全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析(共17页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析（2015年-2019年共14套）三角函数（共20小题）一、三角恒等变换（6题）1.（2015年1卷2） =（ ）（A） （B） （C） （D）【解析】原式= =，故选D.2.（2018年3卷4）若，则A. B. C. D. 【解析】,故答案为B.3.（2016年3卷7）若 ，则（ ）(A) (B) (C) 1 (D) 【解析】由，得或，所以，故选A4.（2016年2卷9）若，则=（ ）（A）（B）（C）（D）【解析】，故选D5.（2018年2卷15）已知，则_【解析】：因为，所以，因此6.（2019年2卷10）已知a（0，），2sin2=cos2+1，则sin=（ ）A. B. C. D. 解析】，又，又，故选B【点评】这类题主要考查三角函数中二倍角公式（几乎必考）、两角和与差公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式等三角函数公式，难度以容易、中等为主。常见题型有：1.三角恒等变换已知正切值求正弦、余弦齐次式值问题解题思路及步骤注意事项化为同角齐次式把式子每一项化为关于正弦、余弦的齐次式除以余弦化切分子、分母同除以余弦最高次幂，将式子化为正切，若不是分式，可以通过除1=化为分式齐次式代入求值将正切值代入化简求值2.三角恒等变换给值求值问题解题思路及步骤注意事项化简应用诱导公式等把条件或结论尽量化简确定关系通过已知角（或其两倍）和未知角（或其两倍）之间的和、差运算消掉变量，看是否得到的整数倍，若是则可以相互转化用已知表示未知根据未知角与已知角关系，用已知角（看成一个整体，不能分开）表示未知角求值通过诱导公式、二倍角公式将未知角三角函数值转化为已知角三角函数值二、三角函数性质（11题）1.（2017年3卷6）设函数，则下列结论错误的是（）A的一个周期为 B的图像关于直线对称C的一个零点为D在单调递减【解析】函数的图象可由向左平移个单位得到，如图可知，在上先递减后递增，D选项错误，故选D.2.（2017年2卷14）函数（）的最大值是 【解析】 ，那么，当时，函数取得最大值1.3（2015年1卷8）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）（A）（B）（C） （D） 【解析】由五点作图知，解得，所以，令，解得，故单调减区间为（，），故选D. 考点：三角函数图像与性质4.（2018年3卷15）15. 函数在的零点个数为_【解析】，由题可知，或解得,或，故有3个零点。5.（2019年2卷9）下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A. f(x)=cos 2xB. f(x)=sin 2xC. f(x)=cosxD. f(x)= sinx【解析】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A6.（2018年2卷10）若在是减函数，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【解析】因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOP=x将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（ ）的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B8.（2019年1卷11）关于函数有下述四个结论：f(x)是偶函数；f(x)在区间（,）单调递增；f(x)在有4个零点；f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【解析】为偶函数，故正确当时，它在区间单调递减，故错误当时，它有两个零点：；当时，它有一个零点：，故在有个零点：，故错误当时，；当时，又为偶函数，的最大值为，故正确综上所述， 正确，故选C方法2：画出函数的图象，由图象可得正确，故选C9.（2019年3卷12）设函数=sin（）(0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：在（）有且仅有3个极大值点；在（）有且仅有2个极小值点；在（）单调递增；的取值范围是)，其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【解析】当时，f（x）在有且仅有5个零点，故正确，由，知时，令时取得极大值，正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，不正确；因此由选项可知只需判断是否正确即可得到答案，当时，若f（x）在单调递增，则 ，即 ，故正确故选：D10.（2018年1卷16）已知函数，则的最小值是_【解析】，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.11.（2016年1卷12）已知函数 为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为（A）11        （B）9     （C）7        （D）5【点评】这类题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，主要用到的公式是辅助角公式、二倍角公式等，难度以中等、较难为主。若能抓住“五点作图法”这一法宝，这类题迎刃而解。常见题型有：1.图像法求三角函数性质解题思路及步骤注意事项化为若表达式不同角或二次式，一般需用二倍角公式化为同角或降次化为用辅助角公式将第一步所得式子化为形式画图像用“五点作图法”根据需要作出函数图象，步骤是：（1）求周期；（2）求周期起始点横坐标；（3）写出相邻点横坐标，往右为，往左为，以此类推，画出能解决问题的图象部分.注意：若，则根据与图象关于x轴对称关系画出其图象；若，则根据诱导公式转化为大于零情况解决写性质根据图象写出函数对称轴、对称中心、单调区间、最值等性质2.复合函数法求三角函数性质解题思路及步骤注意事项化为若表达式不同角或二次式，一般需用二倍角公式化为同角或降次化为用辅助角公式将第一步所得式子化为形式写出外函数满足条件把原函数看成由内函数和外函数构成的复合函数，对称轴由求得，对称中心横坐标由求得、单调增区间由求得，单调减区间由求得等等.注意：若不满足条件，则根据复合函数“同增异减”原则确定单调区间转换为内函数满足条件将以上方程或不等式中的u用代换，并解出x的值或范围写性质根据解出x的值或范围写出函数对称轴、对称中心、单调区间、最值等性质3.求三角函数解析式解题思路及步骤注意事项求A和B，求先求周期T再由求求求代入已知点坐标，根据的具体范围求出，一般代入最值点，若代入与的交点，注意区分是增区间还是减区间求解析式写出解析式三、三角函数图像变换（3题）1.（2016年3卷14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_个单位长度得到2.（2016年2卷7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A） （B）（C） （D）【解析】平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：，故选B3.（2017年1卷9）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解析】：熟悉两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一致。先变周期：先变相位：选D。【点评】这类题主要考查三角函数图像变换，渗透着一般到特殊的演绎推理，主要用到的公式是诱导公式、辅助角公式，难度以中等为主。这类问题难点是先平移后伸缩与先伸缩后平移这两种变换循序平移量是不同的，这应该与函数变换法则统一起来，基本解题思路为：解题思路及步骤注意事项写出变换法则把变换前的函数看成抽象函数，根据变换法则写出变换后的抽象函数代入表达式根据原函数解析式写出变换后的解析式，例如：=向右平移个单位后得函数=，其他变换都按这个方法确定变换后解析式另外，也可以抓住图像的某一个特殊点的变化来解题。解三角形（12题，4小题8大题）一、解三角形（知一求一、知三可解）（6题）1.（2016年2卷13）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 【解析】，由正弦定理得：解得2.（2019年2卷15）ABC的内角的对边分别为.若，则ABC的面积为_.【解析】由余弦定理得，所以，即，解得（舍去），所以，3. （2017年2卷17）的内角的对边分别为，已知(1)求;(2)若，的面积为2，求 解析 （1）依题得因为，所以，所以，得（舍去）或.（2）由可知，因为，所以，即，得.因为，所以，即，从而，即，解得4.（2016年1卷17）的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 （I）求C；（II）若的面积为,求的周长【解析】(1)2cosC(acosB+bcosA)=c,由正弦定理得:2cosC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sinC,2cosC·sin(A+B)=sinC.因为A+B+C=,A,B,C(0,),所以sin(A+B)=sinC>0,所以2cosC=1,cosC=.因为C(0,),所以C=.(2)由余弦定理得:c2=a2+b2-2ab·cosC,7=a2+b2-2ab·,(a+b)2-3ab=7,S=ab·sinC=ab=,所以ab=6,所以(a+b)2-18=7,a+b=5,所以ABC的周长为a+b+c=5+.5. （2017年1卷17）的内角，的对边分别为，已知的面积为.（1）求的值；（2）若，求的周长.【解析】（1）因为的面积且，所以，即.由正弦定理得，由，得.（2）由（1）得，又，因为，所以.又因为，所以，.由余弦定理得 由正弦定理得，所以 由，得，所以，即周长为.6.（2019年1卷17）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（1）求A；（2）若，求sinC【解析】（1）即：，由正弦定理可得：， （2），由正弦定理得：又，整理可得： 解得：或，因所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即 ，由，所以.【点评】三角形三条边和三个角共六个元素中，如果知道其中三个条件，且三个条件中至少有一条边（已知某个角的三角函数值等价于已知该角），则三角形可解，这是我们解三角形最基本思路高考一般不直接给出三个边角条件，往往是把其中一个独立条件以边角混合的形式给出，需要学生经过边角互化化简为直接的边角条件，体现了方程思想“知三”可以进一步推广位已知三个独立条件。1.解三角形知一求一问题解题思路及步骤注意事项边角互化通过正弦定理、余弦定理、三角形内角和、诱导公式等将题目中复杂条件统一为边或统一为角，达到消元目的化简方程化边注意余弦定理应用或因式分解化简方程，化角注意两角和与差公式的应用，在约去同角三角函数值时要明确它是否为零解方程求边注意整体代入，求角要先写出角的范围再根据三角函数值写出角的值2.解三角形知三求可解问题解题思路及步骤注意事项画出草图根据条件尽量画出符合条件的图形，并标注已知条件，观察已知三个条件属于什么类型列方程组根据题目条件列方程，一般地，已知三边、已知两边及夹角用余弦定理；已知两角（等价于已知三个内角）及一边用正弦定理；已知两边及一边的对角用正弦定理和余弦定理都可以，这种情况要注意判断是一个解还是两个解.若涉及多个三角形，则抓住两个三角形公共边、公共角、互补角、互余角、角平分线性质等列方程解方程边的方程注意整体代入进行消元，求角要先写出角的范围再根据三角函数值写出角的值二、解三角形（知二求范围、最值）（2题）1. （2015年1卷16）在平面四边形ABCD中,A=B=C=75°,BC=2,则AB的取值范围.【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在BCE中，B=C=75°，E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在BCF中，B=BFC=75°，FCB=30°，由正弦定理知，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.考点：正余弦定理；数形结合思想2.（2019年3卷18）的内角，所对边分别为，.已知,(1)求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。【解析】（1）由题设及正弦定理得因为sinA0，所以由，可得，故因为，故，因此B=60°（2）由题设及（1）知ABC的面积由正弦定理得由于ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故，从而因此，ABC面积的取值范围是【点评】这类问题主要两种思路，方法一是化边，然后利用基本不等式或重要不等式把a+b与ab统一，体现了化归思想方法二是化角，用二倍角、两角和与差、辅助角公式等转化为函数的最值问题，在解决范围问题有优势，体现了函数思想解题思路及步骤注意事项画出草图根据条件尽量画出符合条件的图形，并标注已知条件最值化边或化角通过正弦定理最值式子化边或化角表示，若能化成一边表示，则用函数求最值，若化为两边表示则用基本不等式或重要不等式求最值；若化角表示，先用内角和化为同一个角，再用辅助角公式转化为函数y=Asin(x+)的最值问题求最值化边用基本不等式求最值时要写出取得等号的条件，化角用三角函数求最值时要先求出角x+的取值范围三、分割两个三角形的解三角形问题（4题）1.（2016年3卷8）在中，边上的高等于,则（ ）（A） （B） （C） （D）【解析】设边上的高线为，则，所以，由余弦定理，知，故选C考点：余弦定理2.（2017年3卷17）的内角的对边分别为 ，已知，（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积【解析】（1）由，得，即，又，所以，得.由余弦定理得.又因为代入并整理得，解得.（2）因为，由余弦定理得.因为，即为直角三角形，则，得.从而点为的中点，.3.（2015年2卷17）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD是ADC面积的2倍。()求 () 若，求BD和AC的长【解析】(1)SABD=AB·ADsinBAD,SADC=AC·ADsinCAD,因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得=.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=.在ABD和ADC中,由余弦定理知,AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosADC,故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.4.（2018年1卷17）在平面四边形中，.（1）求； （2）若，求.【解析】（1）在中，由正弦定理得.由题设知，所以.由题设知，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.【点评】这类问题一般有两个或三个三角形，条件多，关系多，学生往往无从下手切入点是优先从可解三角形入手，若条件都不足，则抓住公共边、互补（或互余）角，通过列方程组解决，体现了方程思想专心-专注-专业