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1数学模拟试卷数学模拟试卷参考答案详解参考答案详解一、选择题一、选择题（110 小题，每小题 4 分，共 32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.） （1） B【详解详解】 xxxxx xxdttxgxfxxxx2322043sin0200sectan43sin1lncoslimtan1ln limlim 131sectantan43sinlimsectan43sinlim22023220 xxxxxxxxxxxx所以选 B（2） D【详解详解】=，积分收敛，1) 1(xxdx2ln1ln 1xx=，积分发散.10) 1(xxdx)(01ln10xx（3）B【详解详解】把两边对求导，有，再求导，有xxxf2 ,x12 ,22 ,xxfxxfyxa 02 ,42 ,52 ,42 ,22 ,22 , xxfxxfxxfxxfxxfxxfxyxxyyyxxyxx再把两边对求导，有 22 ,xxxfxxxxxfxxfxyxx22 ,22 , b由 a 与 b 得xxxfxx342 , 【重点提示重点提示】 要善于利用等价无穷小的替换，如当时， 0x，xxx1ln,sin,等都是等价无穷小，也是比较常用的等价无穷小1xe2,cos1xx【重点提示重点提示】 直接计算相应积分，判定其敛散性即可。广义积分敛散性的判断， 一般只要求掌握通过计算能判定的情形。2（4）A【详解详解】 在区域上，有，从而有1),(22yxyxD1022yx2212yx 22yx 0)(222 yx由于在 上为单调减函数，于是xcos)2, 0(22cos0yx )cos(22yx 222)cos(yx 因此 ，故应选(A)dyxD22cosdyxD)cos(22dyxD222)cos(（5） A【详解详解】 因为可微，所以连续，则 xf xf， 000lim 0 fxxfx 000lim0 0 xfxff x因为， xuxtxdttfduuxf 00所以 20200sin lim00lim0xduuxfxxfxffxxx 012lim1limsinlim 020020 xxf xdttfxxxxxx所以是的极小值 0f xf【重点提示重点提示】 本题比较二重积分大小，本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调性进行分析讨论，关键在于比较、与在区域22yx 22yx 222)(yx 上的大小1),(22yxyxD【重点提示重点提示】 注意当时，是的驻点，此时，若，则 00 xf0x xf 00 xf在处取得极小值，反之则在处取得极大值若，则 xf0x xf0x 00 xf0x不是极值点【重点提示重点提示】本题的重难点是对多元函数求偏导，计算时要仔细，要注意当具有连续二阶偏导数时，。yxf, yxxyff3（6） A【详解详解】 设，是连续函数，所以可导，且若 xdttfxF 0 xf xF xfxF为奇函数，则，此时 xf xFduufduufdttfxFxxutx000为偶函数 xF（7）A【详解详解】：把两边同时转置，得，则与EABAC EABACABACTTTTTTTTTC互为逆矩阵，则TTTABAECABATTTT（8） A 【详解详解】 初等行变换不改变矩阵的列向量之间的线性关系，对于变换后的矩阵，显然有，所以432132143214（9）B【详解详解】 由题设，知，又事件与相互独立，于是有5 . 0ba0X1YX101, 0YXPXPYXXP即=，由此可解得=0.4, b=0.1a)(4 . 0(baaa（10） C【详解详解】 因为不相关，所以相关系数，,0从而， 0,covDD， DEE DDDDD,cov2【重点提示重点提示】 直接利用定义求出原函数，本题也可通过举反例来一一排除，如等 xxfxf , 1【重点提示重点提示】本题属于基本题型，直接利用概率基本公式求解即可【重点提示重点提示】 初等行变换不改变矩阵的列向量之间的线性关系，初等列变换不改 变矩阵的行向量之间的线性关系，这是矩阵变换的基本性质【重点提示重点提示】首先所有概率求和为 1，可得, 其次，利用事件的独立性5 . 0ba 又可得相关等式 由此可确定 a , b 的取值4二、填空题二、填空题（1116 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.）（11）25【详解详解】 xxxxxx1lncos11sincos15sin lim20 xxxx xx xx xx1sincoscos1 55sin5 1lncos1lim3 42025（12）2xy【详解详解】 原方程可化为，积分得 ，代入初始条件得 C=2，故所求特解0)(xyCxy 为 2xy（13）Cxxey 【详解详解】 原方程可写为令，则，代入原方程， xy xy dxdyln1xyz xdzzdxdy得，分离变量得两边积分得：zzzdxdzxzlnxdx zzdzlnCxz lnlnln即（其中 C 为任意常数） Cxxey （14） 21【重点提示重点提示】 本题属于基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可，若在某变化过程下，则如当时，)()(xx).()(lim)()(limxxfxxf 0x，xxx1ln,sin,等都是等价无穷小1xe【重点提示重点提示】 直接积分即可.本题虽属于基本题型， 也可先变形 ，再积xdx ydy分求解【重点提示重点提示】 这是微分方程中比较常见的题型，是齐次方程与可分离变量方程的 复合形式，解分离变量方程的方法必须掌握【重点提示重点提示】 注意不论如何都得不到，这个等式绝对不成立 DDD5【详解详解】 由题设，有 , 得，但题设，1234123121112aaa0) 12)(1(aa21, 1aa1a故.21a（15） 0【详解详解】 ， 021 100101222 xAE解得：2, 1321又因为 A 可对角化，所以 A 的属于特征值的线性无关的特征向量有 2 个，1即有非零解0XAE所以，而，所以1 AEr 00000121 xAE0x（16）21【详解详解】 因为，所以与相互独立，又，0xyXY 1 , 0,4 , 1NYNX则，所以 5 , 1 NYX 1YXP21三、解答题三、解答题（1724 小题，共 86 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （17） 【详解详解】 由已知条件可得，)()(2yxfxyfxy xg【重点提示重点提示】个 4 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a 当向量的个数小于维数时，一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性【重点提示重点提示】 容易先求出 A 的特征值，然后根据可对角化方阵的性质，得到 AE 的秩不是满秩，再通过行列式为 0 来求解的值x【重点提示重点提示】 如果，所以与相互独立，这是判断独立的一种方法。0xyXY相 互独立的正态变量的线性运算仍是正态变量，要注意运算后的正态变量的数学特征 的变化6，)(1)()(242322yxfyyxfxy xyfxy xg ，)()()(1 yxfyx yxfxyfxyg，)()()()(13222222yxfyx yxfyx yxfyx xyfxyg 所以 =22 2 22 2 ygyxgx)()()(2222yxfyx yxfxy xyfxy )()(222yxfyx xyfxy =).(2 xyfxy（18）【证明证明】 (I)设，则在上连续，且， xxfxF xF 1 ,21021 21 F，由介值定理可知存在，使，即011F 1 ,21 0F f(II)设，则在上连续，在内可导，且 xxfexGx xG, 0, 0 1xxfxfexGx又由罗尔定理可知，存在，使得 0, 00GG, 0 0G即 1ff（19）【详解详解】 （I）由题意可知总利润函数，令7002210080,22yxyxyxyxQ，解得。 04210002280yxQyxQyx10,30yx【重点提示重点提示】 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可，但在求偏导数的过程 中应注意计算的准确性【重点提示重点提示】 先构造函数，再根据连续与可导的性质，利用中值定理证明问题， 其中关键在于构造函数，这就需要经验，要掌握一些比较常见的函数的构造7又产量和不受限制，所以计算表明当时可获得最大利润，且最xy10,30yx大利润为，即为所求100010,30,max QyxQ（II）由题意得30 yx此时可引入拉格朗日函数，令30,yxyxQyxF，解得，。 03004210002280yxFyxFyxFyx 10,20yx20所以当时可获得最大利润，且最大利润为10,20yx， 90010,20,max QyxQ（20）【证明证明】 设，)(xFxgxfdttgtfdttftg 010) 1 ()()()()()(则 F(x)在0，1上的导数连续，并且，)(xF)1 ()()() 1 ()()()(gxgxfgxfxfxg由于时，因此，即 F(x)在0，1上单调递减 1 , 0x0)(, 0)(xgxf0)( xF又，) 1 (F1010) 1 () 1 ()()()()(gfdttgtfdttftg10101010)()()()()()()()(dttgtftftgtdftgdttftg=，10)()() 1 () 1 (dttgtfgf所以 F(1)=0.因此时，由此可得对任何，有 1 , 0x0)(xF 1 , 0aagafdxxgxfdxxfxg 010).1 ()()()()()(【重点提示重点提示】 先求出总利润函数，再通过导数为 0 来求极值，求出最大利润。在 第 （II）问中，由于总产量固定为 30 不变，故通过构造拉格朗日函数来求极值【重点提示重点提示】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式， 通过分部积分讨论对于积分不等式的证明，主要有两个途径：一是转化为函数不 等式，二是通过恒等变形，如变量代换、分部积分等，再用积分的不等式性质 进行讨论8（21） 【详解详解】 因为线性方程组（i） 、 （ii）有公共的非零解，所以它们的联立方程组（iii）有 非零解，即（iii）系数矩阵 A 的秩小于 4。对矩阵 A 进行初等行变换，得，所以00006200020003100201000010211111425301131321121babaA3, 2ba且 3Ar此时可解方程组，得，即为（iii）的一个非零解 0302043421xxxxx T1320又，所以构成（iii）的基础解系。因此， （i）和（ii）的全部公共解为 3AR（其中 k 为任意常数）Tk1320（22）【详解详解】 （I） ，可知 311221001 ),(),(321321A. 311221001 B（II）因为是线性无关的三维列向量，可知矩阵可逆，所以321,321C，即矩阵 A 与 B 相似，由此可得矩阵 A 与 B 有相同的特征值.BACC1，得矩阵 B 的特征值，0)4() 1( 3112210012 BE也即矩阵 A 的特征值为. 4, 1321（III）对应于，解齐次线性方程组(E-B)X=0，得基础解系121，；T)0 , 1 , 1(1T) 1 , 0 , 2(2对应于，解齐次线性方程组(4E-B)X=0，得基础解系43.) 1 , 1 , 0(3T【重点提示重点提示】 若方程组有非零解，系数矩阵的秩小于 n（n 为未知数的个数） ， 求解线性方程组是非常重要的一个知识点9令矩阵，则 110101021321Q.4000100011 BQQ又因为，)()(1111CQACQACQCQBQQ令矩阵=， 110101021321CQP323121,2,则 P 即为所求的可逆矩阵（23） 【详解详解】 因为，相互独立，所以，的联合密度函数为：XYXY 其其,00 , 10,2,2yxeyxfy当时，0z 0ZFZ 0ZfZ当时，10 z zYXPzZPzFZzxzxzyzdxedyedx 020201221 212zez z ZZezFzf21当时， 1z zYXPzZPzFZ102021012dxedyedxxzxzyzzee212 21 211 zz ZZeezFzf212所以 0011101222zzeezezfzzZ【重点提示重点提示】 利用(I)的结果相当于确定了 A 的相似矩阵，求矩阵 A 的特征值转化 为求 A 的相似矩阵的特征值，这是问题的关键10（24） 【详解详解】 （I）与的联合分布律为： 0120051 522 41 3CC 51 522 41 3CC1101 532 4C52 52232 4 C101 532 4C（II）由（I）可算出，则 53,259,256,56,53EDDEE 66DDEEE【重点提示重点提示】 对于独立的随机变量，有而当 yfxfyxfYX,时，有，积分时要仔细YXZ zYXPzZPzFZ【重点提示重点提示】 求与的联合分布律是比较简单的，主要是计算要仔细，算完后 检查一下，看所有概率相加是不是等于 1，计算相关系数直接利用公式即可