实变函数教材(共93页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上目 录1数论的内容                 32实变函数论的特点            43学习实变函数论的方法        54本教材的特色处理之处        5第一章    集合论§.  集合概念与运算         6§.  集合的势、可数集与不可数集   13 习  题                           25第二章    点   集§.  R空间              26§.  几类特殊点和集         30§.  有限覆盖定理与隔离性定理    35 §.    开集的构造及其体积        38 习  题                          45 第三章        测度论 §. Lebesgue外测度定义及其性质  46§. 可测集的定义及其性质    48§.  可测集的构造           55 习  题                          59  第四章        可测函数 §.可测函数定义及其性质   59§.  可测函数的结构        63§.  可测函数列的依测度收敛    70习  题                     第五章        Lebesgues积分理论 §.  Lebesgue积分的定义及其基本性质 77§.  Lebesgue积分的极限定理     84§.  (L)积分的计算                 88§.  Fubini定理              93习  题                            98 第六章        积分与微分 §.  单调函数与有界变差函数   101   §.  绝对连续函数           106§.  微分与积分             108习  题                           112 附   录 1不可测集                      1132.一般集合的抽象测度和抽象积分  1153.单调函数的可微性      绪    论1.实变函数论的内容顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，大学的数学分析，常微分方程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说：实函只做一件事，那就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。何以说明现有的积分范围小了呢？因为                      D(x)  这样形式极为简单的函数都不可积， 所以我们认为积分范围狭窄。如何改造积分定义来达到拓广积分范围的目的呢？让我们先剖析一下造成这一缺陷的根本原因在何处，只有先找准病根，然后才能对症下药。由数学分析知：对任意分划T：axxx.x=b， 由于任意一个正长度区间内既有有理数又有无理数，所以恒有：    S(T,D)s(T,D)10=1如果分划不是这样呆板，这样苛刻地要求一定要分成区间的话，还是有可能满足大小和之差任意小的。比如，只要允许将有理数分在一起，将无理数分在一起，那么大小和之差就等于零了。这就是问题的着眼点，首先让分化概念更加广泛，更加灵活，从而可将函数值接近的分在一起以保证大小和之差任意小。即D:EEyf<y，其中mf<M，my<y<.<y=M时，要(D,f)-s(D,f)=y-ymEyf<yy-ymE，只须y-y，这里mEyf<y相当于集合Eyf<y的长度。思路非常简单，但实现起来并非易事，因为Eyf<y可能很不规则，如何求mEyf<y呢？这就是一般集合的测度问题(即第三章内容)， 而测度理论所度量的对象是集合，尤其是多元函数定义域所在空间R的子集。因此，必须先介绍集合与点集知识(即第一章、第二章内容)。测度理论本来是为了推广长度、面积、体积概念到一般g的集合，然而在实施过程中却使我们非常遗憾，我们无法对直线上所有集合规定恰当测度使得满足以下两点最基本要求：一、落实到具体区间的测度就是长度(即测度确为长度概念的推广)；二、总体测度等于部分测度之和( 即可列可加性成立)。只能对部分集合规定满足这两点基本要求的测度， 这一部分集合便是可测集合(即第四章内容)。那么哪些函数才能保证形如Eyf<y的集合可测呢？这就是可测函数理论问题(即第四章内容)，由于Eyf<yEfyEfy，所以我们采用对a,有Efa可测，作为函数可测的定义。有了以上准备之后，才根据前述思路对可测集上定义的可测函数先定义大（小）和(D,f)ymEyf<y（s(D,f)=ymEyf<y）然后规定(D,f)（s(D,f)）为积分值，定义并讨论新积分的性质(即第五、六章内容)。以上所述，既是Lebesgue创立新积分的原始思路，也是传统教材介绍Lebesgue积分定义的普遍方法。鉴于人们在研究可测函数时发现：可测函数的本质特征是正、负部函数的下方图形均为可测集。结合Riemann积分的几何意义，使我们自然想到：与其说测度推广了定义域的长度（面积、体积）概念后使得我们作大、小和更加灵活多样，以达推广积分的目的，不如说由于定义域与实数域的乘积空间的面积（体积）概念的推广,使得大量的象Dinichni函数那样图形极其不规则的下方图形可以求面积（体积）了，从而拓宽了可积范围。于是我们在本教材中采取直接规定其测度之差为积分值（如果差存在的话）的办法，该定义简单、明了、直观。既有效地避免了分划、大（小）和、确界概念的繁琐，又成功地回避了先在测度有限，函数有界条件下讨论积分性质，然后推广到测度无限，函数无界的一般情形的重复、哆嗦。 2.实变函数论的特点由以上叙述可以看出实变函数论内容单纯，学习起来应该简单，然而实际情况却大相径庭，各届同学都叫困难。原因在何处呢？原因在于高度抽象，理论性强。抽象到什么程度呢？仅据两例说明之：一是“似是而非”。例：若许多同学站成一列，且男女生交叉排列，任意两个男生中间有女生，任意两个女生中间有男生，在其中任取一个片段，男女生的个数无非有三种可能：或男女生一样多或男生多一个或女生多一个，也就是说在任一片段中男女生个数至多相差一个。直线上的有理数、无理数表面看来很类似，任意两个有理数中间有无理数，任意两个无理数中间有有理数，在其中任取一节线段，有理数、无理数的个数似乎无非只有三种可能：或有理数、无理数一样多或有理数多一个或无理数多一个，也就是说在任一片段中有理数、无理数个数至多相差一个。但严密的逻辑推理告诉我们：这种说法是错误的，事实上，有理数比无理数少得多。少到什么程度？有理数相对无理数而言是那样的微不足道，有他不多，无他不少。即无理数居然与实数一样多。二是“似非而是”例：有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上稀稀拉拉，如果以前有人说自然数与有理数一样多的话，没人敢承认，而实变函数论通过严密论证该结论无可非议。理论性强是由于实变函数论的内容结构所决定的，因它只做一件事：恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。这就使得实变函数论的绝大部分篇幅都是在作理论上的准备，很少有应用、例题的原因。 3.学习实变函数论的方法 针对实变函数论的特点，学习它应有本门课程独特的方法。由于实变函数论高度抽象，对于每一个尚未证明的结论都应持谨慎态度，不能简单类比后就盲目承认和否定，必须严格论证或举出反例，否则就有可能出现例、例类似的错误；对于每一个已经证明的结论不仅仅是记住，更重要的是理解其证明，想象其合理的直观意义。只有理解其证明才能借鉴其方法，同时也只有想象其合理的直观意义，才能有开阔的思路，即严密与直观二者不可偏废。 本教材几点特色处理在过去“区间体积”概念和“开集构造”理论基础上，引入了开集体积概念，为简化测度定义奠定了基础。用mE=inf |G|开且GE取代mE=inf E不仅使测度概念形式上得到简化、直观化，更重要的是使得诸如m=等一系列命题的证明过程得到大大简化。将大部分教材留到讲ubini定理时才讲的乘积空间的测度，提前到紧接着测度的概念和性质讲，以保证在讲可测函数时能证明可测函数的下方图形可测，从而最终保证直接用非负可测函数下方图形的测度规定其积分值。直接用正、负部函数下方图形的测度之差规定积分值，不仅使得积分概念简单、直观、明了，让学生易于接受。同时也使得诸如并集积分等于各集积分求和、Levi定理等一系列命题的证明过程得到大大简化。在本教材中不依赖iemann积分定义，直接从Lebesgue积分定义出发证明计算积分的重要工具牛顿莱布尼兹公式，为将来实现Lebesgue积分取代iemann积分的大趋势作必要的准备。同时也面对现在学生确实学了iemann积分的事实，研究了iemann积分和广义iemann积分与Lebesgue积分关系。将“不含端点的区间为开区间，包含所有端点的区间为闭区间”一般化为“不含边界点的集合为开集，包含所有边界点的集合为闭集”，从而使概念直观化，学生易于理解其实质，开集与闭集的对偶性等定理证明被简化、思路直观化。既注重知识的传授，又注重数学创新思维方法的挖掘和点拨。在此举仅部分例子说明之。如在引入依测度收敛时，先讲“改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围，二是为了使得操作更方便。对(R)积分而言，积分与极限交换顺序需要一个苛刻的条件：f(x)在E上一致收敛于f(x)。从集合论的角度讲：f(x)在E上一致收敛于f(x)是指 0，N0，当nN时，E|f(x)f(x)|，之所以我们认为一致收敛条件苛刻，就在于它要求E|f(x)f(x)|从某项以后永远为空集。能否改成允许不空，甚至允许为正测度集，但必须满足mE|f(x)f(x)|0(n)呢？ 这就导致了依测度收敛这个新概念的产生”。展示了数学创新过程中一些重要的新概念引入之思维方法。又如在引入叶果落夫定理时，通过实例f(x)=x0于，却不一致收敛出发究其原因是自变量越靠近0越收敛速度慢，只有更慢没有最慢，从而不可能一致收敛。但不难看出，只要挖去一个以1为右端点的小区间（1-，1）后就有收敛最慢点x=1-了，从而可以保证一致收敛了。著名的俄国数学家叶果落夫（）发现任何可测函数都有类似结果，这就是著名的叶果落夫定理。展示了数学中一些重要结果的发现来源于常见简单离子的启发，即将特例抽象化、一般化后就会得出重要的带普遍性的结果。再如对Lebesgue积分定义，先在绪论中指出Riemann积分的弊病，分析了产生弊病的原因，提出了解决此弊病的方法，即对Lebesgue改造积分定义的思路概括性作了介绍，当我们在第五章通过几何意义直接定义Lebesgue积分时，唯恐掩盖Lebesgue原始创新思路，及时指出“mG便是f在分划T:EE下的小和s(f,T)，即fdmGs(f,T)。这与定义(R)积分的分割、求和、取极限三大步骤基本相似；区别仅在于(R)积分直接将定义域分成区间，(L)积分可能是通过将值域分成区间后反过来将定义域分成有限个不一定是区间的集合。”不仅是达前后呼应的目的，更重要的是展示了数学新体系形成过程中的“提出问题、分析问题、克服障碍解决问题、最后完善方法、简化思路”数学创新过程。本章先介绍R中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集，并讨论了开集与闭集的性质及其构造。最后介绍了聚点原理、有限覆盖定理、距离可达定理、隔离性定理。§.  R空间数学分析中的极限概念是以距离为基础的，由此可见，距离是一相当重要的概念，在高等代数中已对R规定过距离，且有以下三种：设x(,.,)，y(,.,)R    d(x,y)(-)     d(x,y)|-|          d(x,y) |-| 距离的定义方法可以是多种多样的，甚至对抽象的集合也可以规定距离，但必须满足常识性的两点基本要求：距离不能为负，两边之和不小于第三边。用公理化形式表述如下： 定义.   设X是一非空集合，且存在d：X×X0,)满足      1) d(x,y)0，且d(x,y)0 <> x=y  (正定性)      2) d(x,y)d(x,z)d(y,z)   (三角不等式)则称(X,d)为度量空间或距离空间，X中的元素称为点，d(x,y)为点x,y之间的距离。 注. “往返距离相等”的基本要求，也隐含在上述定义之中了。事实上，d(x,y)d(x,x)d(y,x)d(y,x)，同理d(y,x)d(x,y),故d(x,y)d(y,x)上述R按所规定的三种距离都分别成为距离空间（高代已验证过满足1），2）。 例.  (,.,.)| +按d(x,y)(-)  成为距离空间其中x(,.,.)，y(,.,.)满足1)显然，对2)只须验证对任意的x(,.,.)，y(,.,.)，z(,.,.)有 (-)    (-)  (-) 事实上，由R中的三角不等式:  (-)    (-)  (-)   令n即得所证不等式。例.  Ca,b按d(x,y)|x(t)-y(t)|成为距离空间。容易验证它满足距离条件1)、2)。有了距离概念就可以仿照数学分析定义数列极限那样定义点列极限了。定义.  设PR (m1,2,3,.)，如果 d(P,P)0，则称点列P收敛于P，记为 PP,或 PP (m)，即对任意0，存在N，当mN时有：d(P,P).在距离空间(R,d)中PP (m)<>xx(m)，k=1,2,.,n，其中P(x,x,.,x)，P(x,x,.,x).同样可以利用邻域来描述极限，为此，先引入邻域概念。.定义.  称集合P|d(P,P)为P的邻域，并记为U(P,)。P称为邻域的中心，称为邻域的半径。在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为P的邻域，并记为U(P)。    在R (n1,2,3)中，v距离按d定义时，所谓以P为中心，为半径的邻域分别是P为中点、 2为长度的开区间；P为圆心、为半径的开圆；P为球心，为半径的开球。但距离按d定义时，所谓以P为中心，为半径的邻域分别是P为中点、 2为长度的开区间，P为正方形中心、2为边长的开正方形，P为正方体中心，2为边长的开正方体。    不难看出：点列P收敛于P的充分必要条件是对任意0，存在N，当mN时有：PU(P)。容易验证邻域具有下面的基本性质：    1)  pU(P)；2)       对于U(P)和U(P)， 如果存在PU(P)U (P)则存在U(P) U(P)U (P)；    3)  对于QU(P)，存在U(Q)U(P)；    4)  对于QP，存在U(Q)和U(P)满足U(Q)U(P)    定义.   两个非空的点集A、B间的距离定义为            d(A,B)d(P,Q)                                  如果A、B中至少有一个是空集，则规定d(A,B)0；若Bx，则记d(A,B)d(A,x)。    显然，若AB，则d(A,B)0。定义.   一个非空的点集E的直径定义为：(E)d(P,Q)当E时，规定()0。显然，(E)0<>E至多只有一个元素。    若(E)，则称E为有界集。    定义. 称(x,x,.,x)xA,i=1,2,.,n为集合A的直积，记为A×A×.×A或A。         定义.   若II，其中I<a,b>为直线上的区间，则称 I为n维欧氏空间R中的区间；如果所有I都是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间，则称I是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间。如果所有的I  都是直线上的有界区间，则称I是R中的有界区间；如果至少有一个I是直线上的无界区间，则称I是R中的无界区间。    注.   R中的有界区间即矩形，R中的区间即长方体，因此R中的区间有时也称为“长方体”。    显然，E为有界集的充要条件是存在有界区间IE或E为有界集的充要条件是存在有界邻域 EU(x,)定义.   II，其中I<a,b>，称|I|(ba)为区间I的“体积”，即|I|I|。当然，这里须约定0××00，当a0时，a××a。    注.  R中的区间体积即区间的长度，R中的区间体积即矩形面积长×宽，R中的区间体积即长方体体积长×宽×高，因此规定R中的区间体积n个边长的乘积，既是合理的又是自然的。 §.  几类特殊点和集  本节试图抓住直线上的开区间、闭区间及其点的基本性质，予以一般化。对 ER，我们可以通过看是否有x的完整邻域含于E中将R中点x分为三类：         定义.  我们称a类点为E的内点，记其全体为E；b类点为E的边界点，记其全体为E；c类点为E的外点。       显然外点全体为(CE)，REE(CE)                                     （图.）如图.所示：M是E的内点，M、M、M、M是E的边界点，M是E的外点。注.：E 的边界点既有可能属于E(如M、M、M)，又有可能不属于E(如M)。                               注.：E 的边界与CE的边界相同，即E(CE)      注.：不受“a,b的边界只有a,b两点  ”这个具体结论的直观约束而得出错误的一般结论：“E的边界E相对集合E而言只是很少一部分”。事实上，直线上的有理数全体的边界是整个实数集。    对 E R，我们也可以通过看x的邻域含E中点的多少将R中点x分为三类：             定义.  我们称e类点为E的聚点(或极限点)，记其全体为E'，并称为E的导集；f类点为E的孤立点，显然其全体为E-E'。即RE'(E- E')(CE)在图.中，M、M、M、M是E的极限点，M是E的孤立点。按第一种分类法的内点，是第二种分类法的聚点，按第一种分类法的边界点，按第二种分类法既有可能是聚点如M、M、M，又有可能是孤立点如M。同样按第二种分类法的孤立点，是第一种分类法的边界点，按第二种分类法的聚点，按第一种分类法既有可能是内点M，又有可能是边界点M、M、M。对外点而言，两类分类方法所指的概念是完全一致的。“极限点”中的“极限”二字体现在何处，“聚点”中的“聚”字体现在哪里呢？下述两个定理将对此作出解释。    定理.：  xE'<>互异点列xE，xx，且xx(n)证明   “>”因为xE'，所以对min,d(x,x)，存在xU(x,）Ex，显然xE互异，xx，且xx(n)。    “<”若xE，且xx，但xx(n)，则对任意>0，存在N，当nN时，xU(x,)Ex，故xE'。                                           证毕   即之所以称x为E的“极限点”的原因是：x可以表成E中一串异于x的点列x的极限。   定理.： xE'<> 0，U(x,)E为无限集。   证明  “<”显然。   “>”因为xE'，所以xE，且xx，但xx(n)，则对任意0，存在N，当nN时，xU(x,)Ex，故U(x,)E为无限集。                                            证毕 即之所以称x为E的“聚点”的原因是：在x 的任意一个小邻域内都“聚集”着E的无限多个点。    定义. 若对 0，U(x,)E，则称x为E的接触点。接触点全体记为，并称为E的闭包。    显然，EEE'xx为E的孤立点E'E            E'EEEc(cE)    在数学分析中要看一个区间是开或闭，只须看它是否将作为边界的两个端点包含在内，对于R中一般的集合是开或闭也以是否包含边界集作为判断依据，于是我们给出如下定义。    定义. 若EE，则称E为开集；若EE，则称E为闭集。    例.：直线上的开区间，平面上的开圆盘皆为开集，直线上的闭区间，平面上的闭圆盘皆为闭集。(a,b既不是开集，又不是闭集。全直线既是开集又是闭集。    定理.  1) E为开集<>EE                  2) E为闭集<>E'E    证明  1)“>”因为E开，所以EE，故EE    “<”因为EE，所以EE，故E为开集。    2) “>”因为E为闭集，所以E E，而E'EEE,从而E'E ;    “<”若E'E，则E E'xx为E的孤立点E，故E是闭集。    定理.  对 ER，E为开集。    证明  对 xE，0，U(x,)E，对yU(x,)，d(x,y)0，对 zU(y,)，d(x,z)d(x,y)d(y,z)，即Z U(x,) E，即yE，从而U(x,) E，即E (E)，故E是开集。    定理.：(开集与闭集的对偶性) 1)若E为开集，则CE为闭集；2)若E 为闭集，则CE为开集。    证明 1) 因为E是开集，所以EE，则ECE CE，故CE是闭集。    2) 因为E是闭集，所以E E，而ECE，CECE，故CE是开集。                                       证毕    定理.   1)R、是开集          2)任意有限个开集之交是开集          3)任意多个开集之并是开集    证明：1)、3)显然          2)设E为开集(i=1,2,3,.,n)，对任意xE，则x为每一个E的内点，即存在满足U(x,)E，令 ，则U(x,) E，即x为E的内点，故E为开集。若E，则E也是开集。                                            证毕    注.：不仅R中开集具有以上三性质，一般距离空间也有此性质，在拓扑空间中以上三性质则是描述开集概念的三公理。    定理.：  1) R、是闭集             2) 任意有限个闭集之并是闭集           3) 任意多个闭集之交是闭集      证明： 1) 显然           2)要证E是闭集，只须证CE是开集，而cEcE因为E是闭集，所以由定理.知cE是开集，cE是开集，故E是闭集。    3)同理可证。                                                    证毕    因为E、(CE)开，所以ECE(CE)闭集。    定理.： 对任意集合E，是闭集。    证明：由C(CE)即得。定理.：E为闭集<>E 证明  “<”由定理.即得。    “>”因为E是闭集，所以EE，即EEE .                                             证毕    定义.  若EE'，则称E为自密集；若E'E则称E为完备集。    显然，自密集即是没有孤立点的集合，完备集即是没有孤立点的闭集。    定理.  对 ER，E'为闭集。    证明  只须证GC(E')是开集，事实上：对 xC(E')G，即xE',则0满足 U(x,)E'x，对 yU(x,)(yx)，min-d(x,y)，d(x,y)0，U(y,)U(x,)满足U(y,)E'y，即yE'，所以yCE'G，即U(x,) G，故G是开集，从而E'为闭集。                                                          证毕   §.  有限覆盖定理与隔离性定理 是否每一个集合都有极限点呢？ 定理.   (Weierstrass聚点原理) 设E为R中有界无限集，则E'。 证明  取互异点列M(x，x,.,x)E，由于E有界，所以Mk=1,2,.有界，从而xk=1,2,.,.是有界集， 由数学分析中已证明的直线上的聚点原理知：x及x的子列xx。这时M满足第一个坐标收敛，对于第二个坐标x可能不收敛，但有界，由直线上的聚点原理知：x及x的子列xx，则M满足第一、第二坐标收敛。此过程继续作下去，第n次找到的子列M便满足所有坐标都收敛，即M M。其中M(x,x,.,x)，即M为E中的聚点。                                                 证毕    推论.   有界点列必有收敛子列。    作为聚点原理的应用，可以证明著名的Borel有限覆盖定理和距离可达定理。    定理.  (Borel有限覆盖定理) 设开集族U|I是一有界闭集F的覆盖，即 FU则在此开集族中存在有限个开集U|i=1,2,.,n同样覆盖F，即 F  U          引理.  (Lindloff可列覆盖定理)：设开集族UI(这里I至少为可数集)是R中一有界闭集F的覆盖，即FU，则存在其中的可数个开集同样覆盖F，即F U    证明  对任意xF，存在Ux满足xUx，而对Ux存在有理坐标点p， 及半径r满足xU(p，r) Ux(事实上，>0，U（x，） Ux,取有理坐标点pU（x，），< r<即可)，由定理.知：U(p，r)|p，rQ,xF全体为至多可数集。从而可以简记为U，由U(p，r) 的选取方法可知：存在相应的U满足U U,于是    F UU    定理.的证明：即在已知                           F U        的条件下证存在n满足                 FU        若不然，则对任意n，存在x满足xF-U，由聚点原理知存在x及x满足xx (n)，又因为F是闭集所以xF，从而存在U满足xU， 于是存在M，当nM时有xU；另一方面，对任意ni，xU, 矛盾。    定理.   (距离可达定理)设A、B为互不相交的非空闭集，且至少有一个有界，则存在xA，yB使得d(x,y)d(A,B)0。     证明  由集合距离的定义知：存在xA，yB使得d(A,B)d(x,y)d(A,B)，不妨假定A有界由聚点原理知存在x及x满足xxA，因为d(x,y)d(x,x)d(x,y)d(x,x)d(A,B)， 所以这时y有界，又由聚点原理知存在y及y满足yy， 于是存在xA，yB使得d(x,y)d(A,B)，d(x,y)d(A,B)。              推论.  设A为非空闭集，则对 xR，xA满足d(x,A)d(x,x).    证明  若xA，取xxA即可。若xA，令B=x有界闭，由定理 .即得。    定义.  设A、BR，若存在开集U，U满足UU，且AU，BU，则称A、B是可隔离的。 定理.  (隔离性定理) A、B是可隔离的<>B, A.   证明  “>”反证：若不然，不妨假定xB，由于A、B 是可隔离的，所以存在开集U，U满足UU，且AU，B U，由xB得xU，而x，则存在点列xAU满足xx，因为U开，所以N 当nN时 xU与UU相矛盾，故B,同理A。“<”因为A，B，所以由推论.知：对 xA有d(x, )0，yB 有d(,y)0，于是令rd(x, )，rd( ,y)，UU(x,)，UU(y,)即可。显然U，U是开集，且AU，BU剩下的只须证：UU。若不然，zUU，则xA，yB d(z,x)，d(z,y)，不妨设r。maxr。,r。，则r。d(x,)d(x,y)d(x,z)d(z,y)r。，矛盾。     推论.  若A、B均为闭集，且AB，则开集U，U满足UU，且AU，BU。    推论.  若d(A,B)0，则开集U，U满足UU，且AU，BU。 §.    开集的构造及其体积开区间是开集，开集不一定是开区间，但开集与开区间有着密切联系。定义.   设G为直线上的开集，如果(a,b) G，且a,bG，则称(a, b)为G的构成区间。这里a，b可以为±。定理.   设G为直线上的非空开集，则G 可表为至多可数个互不相交的构成区间的并。反过来，若非空开集G已表为至多可数个互不相交的开区间的并， 则这些区间为G的构成区间。证明  1 G 的任意两个构成区间要么互不相交，要么完全重合。事实上，若(a,b)与(a,b)为G的两个不同的构成区间，不妨设aa，则必然有ba，否则，aab，即a(a,b)G，另一方面，(a,b)是构成区间，则aG,矛盾。    2 对任意xG，由开集的定义知：存在(,)满足x(,) G， 并将尽可能往左移，移到第一次出现G为止，将尽可能往右移，移到第一次出现G为止(即令infx(,) G supx(,) G)便得到构成区间(, )。    事实上，对任意y满足yx，存在满足yx，且(,) G，故yG，同理对任意满足xy有yG，即(,)G。还可证，G，若不然，不妨假定G，则存在0，(-，+) G，于是(-，) G，这与的定义相矛盾，故G，同理G。    3  G (,) 由1知：构成区间至多可数，从而             G (,)（I至多可数）    4                     G  (,)（I至多可数）， 且(,)互不相交，则,G若不然，则存在G，那么必存(,)满足(,)， 这与已知它们互不相交矛盾。    定理.  直线上闭集或是全直线或是从直线上挖去至多可数个互不相交的开区间后剩下的集。    我们将所挖去的开区间称为该闭集的余区间。    由于直线上闭集的孤立点，就是二余区间的公共端点。于是有：    定理.  直线上的完备集或是全直线或是从直线上挖去至多可数个互不相交的、且无公共端点的开区间后剩下的集。例.   Cantor  G，P集是按下述方法作出的集合。    第一步：将0,1三等分，挖去中间一个开区间，剩下两个闭区间；    第二步：将第一步所剩两个区间各自三等分，并分别挖去各自的中间一个开区间，剩下4个闭区间；    .              .          .           .    第n步： 将第n1步所剩2区间各自三等分，并分别挖去各自的中间一个开区间，剩下2个闭区间；    .              .          .    各步挖区的所有区间之并记为G，最后剩下的集合记为P.    显然，G是开集，P是闭集。一方面，由于G中各区间相互无共同端点，且与(-,0)，(1,+)也无共同端点，即P无任何孤立点，故P是完备集。由于第n 次所剩区间长度为0，故P不可能含有任何内点。    关于P不含有内点，在直觉上容易接受。但P无孤立点，却难于被初学者理解.不少人的直觉是：“随着挖的次数增多，剩下的集合越来越零散，最后将只剩一些孤零零的区间端点”。为此，我们从集合势的角度展示：P集是C势集， 远远不止仅有G中可数个构成区间的端点。    定理.   P是C势集。    证明   (1)P集是三进制0,1中那些可以不用数字1表示的数全体( 事实上，第一次挖去的区间正是第一位小数必须出现数字1的小数全体，第二次挖去的区间正是第二位小数必须出现数字1的小数全体，第n次挖去的区间正是第n 位小数必须出现数字1的小数全体，这里0.1因可通过表成数字2的无限循环小数0.2222.即可回避用数字1，而被保留下来，其他数同理)。也就是说：P集中的数用三进制表示时具有如下形式：x0.aa.a.其中a要么为0，要么为2。    (2) 令f:x0.aa.a.y0.bb.b.其中          b， 则f是三进制表示的P集与二进制表示的0,1之间的一一对应，即P集势为C。                                          证毕    对于二维及其多维空间的情形，有下述一般性的结论：    定理.  设非空开集