2022届高考数学一轮复习核心素养测评第九章9.7.2利用空间向量求二面角与空间距离理含解析北师大版.doc

核心素养测评五十一利用空间向量求二面角与空间距离1.如下图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1平面BDA1.(1)求证:CD=C1D.(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值.(3)求点C到平面B1DP的距离.【解析】(1)连接AB1,交BA1于点O,连接OD.因为B1P平面BDA1,B1P平面AB1P,平面AB1P平面BA1D=OD,所以B1POD.又因为O为B1A的中点,所以D为AP的中点.因为C1DAA1,所以C1为A1P的中点.所以DC1=AA1=CC1,所以C1D=CD.(2)建立如下图的空间直角坐标系A1-xyz,那么B1(1,0,0),B(1,0,1),D0,1,所以=(1,0,0),=(1,0,1),=0,1,.设平面BA1D的一个法向量为n=(x1,y1,z1).由得令z1=2,那么x1=-2,y1=-1,所以n=(-2,-1,2).又=(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量,所以cos<n,>=-.由图形可知二面角A-A1D-B为锐角,所以二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为.(3)因为C(0,1,1),D0,1,B1(1,0,0),P(0,2,0),所以=0,0,-,=1,-1,-,=0,1,-.设平面B1DP的一个法向量为m=(x2,y2,z2).由得令z2=2,那么x2=2,y2=1,所以m=(2,1,2).所以点C到平面B1DP的距离d=.2.(2022·咸阳模拟)如图,在多面体ABCDE中,四边形BCDE为平行四边形,平面ABC平面ACD,M为AD的中点,ACBM,AC=BC=1,AD=4,CM=.(1)求证:BC平面ACD.(2)求二面角D-BM-E的余弦值.【解析】 (1)在MAC中,因为AC=1,CM=,AM=2,所以AC2+CM2=AM,所以由勾股定理的逆定理,得MCAC,又ACBM,BMCM=M,所以AC平面BCM,因为BC平面BCM,所以BCAC,因为平面ABC平面ACD,且平面ABC平面ACD=AC,BC平面ABC,所以BC平面ACD.(2)因为BC平面ACD,所以BCCM.又BCAC,MCAC,故以点C为坐标原点,CA,CB,CM所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如下图的空间直角坐标系C-xyz,所以A,B,M,D,E,所以=,=,=.设平面DBM的法向量为m=.由得取z1=1,所以m=.设平面EBM的法向量为n=.由得取z2=1,所以n=,所以cos<m,n>=.因为二面角D-BM-E为锐二面角,故其余弦值为.- 4 -