2022年北京市海淀区高三第一学期期末数学试题及答案.docx

精品学习资源海淀区高三年级第一学期期末练习数学理科2021. 1本试卷共 4 页， 150 分；考试时长 120 分钟；考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效；考试终止后，将答题纸交回；第一部分选择题，共 40 分一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分；在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项；12i1复数iA 2iB 2iC2iD 2i2在极坐标系 Ox 中，方程2sin表示的圆为欢迎下载精品学习资源O1xO1xO1xO1x欢迎下载精品学习资源A BCD3执行如下图的程序框图，输出的k 值为开头A 4B 5C 6D 7a = 1 , k = 1a > 10是否a = 2ak = k +1输出 k欢迎下载精品学习资源4设 m 是不为零的实数，就 “m0 ”是“方程 x终止2y1 表示双曲线 ”的欢迎下载精品学习资源2mmA 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C充分必要条件D 既不充分也不必要条件欢迎下载精品学习资源5已知直线xym0 与圆 O ： x2y1 相交于 A ， B 两点， 且OAB 为正三角形，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2就实数 m 的值为A 32B 62C 3 或322D 6 或622欢迎下载精品学习资源6从编号分别为 1，2，3，4，5，6 的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球， 就恰有两个小球编号相邻的概率为欢迎下载精品学习资源A 152B 53C54D 5欢迎下载精品学习资源7某三棱锥的三视图如下图，就以下说法中： 三棱锥的体积为 16 三棱锥的四个面全是直角三角形 三棱锥四个面的面积中最大的值是32全部正确的说法是 AB CD 1222222主视图左视图俯视图欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源8已知点 F 为抛物线 C ：y22px p0 的焦点，点 K 为点 F 关于原点的对称点，欢迎下载精品学习资源点 M 在抛物线 C 上，就以下说法错误的选项是A 使得MFK为等腰三角形的点M 有且仅有 4 个B 使得MFK为直角三角形的点M 有且仅有 4 个欢迎下载精品学习资源C使得D使得MKF MKF的点 M 有且仅有 4 个4的点 M 有且仅有 4 个6欢迎下载精品学习资源其次部分非选择题，共 110 分二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分；x2欢迎下载精品学习资源9点 2,0 到双曲线4y21 的渐近线的距离是 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源10已知公差为 1的等差数列an中，a1 ， a2 ， a4 成等比数列，就an的前 100 项的欢迎下载精品学习资源和为11设抛物线 C ： y 24 x 的顶点为 O ，经过抛物线 C 的焦点且垂直于 x 轴的直线和抛物线 C 交于 A， B 两点，就 OAOB欢迎下载精品学习资源12已知5xn1 开放式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64： 1，欢迎下载精品学习资源 13 已知正方体ABCDA1 B1C1D1 的棱长为42 ， M 是棱 BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点 Q 在线段 A1C1 上.假设 PM1 ，就 PQ 长度的最小值为 假设集合Dk 表示的平面区域是一个三角形，就实数k 的取值范畴是；当 k0 时 ， 假 设 对 任 意的 x, yD0 ， 有 ya x31 恒 成 立 ， 且 存 在x, yD0 ，使得 xya 成立，就实数a 的取值范畴为三、解答题共 6 小题，共 80 分；解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程；15本小题 13 分如图，在 ABC 中，点 D 在 AC 边上，且 AD3DC ， AB7 ，ADB3， C =6.求 DC 的值；B求 tanABC 的值 .16本小题 13 分据中国日报网报道： 2021 年 11 月 13日， TOP500 发布的最新一期全球超级电脑ADC500 强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席.其中超算全球第一 “神威 ·太湖之光 ”完全使用了国产处理器.为了明白国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12 次测试，结果如下： 数值越 小，速度越快 ，单位是 MIPS 就 nxy2014对任意实数k，定义集合Dkx, yxy20, x, yR.kxy0测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试123456789101112品牌 A3691041121746614品牌 B2854258155121021从品牌 A 的 12 次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于7 的概率；在 12 次测试中，随机抽取三次，记X 为品牌 A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数，求 X 的分布列和数学期望E X ；经过明白，前 6 次测试是打开含有文字与表格的文件，后 6 次测试是打开含有文字与图片的文件 .请你依据表中数据， 运用所学的统计学问， 对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评判 .欢迎下载精品学习资源17本小题 14 分如图 1，梯形 ABCD 中， AD /BC ，CDBC ，BCCD1 ，AD2 ， E 为 AD欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源中点 .将 ABE 沿 BE 翻折到A1 BE 的位置， 使 A1EA1D 如图 2.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源求证：平面A1ED平面 BCDE ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源求A1 B 与平面A1CD 所成角的正弦值；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设 M 、N 分别为A1E 和 BC 的中点， 试比较三棱锥M A1CD 和三棱锥N A1CD欢迎下载精品学习资源图中未画出的体积大小，并说明理由.A1AEDMEDBCBNC图 1图 218本小题 13 分欢迎下载精品学习资源2已知椭圆 C ： x2 y 29 ，点P 2,0 .欢迎下载精品学习资源求椭圆 C 的短轴长与离心率；过 1， 0的直线 l 与椭圆 C 相交于 M 、 N 两点，设 MN 的中点为 T ，判定 | TP |与 |TM |的大小，并证明你的结论.19本小题 14 分欢迎下载精品学习资源已知函数f x2exax22 x2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源求曲线yf x 在点 0,f 0处的切线方程；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 a0 时，求证：函数f x有且只有一个零点；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 a0 时，写出函数f x的零点的个数 .只需写出结论欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源20本小题 13 分无穷数列an中意：a1 为正整数，且对任意正整数n， an1 为前 n欢迎下载精品学习资源项 a1,a2,an 中等于 an 的项的个数 .欢迎下载精品学习资源假设a12 ，请写出数列an的前 7 项；欢迎下载精品学习资源求证：对于任意正整数M，必存在 kN ，使得 akM ；欢迎下载精品学习资源求证： “a11 ”是“存在 mN ，当 nm时，恒有an 2an 成立 ”的充要条件 .欢迎下载精品学习资源海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案2021.1数 学理科阅卷须知 :1. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2. 其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8 小题，每题5 分，共40 分.题号12345678选项ADBADCDC二、填空题 : 本大题共6 小题，每题5 分，共30 分.有两空的小题第一空3 分欢迎下载精品学习资源9 25510 5050112126欢迎下载精品学习资源1333141,11 2,5欢迎下载精品学习资源三、解答题 :本大题共 6 小题，共 80 分.欢迎下载精品学习资源15. 本小题 13 分解：如下图，DBCADBC366，.1分欢迎下载精品学习资源故DBCC ， DBDC.2分B欢迎下载精品学习资源A设 DCx ，就 DBx ， DA在 ADB 中，由余弦定理DC3x .欢迎下载精品学习资源22ABDA2DB2DADBcosADB.3分欢迎下载精品学习资源即 73 x2 x212 3x x27 x ，.4分欢迎下载精品学习资源2解得 x1 ，即 DC1.5分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源方法一 . 在 ADB 中，由 ADAB ，得ABDADB60 ，故欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ABCABDDBC在 ABC 中，由正弦定理362. 7 分欢迎下载精品学习资源ACAB欢迎下载精品学习资源sinABCsinACB欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即47，故 sinABC2，.10分欢迎下载精品学习资源sinABC172欢迎下载精品学习资源由ABC, ，得2cosABC3 ，.11分7欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源tanABC223 13 分欢迎下载精品学习资源33方法二 . 在 ADB 中，由余弦定理欢迎下载精品学习资源cosABDAB2BD 2AD 27191. 8 分欢迎下载精品学习资源2 AB BD27 127欢迎下载精品学习资源由ABD0, ，故 sinABD3327欢迎下载精品学习资源故 tanABD33. 11 分欢迎下载精品学习资源tanABDtan333欢迎下载精品学习资源故 tanABCtanABD6323欢迎下载精品学习资源61tanABDtan13333欢迎下载精品学习资源63 13 分欢迎下载精品学习资源方法三：BC 2BD2CD 22BDCDcosBDC3 ， BC3欢迎下载精品学习资源cosABCBA2BC22BA BCAC2378 分欢迎下载精品学习资源由于ABC0,，所以sinABC2 11 分7欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 tanABC223 13 分欢迎下载精品学习资源3316. 本小题 13 分从品牌 A 的 12 次测试中，测试结果打开速度小于7 的文件有：测试 1、2、5、6、 9、10、 11，共 7 次欢迎下载精品学习资源设该测试结果打开速度小于7 为大事 A ，因此P A7.3分12欢迎下载精品学习资源 12 次测试中，品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数有：测试1、3、 4、5、7、8，共 6 次随机变量 X 全部可能的取值为： 0， 1， 2， 3C C130C113PX06612欢迎下载精品学习资源C C921C223PX16612C C912C223P X26 612欢迎下载精品学习资源PX3C6C61C0331211.分7欢迎下载精品学习资源随机变量 X 的分布列为X0123欢迎下载精品学习资源19P1122912211.8分欢迎下载精品学习资源19913E X 0123112222112.10分欢迎下载精品学习资源 此题为开放问题， 答案不唯独， 在此给出评判标准， 并给出可能显现的答案情形， 阅卷时依据标准酌情给分.给出明确结论， 1 分；结合已有数据，能够运用以下8 个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2 分. 13 分.标准 1:会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的平均值与后6 次测试品牌A、品牌 B 的测试结果的平均值进行阐述这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度标准 2:会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的方差与后6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的方差进行阐述这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动标准 3：会用品牌 A 前 6 次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平均值与品牌B 前 6 次测试结果的平均值、后6 次测试结果的平均值进行阐述品牌A 前 6 次测试结果的平均值大于品牌B 前 6 次测试结果的平均值，品牌A 后 6 次测试结果的平均值小于品牌B 后 6 次测试结果的平均值，品牌A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B标准 4：会用品牌 A 前 6 次测试结果的方差、 后 6 次测试结果的方差与品牌B 前 6 次测试结果的方差、后6 次测试结果的方差进行阐述品牌A 前 6 次测试结果的方差大于品牌 B 前 6 次测试结果的方差，品牌A 后 6 次测试结果的方差小于品牌B 后 6 次测试结果的方差，品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B欢迎下载精品学习资源标准 5：会用品牌 A 这 12 次测试结果的平均值与品牌B 这 12 次测试结果的平均值进行阐述品牌A 这 12 次测试结果的平均值小于品牌B 这 12 次测试结果的平均值，品牌 A 打开文件的平均速度快于B标准 6：会用品牌 A 这 12 次测试结果的方差与品牌B 这 12 次测试结果的方差进行阐述品牌 A 这 12 次测试结果的方差小于品牌B 这 12 次测试结果的方差，品牌A 打开文件速度的波动小于B标准 7：会用前 6 次测试中，品牌 A 测试结果大于小于品牌B 测试结果的次数、后 6 次测试中，品牌 A 测试结果大于小于品牌B 测试结果的次数进行阐述前6 次测试结果中，品牌A 小于品牌 B 的有 2 次，占 1/3.后 6 次测试中，品牌A 小于品牌 B 的有 4 次，占 2/3.故品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌 A 打开含有文字和图片的文件的速度快于B标准 8：会用这 12 次测试中，品牌 A 测试结果大于小于品牌B 测试结果的次数进行阐述这 12 次测试结果中，品牌A 小于品牌 B 的有 6 次，占 1/2.故品牌 A 和品牌B 打开文件的速度相当17. 本小题 14 分证明：由图1，梯形 ABCD 中， AD / BC ， CDBC ， BC1 ， AD2 ，E 为 AD 中点， BEAD故图 2， BEA1E ， BEDE .1分由于 A1 EDEE ， A1 E ， DE平面 A1DE .2分参考数据期望品牌 A前 6 次5.50后 6 次9.8312 次7.67品牌 B4.3311.838.08品牌 A 与品牌B4.9210.83方差品牌 A前 6 次12.30后 6 次27.3712 次23.15品牌 B5.0731.7732.08品牌 A 与品牌B8.2727.97所以 BE平面 A1DE .3分欢迎下载精品学习资源由于 BE平面 BCDE ，所以平面A1DE平面 BCDE .4分欢迎下载精品学习资源解一：取DE 中点O ，连接 OA1， ON .由于在A1DE 中， A1EA1DDE1 ， O 为 DE 中点所以 A1O由于平面DEA1DE平面 BCDEzA1M平面 A1DE平面 BCDEDEDyE欢迎下载精品学习资源A1O平面 A1DEBNCx欢迎下载精品学习资源所以 A1 O平面 BCDE由于在正方形BCDE 中， O 、 N 分别为 DE 、 BC 的中点， 所以 ONDE建系如图 .欢迎下载精品学习资源就 A10,0,3 ， B 1,21,021， C 1,0 ，21D 0,02， E 0,1,02. .5分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A1B1,1 ,3 欢迎下载精品学习资源22欢迎下载精品学习资源A1D0, 1 ,3 ， DC1,0,0 ，欢迎下载精品学习资源22欢迎下载精品学习资源设平面A1CD 的法向量为 nx,y, z ，就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n A1D01 y3 z0欢迎下载精品学习资源，即 22，令 z1 得， y3 ，欢迎下载精品学习资源n DC0x0欢迎下载精品学习资源所以 n0,3,1 是平面A1CD 的一个方向量 . .7分欢迎下载精品学习资源cosA1B, nA1B n36 .9分欢迎下载精品学习资源| A1B | | n |2 24欢迎下载精品学习资源所以 A1 B 与平面A1CD 所成角的正弦值为6. .10分4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解二：在平面A1DE 内作 EFED ，z欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由 BE平面A1DE ，建系如图 .A1欢迎下载精品学习资源M高三年级数学 -理科第9页共 4 页Dy EBNCx欢迎下载精品学习资源1就 A 0,3 ，B1,0,0， C1,1,0 ， D 0,1,0， E0,0,0. .5分欢迎下载精品学习资源122A1B1,1 ,3 欢迎下载精品学习资源22欢迎下载精品学习资源A1D0, 1 ,3 ， DC1,0,0 ，欢迎下载精品学习资源22欢迎下载精品学习资源设平面A1CD 的法向量为 nx,y, z ，就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n A1D013yz0欢迎下载精品学习资源，即 22，令 z1 得， y3 ，欢迎下载精品学习资源n DC0x0欢迎下载精品学习资源所以 n0,3,1 是平面A1CD 的一个方向量 . .7分欢迎下载精品学习资源cosA B, nA1B n36 .9分欢迎下载精品学习资源1| A1B | | n |2 24欢迎下载精品学习资源所以 A1 B 与平面ACD 所成角的正弦值为6. .10分欢迎下载精品学习资源14欢迎下载精品学习资源解：三棱锥理由如下 :MA1CD 和三棱锥NA1CD 的体积相等 .欢迎下载精品学习资源方法一：由13113M 0, ， N 1,0 ，知 MN1, ，就44244MNn0 .11分欢迎下载精品学习资源由于 MN平面A1CD ， .12分欢迎下载精品学习资源所以 MN/ 平面A1CD . .13分欢迎下载精品学习资源故点 M 、 N 到平面A1CD 的距离相等，有三棱锥MA1CD 和 NA1CD 同底等高，欢迎下载精品学习资源所以体积相等 . .14 分方法二：如图，取DE 中点 P ，连接 MP ， NP ， MN .欢迎下载精品学习资源由于在A1DE 中， M ， P 分别是A1E ， DE 的中点，所以MP / / A1D欢迎下载精品学习资源由于在正方形BCDE 中， N ， P 分别是 BC ， DE 的中点，所以NP / CD欢迎下载精品学习资源由于 MPNPP ， MP ， NP平面 MNP ，A1D ， CD平面A1CD欢迎下载精品学习资源所以平面 MNP / 平面A1CD .11分欢迎下载精品学习资源由于 MN平面 MNP ， .12分欢迎下载精品学习资源所以 MN/ 平面A1CD .13分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故点 M 、 N 到平面A1CD 的距离相等，有三棱锥MA1CD 和NA1CD 同底等欢迎下载精品学习资源高，所以体积相等 . .14 分A1A1MMQEPDEDBNCBNC欢迎下载精品学习资源方法三：如图，取法二法三A1D 中点 Q ，连接 MN ， MQ ， CQ .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源因 为 在A1DE 中 ， M ， Q 分 别 是A1E ，A1D 的 中 点 ， 所 以MQ / / ED 且欢迎下载精品学习资源MQ1 ED21欢迎下载精品学习资源由于在正方形BCDE 中， N 是 BC 的中点，所以NC /ED 且 NCED 2欢迎下载精品学习资源所 以 MQ / NC 且 MQNC， 故 四 边 形 MNCQ是 平 行 四 边 形 ， 故MN / / CQ .11分欢迎下载精品学习资源由于 CQ平面A1CD ， MN平面A1CD ， .12分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 MN/ 平面A1CD . .1分3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故点 M 、 N 到平面A1CD 的距离相等，有三棱锥MA1CD 和NA1CD 同底等欢迎下载精品学习资源高，所以体积相等 . .14 分18. 本小题 13 分欢迎下载精品学习资源x2y222929欢迎下载精品学习资源解： C ：1 ，故 a9 ， b， c，欢迎下载精品学习资源99222欢迎下载精品学习资源有 a3 ， bc32 . .2分2欢迎下载精品学习资源椭圆 C 的短轴长为 2b32 ， .3分欢迎下载精品学习资源离心率为 eca2. .5分2欢迎下载精品学习资源方法 1：结论是： |TP | TM | .欢迎下载精品学习资源当直线 l 斜率不存在时，l : x1， |TP |0| TM |2 .7 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当直线 l 斜率存在时，设直线l ：yk x1) ， Mx1, y1 ，Nx2, y2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x22 y29，整理得：2k 21x24k 2 x2k 290 .8分欢迎下载精品学习资源yk x1欢迎下载精品学习资源4 k2 242k212k 2964k 2360欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故 x14k 2x222 k2k 29， x1x2212k1 .9分欢迎下载精品学习资源PMPN欢迎下载精品学习资源 x1 x12x222 x22y1 y22k x11x21欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源k 21x xk 22xx k 24欢迎下载精品学习资源1 21222欢迎下载精品学习资源k 21 2k9k224kk24欢迎下载精品学习资源2k 212k21欢迎下载精品学习资源6k252 k210 .13分欢迎下载精品学习资源故MPN90，即点 P 在以 MN 为直径的圆内，故 | TP |TM |方法 2：结论是： |TP | TM | .欢迎下载精品学习资源当直线 l 斜率不存在时，l : x1， |TP |0| TM |2 .7 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当直线 l 斜率存在时，设直线l ：yk x1) ， Mx1, y1 ，Nx2, y2 ， T xT , yT 欢迎下载精品学习资源x22 y292222欢迎下载精品学习资源yk x，整理得：12k1) x4k x2k90 .8分欢迎下载精品学习资源4 k2 242k212k 2964k 2360欢迎下载精品学习资源故 x14k 2x22k21 ，2k29x1x22k21 .9 分欢迎下载精品学习资源12k 2k欢迎下载精品学习资源xT x12x22k2， yT1k xT122k .10分1欢迎下载精品学习资源222242欢迎下载精品学习资源2222k2k22 k2k4k9k4欢迎下载精品学习资源| TP |xT2yT2222222欢迎下载精品学习资源2k12k12 k12 k1欢迎下载精品学习资源| TM |212122122 .11分欢迎下载精品学习资源| MN |k1x1x2k1 x1x24x1x2欢迎下载精品学习资源244欢迎下载精品学习资源14k22k 29k 2116k 2916k 425k 29欢迎下载精