椭圆总结.docx

精品名师归纳总结椭圆一学问清单1. 椭圆的两种定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面内与两定点F1,F2 的距离的和等于定长2a 2aF1F2的动点 P 的轨迹,即点集M=P|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|PF 1|+|PF 2|=2a , 2a |F 1F2| 。（ 2aF1 F2时为线段F1F2 , 2aF1F2无轨迹）。其中两定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 F1, F2 叫焦点,定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和肯定直线的距离的比是小于1 的正常数的点的轨迹,即点集M=P|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PFe,0 e 1 的常数。（ ed1为抛物线。 e1为双曲线）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（利用其次定义 , 可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化,定点为焦点, 定直线为准线） .x2y 22 标准方程： （ 1）焦点在 x 轴上,中心在原点：1 （a b 0）。a2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点 F1（ c, 0）, F 2（ c,0）。其中 ca 2b 2（一个 Rt 三角形）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 2）焦点在 y 轴上,中心在原点：ya 2x1（ ab 0）。2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22焦点 F1（ 0, c）, F2（ 0, c）。其中 cab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意： 在两种标准方程中,总有a b 0, ca 2b 2并且椭圆的焦点总在长轴上。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22两种标准方程可用一般形式表示：Ax +By =1 （A 0,B 0,A B）,当 A B 时,椭圆的焦点在 x 轴上, A B 时焦点在 y 轴上。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3 参数方程： 焦点在 x 轴,yacos bsin（ 为参数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24 一般方程：Ax 2By 21 A0, B0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2225. 性质： 对于焦点在 x 轴上,中心在原点：xa坐标系下的性质： 范畴： |x|a, |y| b。y1（ a b 0）有以下性质： b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 对称性： 对称轴方程为x=0 , y=0,对称中心为 O（0, 0）。 顶点： A1（ -a , 0）, A2（ a, 0）, B1（ 0, -b ）,B2（ 0, b）,长轴 |A 1A2|=2a ,短轴 |B 1B2|=2b 。（ a 半长轴长, b 半短轴长） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 椭圆的准线方程： 对于 xa 22y1 ,左准线b 2l 1 : xa 2。右准线ca2l 2 : xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y 2x 2对于a 2b 21 ,下准线l1 : ya 2。上准线ca 2l 2 : yc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点到准线的距离pa 2a 2c 2cccb 2（焦参数）c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 焦半径公式： P（ x0,y 0）为椭圆上任一点。 |PF 1|=r左 =a+ex0,|PF 2|=r右 =a-ex 0。|PF 1|=r下 =a+ey0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|PF 2|=r上 =a-ey 0PF maxac, PFmina c ,左加右减,上减下加可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 通径： 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径,通径最短2b2=a平面几何性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 离心率：cc2e=212b （焦距与长轴长之比）0,1。 e 越大越扁, e0 是圆。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 焦准距 pb 2。准线间距c2 a 2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 两个最大角F1PF2maxF1B 2F2 ,A1PA2maxA1B2 A2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y 2x 2焦点在 y 轴上,中心在原点：1 （ a b 0）的性质可类似的给出。a 2b 26. 焦点三角形 应留意以下关系：1定义： r 1r 22a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r1(2) 余弦定理：2 r 222 2r 1r 2cos 2 c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 面积： SPF1F 2 1 r 1r 2 sin21 ·2c|y0 |= c |y0 |= b 22tan2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 其中 P x0, y0 为椭圆上一点, |PF 1| r 1,|PF 2| r 2,F1PF2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22227. 共焦点的椭圆系设法：把椭圆 xy1（a b 0）的共焦点椭圆设为xy1b2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b 2a 2b28. 特殊留意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关, 而焦点坐标 , 准线方程 , 顶点坐标, 与坐标系有关 . 因此确定椭圆方程需要三个条件: 两个定形条件a,b, 一个定位条件焦点坐标或准线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 弦长公式： AB方程的系数1k 2x1x211k 2y1y21k2ax1x2cx1 x2aba （ a,b,c为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点 1椭圆定义及标准方程题型 1: 椭圆定义的运用 例 1 湖北部分重点中学2022 届高三联考 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点动身的光可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为 2c,静放在点 A 的小球（小球的半径不计） ,从点 A 沿直线动身,经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时,小球经过的路程是yA 4aB 2a cC 2a+cD以上答案均有可能P 解析 按小球的运行路径分三种情形:CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) ACA, 此时小球经过的路程为2a c;AOBx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) AB(3) APDBA,此时小球经过的路程为2a+c;BQA 此时小球经过的路程为4a, 应选 DQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 短轴长为5 ,离心率2e的椭圆两焦点为F1, F2,过 F1 作直线交椭圆于A、B 两点,就 ABF23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的周长为（）A.3B.6C.12D.24 解析 C.长半轴 a=3, ABF2 的周长为 4a=12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22. 已知 P 为椭圆 xy1 上的一点,M , N 分别为圆 x32y21和圆 x32y24 上的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22516点,就 PMPN 的最小值为（）A 5B 7C 13D 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 B.两圆心 C、D 恰为椭圆的焦点,| PC | PD |10 , PMPN 的最小值为 10-1-2=7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 2 求椭圆的标准方程 例 2 设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直,且此焦点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与长轴上较近的端点距离为42 4,求此椭圆方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c 的式子“描述”出来可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 解析 设椭圆的方程为xa 2y1 或 x22b2b2y1a2a 2b0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就ac a 2bc42b 2c21 ,x2y2x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解之得： a42 , b=c 4. 就所求的椭圆的方程为1 或1.32161632可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【名师指引】精确把握图形特点,正确转化出参数警示易漏焦点在y 轴上的情形【新题导练】a, b, c 的数量关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 假如方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴的椭圆,那么实数k 的取值范畴是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 0,1.椭圆方程化为又 k>0, 0<k<1.xy 22+22k=1.焦点在 y 轴上,就2 >2,即 k<1. k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知方程x2 cosy2 sin1, 0, , 争论方程表示的曲线的外形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 当0, 时,4sincos,方程表示焦点在y 轴上的椭圆,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当时, sin4cos,方程表示圆心在原点的圆,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当, 4 时,2sincos,方程表示焦点在x 轴上的椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 椭圆对称轴在坐标轴上, 短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结短距离是3 ,求这个椭圆方程.x 2y2x 2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 ,b3 ,所求方程为+129=1 或9+=1.12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ac3a23a2cc3考点 2 椭圆的几何性质题型 1: 求椭圆的离心率（或范畴）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 例 3 在 ABC 中,A300 ,| AB |2, S ABC3 如以 A, B 为焦点的椭圆经过点C ,就该可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结椭圆的离心率 e【解题思路】由条件知三角形可解,然后用定义即可求出离心率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 S ABC1 | AB |2| AC| sin A3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| AC |23 , | BC | AB |2| AC |22 | AB | AC | cos A2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e| AB |231可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| AC | BC |2 322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【名师指引】 （ 1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量,打算了椭圆的外形。反之,外形确定,离心率也随之确定（ 2）只要列出 a、b、c 的齐次关系式,就能求出离心率（或范畴）（ 3）“焦点三角形”应赐予足够关注【新题导练】6. 假如一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍, 那么这个椭圆的离心率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 解析 选 B5B .43C .22D . 122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y27. 已知 m,n,m+n 成等差数列, m, n, mn成等比数列,就椭圆1的离心率为mn2n2mnm2x2y 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 由n2m2nmn0,椭圆1的离心率为n4mn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 2: 椭圆的其他几何性质的运用（范畴、对称性等）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 例 4 已知实数x2y22x, y满意1 , 求 xy2x 的最大值与最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解题思路】把 x2x2y 2y2x 看作 x 的函数1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 由1 得 y22x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结421 x202222x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2x1 x2x221 x1223, x22,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x1 时, x2y2x 取得最小值3 , 当 x22 时, x2y 2x 取得最大值6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【新题导练】x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 已知点A, B 是椭圆2mn 21（ m0 , n0 ）上两点 , 且 AOBO , 就=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 由 AOBO 知点A,O, B 共线 , 因椭圆关于原点对称 ,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结210. 如图,把椭圆 xy1 的长轴 AB 分成 8等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22516P1, P2, P3, P4, P5 , P6, P7 七个点, F 是椭圆的一个焦点就 P1FP2FP3FP4FP5FP6FP7F 解析由椭圆的对称性知：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P1FP7FP2FP6 FP3FP5F2a35 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点 3 椭圆的最值问题x2y 2 例 5 椭圆1 上的点到直线 l:xy90 的距离的最小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结169【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 在椭圆上任取一点P, 设 P 4 cos,3sin.那么点 P 到直线 l 的距离为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| 4cos3sin12 |2 |5sin9 |22.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【名师指引】也可以直接设点P x, y ,用 x表示 y 后,把动点到直线的距离表示为x 的函数,关键可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是要具有“函数思想”【新题导练】x2y 211. 椭圆1 的内接矩形的面积的最大值为169可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 设内接矩形的一个顶点为 4 cos,3sin ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩形的面积 S48sincos24 sin224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212. P 是椭圆 x2y1 上一点,F 、 F 是椭圆的两个焦点,求| PF | PF| 的最大值与最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 | PF1 |a2b 2| PF2 | PF1| 2 a12| PF1 | PF1 |a 211a 2 ,| PF |a2c,ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当| PF1 |a 时,| PF1 | PF2| 取得最大值 a 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当| PF1 |ac 时, | PF1 |x 22| PF2 |取得最小值 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 已知点 P 是椭圆4y 21 上的在第一象限内的点,又A2,0 、B0,1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结O 是原点,就四边形 OAPB的面积的最大值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 设P2 cos, sin,0, ,就2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SOAPBS OPAS OPB1 OA2sin1 OB22 cossincos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点 4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题 例 6 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O, 一个长轴端点为0 ,1 , 短轴端点和焦点所组成的四边形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为正方形,直线l 与 y 轴交于点 P（ 0, m）,与椭圆 C交于相异两点 A、B,且（ 1）求椭圆方程。（ 2）求 m的取值范畴AP3PB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解题思路】通过AP3PB ,沟通 A、B 两点的坐标关系,再利用判别式和根与系数关系得到一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关于 m的不等式 解析 （ 1）由题意可知椭圆 C 为焦点在 y 轴上的椭圆,可设y2x2C :22ab1 ab0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由条件知 a1 且 bc ,又有 a 2c2b 2c2 ,解得 a21 , bc22x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故椭圆 C 的离心率为 ea,其标准方程为：y1212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设 l 与椭圆 C交点为 A（ x1, y1）, B（ x2, y2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222y kx m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222x y 1得（ k 2） x 2kmx（ m1） 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222（ 2km） 4（ k 2）（ m1） 4（k 2m 2） >0 （ * ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2kmm2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 x2 k2 2 , x1x2k2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AP 3 PB x1 3x2 x1 x2 2x22x1x2 3x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 2km2m 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k消去 x2,得 3（ x1 x2） 4x1x20, 3（k2 2 ） 4 2 2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 222整理得 4k m 2m k 2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m212时,上式不成立。 m412时, k 42 2m224m 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222 2m11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因 3 k0 k 4m2>0, 1<m< 或<m<1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 12222简单验证 k >2m 2 成立,所以（ * ）成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即所求 m的取值范畴为（1,1）（21, 1） 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一,应充分重视向量的功能x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7椭圆a2b 21ab0 上一点 P 向 x 轴引垂线 , 垂足恰为椭圆的左焦点uuuvuuuvF1, A为椭圆的右可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结顶点, B 是椭圆的上顶点 , 且、求该椭圆的离心率.ABOP0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如该椭圆的准线方程是x25 ,求椭圆方程 .uuuvuuuv 解析 、 QABOP ,AB OP , PF1O BOA,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PF1FO1cbcPF1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BOOAaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 Pc, ycPF12a 2b21PF1b,bc ,2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 a2b 2c2a 22c2e2 .2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 Q x25 为准线方程,25a2c25c ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2由 bc2 5ca2102所求椭圆方程为x2y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222abcb25105可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【新题导练】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14. 设过点P x, y的直线分别与x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于A 、B 两点, 点 Q 与点 P 关于 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结轴对称, O 为坐标原点,如BP2PA,且 OQ AB1,就 P 点的轨迹方程是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 3 x 223 y21 x0, y0B.3 x 223y 21 x0, y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C. 3x 23 y 21 x230, y0D. 3 x23223 y 221 x0, y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 ABx,3y, OQ 2 x, yx 23 y1 ,选 A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢