直方图可看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端中点的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央(均数所在处)，两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线。该频数曲线(或频率曲线)被称作正态分布曲线。正态分布及其应用正态分布及其应用3正态分布及其应用正态分布及其应用4A0510152025B00.10.20.30.40.5C00.050.10.150.20.250.3-5 -4 -3 -2 -1012345图图2-1 2-1 频数分布逐渐接近正态分布示意图频数分布逐渐接近正态分布示意图5正态分布(normal distribution)，也叫高斯分布(Gaussian distribution)，是最常见、最重要的一种连续型分布。定义：设 x 为一随机变量，若其概率密度函数可以表示为： 称 x 服从均数为 、方差为 的正态分布，记为 。2)(21_21)(xexfx),(2Nx2一、正态分布的概念及特征一、正态分布的概念及特征6p 根据正态分布的概率密度函数 当 和 已知时，以 为横轴， 为纵轴，可绘出正态分布图形 正态曲线（normal curve）。 1. 正态分布的图形正态分布的图形2)(21_21)(xexfx)(xf 7正态曲线在横轴上方均数处最高。正态分布以均数为中心，左右对称。正态分布有2个参数-均数和标准差。均数决定了曲线的位置，称为位置参数；标准差决定了曲线的形状，称为变异度参数。正态分布在 处各有一个拐点。 正态曲线下面积的分布有一定规律。2. 正态分布的特征正态分布的特征 1 8正态分布的特征正态分布的特征(1) 正态曲线为单峰曲线，在横轴上方均数处最高，曲线两端均以横轴为渐近线。(2) 正态分布以均数为中心，左右对称。9(3) 正态分布有2个参数，即均数 和标准差。 是位置参数，当 固定不变时， 越大，曲线沿横轴越向右移动；反之， 越小，则曲线沿横轴越向左移动。 是形状参数(亦称变异度参数)，当 固定不变时， 越大，曲线越平阔； 越小，曲线越尖峭。通常用N( ,2)表示均数为 ，标准差为 的正态分布。 不变，不变， 发生变化发生变化 不变，不变， 发生变化发生变化 正态分布的特征正态分布的特征10(4) 正态分布在 处各有一个拐点。 + + 凸凸凹凹凹凹(5) 正态曲线下的面积分布有一定规律。（见下文）正态分布的特征正态分布的特征11p标准正态分布标准正态分布 (standard normal distribution)： 均数 ，标准差 的正态分布 称为标准正态分布。p概率密度函数为： 2221)(ueu3. 标准正态分布标准正态分布) 1 , 0(N01u12 若 x N ( ,2)，对 x 进行如下变换： 则可证明，u服从标准正态分布，即 u N (0 ,1)。 xu标准正态变换标准正态变换标准正态离差标准正态离差标准正态变量标准正态变量x N ( , 2)u N (0 ,1)标准正态变换标准正态变换标准正态分布与一般正态分布的关系标准正态分布与一般正态分布的关系:)8 . 0 , 1(2 N)2 . 1 , 1 (2N)1 , 0(2N13p标准正态曲线只有一条，因此其性质、规律都是固定的，而普通正态分布 又可通过 u 变换转化为标准正态分布 ，从而为研究带来极大的方便。p但在实际应用中，常以样本为研究对象， 和 未知，此时当 n 足够大时，可以样本均数 和样本标准差 代替 和 ，则标准正态变换为 。),(2N) 1 , 0(NXssXxu 标准正态分布标准正态分布14p正态曲线下面积的分布有一定规律。利用曲线下某一区间的面积占总面积的百分比，可以估计该区间的例数占总例数的百分比（频数分布）或估计观察值落在该区间的概率。 p正态曲线下某一区间的面积可通过对概率密度函数积分求得。二、正态曲线下面积的分布规律二、正态曲线下面积的分布规律151. 正态曲线下面积的计算正态曲线下面积的计算图图1中阴影部分反映了中阴影部分反映了(- ，x)的面的面积，计算方法如下：积，计算方法如下：图图2中阴影部分（代表任意区间）中阴影部分（代表任意区间）的面积，理论上可以如下计算：的面积，理论上可以如下计算：xab xxdxexF222)(21)( baxdxeaFbF22221 )()()(正态分布的正态分布的分布函数分布函数162. 标准正态曲线下的面积计算标准正态曲线下的面积计算p对于标准正态分布，其分布函数记为 即标准正态曲线下（-, u）的面积，其大小随u的变化而变化。p为了应用方便，统计学家按 编制了标准正态分布曲线下的面积分布表(简称 u 值表) ，可以根据u值查表得到区间（-, u）的面积。 dueuuu2221 )(u170.00.10.20.30.40.5-4-3-2-101234Xf(X)u-18193. 一般正态分布曲线下的面积一般正态分布曲线下的面积p对于一般的正态分布 N( , 2)，其曲线下（-, x）区间的面积除与x有关外，还与 和 有关。即不同的正态曲线，由于其位置和形状不同，同一区间内的面积是不同的。p但可利用标准正态变换 ，将N( , 2)转化为标准正态分布，再根据标准正态曲线下的面积分布表推算。/ )( xu201. 求求 u 值值当 、 和 已知时，按 求得 值；当 、 未知且样本含量n足够大时，可用样本均数 和标准差 分别代替 和 求得 u 的估计值。2. 查查 u 值表值表根据所求的 u 值查表。查查u界值表的步骤：界值表的步骤：/ )( xuusx21p曲线下横轴上方的总面积为100 或1；p附表仅列出了标准正态曲线下-到u的面积；p标准正态曲线下对称于0的区间其面积相等，如 和 的面积相等， 即 。(,)u 应用应用u界值表时应注意：界值表时应注意：( ,)u )(1)(uu22例例2.10p由例2.1资料得：100名18岁男大学生身高的均数 cm，标准差 cm。试估计该地18岁男大学生身高在168cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数。本例， 未知但n较大，用 和 分别代替 和 ，按 求得 值 。 查附表1标准正态曲线下的面积得0.1210，即该地18岁男大学生身高在168cm以下者，约占总数的12.10%。 70172.X 014.s ,XssXxu/ )( u17. 101. 4/ )70.172168(u23实例：实例：p mmol/L， mmol/L， 。 试估计该地正常女子血清甘油三脂在试估计该地正常女子血清甘油三脂在1.10 mmol/L以上以上者占正常女子血清甘油三脂总人数的百分比。者占正常女子血清甘油三脂总人数的百分比。p本例， 未知但n较大，用 和 分别代替 和 ，按 求得 值，将x=1.10 mmol/L代入公式， 。查u界值表得1-(-0.14)0.5557，即该地正常女子血清甘油三脂在1.10mmol/L以上者占总人数的55.57%。 200n141.X 290.s ,Xs/ )( xuu14. 029. 0/ )14. 110. 1 (u24实例图示实例图示55.57254. 常用正态曲线下面积及其对应的分位数常用正态曲线下面积及其对应的分位数xux = + u26 - + -1.645 +1.645 -1.96 +1.96 -2.58 +2.58 15.866%15.866%68.27%5%5%90%2.5%2.5%95%99%0.5%0.5%27p许多医学现象服从正态分布或近似正态分布，如同性别、同年龄儿童的身高；同性别健康成年人的红细胞数、血红蛋白含量、胆固醇、心率等生理生化指标；医学实验中的随机误差等，一般都呈现正态或近似正态分布，故可按正态分布规律处理。p有些医学资料虽然本身呈偏态分布，但经数据变换后可成为正态或近似正态分布，如疾病的潜伏期、医院病人的住院天数等，在施加对数变换后，转化成正态分布或近似正态分布，也可以按正态分布规律处理。281. 制定医学参考值范围制定医学参考值范围 p医学参考值范围（医学参考值范围（reference ranges），亦称医学正常值范围，是指所谓“正常人”的解剖、生理、生化等指标的波动范围。p所谓“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的同质人群。29303132医学正常值范围的用途医学正常值范围的用途作为诊断标准，划分正常与异常的界限；根据传染病传染期的长短确定该病患者的隔离期限，或根据潜伏期长短确定接触者的留验期限；制订卫生标准及有害物质的容许浓度，作为保护健康的安全界限；制订不同性别、年龄儿童的某项生长发育指标的等级标准；在质量控制中制订各种控制限。33制定医学参考值范围的步骤及要求制定医学参考值范围的步骤及要求 1. 选取研究对象，要求样本含量足够大，保证研究对象的同质性；2. 控制测量误差；3. 判断是否需要分组（如年龄、性别等）确定；4. 根据专业知识确定取单侧还是双侧 ；5. 根据研究目的和使用要求选定适当的百分界值，如80，90，95和99，常用95；6. 根据资料的分布特点，选用恰当的界值计算方法。34单侧或双侧界值单侧或双侧界值单侧下限单侧下限异常异常正常正常异常异常正常正常双侧下限双侧下限双侧上限双侧上限异常异常单侧上限单侧上限异常异常正常正常35正态分布法正态分布法 适用于正态或近似正态分布的资料。适用于正态或近似正态分布的资料。 双侧界值： 单侧上界： ，或单侧下界： 对数正态分布法对数正态分布法 适用于对数正态分布资料。适用于对数正态分布资料。 双侧界值： 单侧上界： ，或单侧下界：百分位数法百分位数法 用于偏态分布资料以及资料中一端或两端用于偏态分布资料以及资料中一端或两端无确切数值的资料。无确切数值的资料。 双侧界值： 和 单侧上界： ，或单侧下界： 制定医学参考值范围常用方法制定医学参考值范围常用方法suX2suXsuX)(lglg2lg1xxsuX)(lglglg1xxsuX)(lglglg1xxsuX5 . 2P597.P95P5P36常用常用 u 值表值表37实例实例 1p某地调查成年男子某地调查成年男子144人红细胞数，近似正态分布，人红细胞数，近似正态分布，均数均数 ，标准差，标准差 ，试估，试估计该地成年男子红细胞数的计该地成年男子红细胞数的95%参考值范围。参考值范围。 L/.X1210385L/.s1210440u 因红细胞数过多或过少均为异常，故应估计双侧95% 参考值范围，代入公式可得： 即该地正常男性红细胞数的95%参考值范围为 524440961385961.sX246440961385961.sX124.52 6.2410 / L（）38p某医生测量了118名健康成年男子的第一秒肺通气量(FEV1)，结果如下表，试估计95的参考值范围。实例实例 2LX24. 4 Ls69. 0 因FEV1只有过低才属异常，故应制定单侧下限。95单侧下限为：)(10. 369. 0645. 124. 4LsuX 即FEV1的95参考值范围为不低于3.10L。39p某年某市调查了200例健康成人血铅含量（g/100g）经对数变换后进行正态性检验知血铅含量为对数正态分布，已知 ， 。试估计95正常值范围。 实例实例 32713. 0lg xs1558. 1lg xX）（ggsuXxx100/0 .406021. 1lg)2713. 0645. 11558. 1(lg)(lg11lglg1 因血铅过高才属异常，故求单侧95上限，故该市健康人血铅含量的正常值范围为40 g/100g。40p某年某市调查了238名无明显肝肾疾病 、无汞作业居民的发汞含量（mol/kg），频数表如下。试估计该市居民发汞含量的95参考值范围。表表 2 某市某市某年某年 238 名名健康健康成人成人发汞发汞分布分布 发汞发汞(mol/kg) 人数人数 累计累计频数频数 累计累计频率频率（） 1.5 20 20 8.40 3.5 66 86 36.13 5.5 60 146 61.34 7.5 48 194 81.51 9.5 18 212 89.08 11.5 16 228 98.80 13.5 6 234 98.32 15.5 1 235 98.74 17.5 0 235 98.74 19.521.5 3 238 100.00 合合 计计 238 实例实例4由于发汞含量只有过高才属异常，故计算单侧上限，即P95。26.13)212%95238(1625.11)%95(95 LxxfnfiLP （mol/kg）41 讨论：数值变量资料的频数分布讨论：数值变量资料的频数分布 例：据例：据2004年某地某单位的体检资料，年某地某单位的体检资料，116名正常成年女子的血名正常成年女子的血清甘油三酯（清甘油三酯（mmol/L）测量结果如下表：）测量结果如下表：表表 3 3 某单位某单位 20042004 年年 116116 名名正常成年正常成年女子血清甘油三酯女子血清甘油三酯（mmol/Lmmol/L） 测量结果测量结果 组组 段段 频频 数数 0.6 1 0.7 3 0.8 9 0.9 13 1.0 19 1.1 25 1.2 18 1.3 13 1.4 9 1.5 5 1.61.7 1 合合 计计 116 42问题：问题：（1）试根据表3的数据，估计该地正常成年女子血清甘油三酯水平在0.8mmol/L以下占正常女子总人数的百分比。 （2）该地正常成年女子血清甘油三酯水平在0.91.2 mmol/L范围内的理论人数。 （3）如果该地区一名成年女性的血清甘油三酯测定值为0.85mmol/L，则该女性的血清甘油三酯水平是否正常？4344)/(156. 11161 .134131165. 1375. 0165. 0LmmolffXX)/(204. 01116116/1 .13483.1591/)(222LmmolfffXfXs45（1）计算甘油三酯水平在0.8mmol/L以下占正常女子总人数的百分比，首先计算u值745. 1204. 0156. 18 . 0sxxu4647（2）首先分别计算当血清甘油三酯水平为0.9和1.2 mmol/L时所对应的u值。254. 1204. 0156. 19 . 01sxxu216. 0204. 0156. 12 . 12sxxu- -1.254-1.254的面积为的面积为0.10560.1056；- 0.2160.216的面积为的面积为1 1减减去去- -0.216-0.216的面积（的面积（1-0.4129=0.58711-0.4129=0.5871）。）。血清甘油三酯水平在血清甘油三酯水平在0.91.2 0.91.2 mmolmmol/L/L范围内的百分比范围内的百分比为为0.5871-0.1056=0.48150.5871-0.1056=0.4815。则在此范围内的理论人数。则在此范围内的理论人数为为1161160.4815=55.854560.4815=55.85456人人4849（3）考虑某个测量值是否正常时，应计算其医学参考值范围，本例计算95%医学参考值范围)/(556. 1756. 0204. 096. 1156. 196. 1Lmmolsx50p为了控制实验中的检测误差： 警戒值 控制值s2x 2. 质量控制质量控制 s3x51p统计学上的很多分布，如 分布、 分布、 分布都是在正态分布的基础上推导出来的。pt 分布、二项分布、Possion分布的极限均为正态分布，在一定条件下，可以按正态分布原理来处理。 p常用的假设检验方法 u 检验也是以正态分布为基础的。3. 正态分布是许多统计方法的理论基础正态分布是许多统计方法的理论基础 tF252