高频金融数据的波动率估计 (2).ppt

利用高频金融数据的已实现波动率估计及其应用,韩清 上海社会科学院数量经济研究中心2011年3月19日广州中山大学岭南学院,引言,为什么要研究波动率金融市场中的一个重要和关键指标期权定价风险的度量交易策略的制定也往往围绕着波动率展开,引言,什么是波动率(1)实践中历史波动率，样本方差未来波动率，ARCH模型隐含波动率，根据B-S公式及期权价格倒推的波动率(2)理论上名义波动率，基本已实现的一条路径期望波动率，所有可能路径的平均瞬时波动率，某一时点的波动率，可以认为是名义波动率 或者期望波动率所考虑的时间段长度趋于0时的极限历史波动率-名义波动率 未来波动率-期望波动率,引言,估计波动率的方法(1)参数化方法参数化方法针对期望波动率建立模型。不同的模型基于对价格或者波动率本身的不同假定, 并通过不同的函数形式将相关变量和参数关联在一起。条件异方差类(ARCH)模型 在ARCH类模型中(包括GARCH), 期望波动率描述为过去收益率序列的函数(GARCH中还包含过去的波动率)。随机波动(SV)模型 在随机波动模型中, 期望收益率依赖于一些潜在的状态变量或参数。,引言,估计波动率的方法(续)(2)非参数方法非参数波动模型通常针对名义波动率。模型本身并不对资产价格过程作出具体形式的假设。本文讨论的高频数据的已实现波动率估计属于非参数模型。,引言,为什么要使用高频数据快速变化着的市场的需要充分利用已知信息的需要信息技术快速发展的结果更接近于连续时间模型揭示金融市场的微观结构特征 问题点:含有微观结构噪声,引言,我们的工作系统总结了利用高频金融数据的已实现波动率估计理论。 研究市场微观结构噪声的估计问题。总结了目前文献中在白噪声假设下估计噪声方差的各种方法, 并且放宽了对噪声的假设, 允许噪声序列间存在相关性, 甚至允许噪声与价格间也存在相关性(即内生性), 并在此假设下推导出新的噪声估计量。用来自中国股票市场的高频交易数据对本文介绍的各种波动率估计以及噪声方差估计进行了实证研究。实证结果为我们揭示了一个重要事实: 未降噪的波动率估计低于应用了降噪技术的波动率估计, 说明未降噪的波动率估计低估了风险。这表明降噪技术对于风险管理具有很重要的现实意义。,连续时间模型的波动率理论,资产价格过程（Andersen et al.(2003) )K个资产的对数价格为半鞅过程(semimartingales):其中：漂移项：可预测的具有有限变差的向量过程 (predictable processes with finite variation)。 扩散项 m: 局部鞅向量 (local martingales)。 IV: 积分方差(Integrated Variance),连续时间模型的波动率理论,资产价格过程（续） 扩散项 由布朗运动驱动： ：瞬时波动过程 ：瞬时协方差矩阵过程 ：积分协方差矩阵 扩散项 由布朗运动与跳驱动 强度为的泊松过程， 独立同分布的随机向量。,连续时间模型的波动率理论,价格波动二次(协)变差(QV)：对于半鞅过程而言, 漂移对于QV没有贡献， 扩散项的QV, 其中 无论,和跳跃间的关系如何, 只要价 格过程是个半鞅, 这一结论就成立。无跳跃时：,连续时间模型的波动率理论,已实现协方差矩阵动机 由于无跳时, QV = IV, 我们可以用已实现协方差矩阵去估计IV。 构造 时间段0, t上的已实现协方差矩阵(Realized Variance)： 由于公式()，,连续时间模型的波动率理论,已实现协方差矩阵与积分协方差矩阵的联系 阶矩阵, 其为其元素为 和间的渐进协方差。在无跳跃时, RV是IV的一致估计。Barndorff-Nielsen & Shephard(2004)给出了 的估计。,连续时间模型的波动率理论,一元情形: 已实现方差对一元价格过程： 可用来一致地估计 ，后者进一步地等于 - 在资产定价, 分配及风险管理中起着重要作用的变量。,连续时间模型的波动率理论,幂变差过程和双幂变差过程幂变差过程（Barndorff-Nielsen & Shephard(2003)）双幂变差过程（Barndorff-Nielsen & Shephard(2004)）,连续时间模型的波动率理论,幂变差过程和双幂变差过程（续）不带跳的随机波动： 其中 和,连续时间模型的波动率理论,幂变差过程和双幂变差过程（续）带跳的随机波动：其中X(t)是某种随机过程。注意,连续时间模型的波动率理论,幂变差过程和双幂变差过程（续）提供了估计IV的另外方法。例如, 无论跳跃存在与否, 总是成立的, 于是我们可以利用 来估计IV。由于 ，可以将跳跃的二次变差从整 个价格的二次变差中分离出来。可以估计更高次幂(>2)的积分波动率。应用这些结论的一个限制是要求(,) 和W独立 。,连续时间模型的波动率理论,一些改进的波动估计量对数变换 其中 Box-Cox变换 Gonçalves & Meddahi(2006) 指出最优的Box-Cox变换是=-1。,连续时间模型的波动率理论,一些改进的波动估计量（续）Edgeworth校正 提高了RV的渐近正态性（Gonçalves (3) Bootstrapping会大大加重计算负荷。,市场微观结构及其噪声 市场微观结构,市场类型 竟价市场 集合竟价 连续竟价 交易商市场,交易指令 市场指令 限价指令,交易规则 价格优先, 时间优先 根据量的调整,交易成本 佣金 买卖价差 指令处理成本 存货成本 逆向选择成本,市场微观结构及其噪声,市场摩擦交易成本(主要是买卖价差)最小报价单位买卖价跳跃(Bid-ask bounce)价格变化限制信息不对称噪声定义：市场微观结构噪声过程(用 表示)为观测价格与有效价格之差。,市场微观结构及其噪声,微观结构噪声设定噪声 日内收益率 有效日内收益率 收益率噪声 噪声的MA(1)结构 白噪声假定,“宝钢股份”的高频特征,交易间隔时间特征,“宝钢股份”的高频特征,相邻交易价格的变动特征,“宝钢股份”的高频特征,连续两笔交易的价格变动特征,“宝钢股份”的高频特征,相邻交易价格变化量的特征,“宝钢股份”的高频特征,每5分钟交易次数的ACF图,高频数据的降噪技术,综述 在高频数据下, 市场微观结构噪声的影响会扭曲已实现估计。并且，频率越高, 影响越严重。 基于最小化均方误差选择 最优抽样频率（Bandi & Russel(2005, 2006)，Aït-Sahalia et al.(2005)）。减噪方法： (1)对噪声引起的误差纠偏。 Zhou(1996)，Hansen & Lunde(2006)，已实现核估计( Barndorff-Nielsen et al.(2007a)。(2)子抽样。 Zhang et al.(2005), Aït-Sahalia et al.(2006)。(3)子抽样核估计。 (Barndorff-Nielsen et al.(2007b)。,高频数据的降噪技术,已实现核估计(Realized Kernels) 两个随机过程 X和 Y的第 h阶协变过程(covariation process)为已实现自变过程 X：一个价格过程 p 的已实现核估计为 其中 K(·)是定义在0,1上的核函数, 且k(0)=1和 k(1)=0。于是就是定义于式(7)中的已实现方差 。,高频数据的降噪技术,已实现核估计（续） 三种类型的核函数 (1) 不连续型核函数 (2) 光滑型核函数，连续, 且满足 k'(0)=k'(1)=0 (3) 折线型核函数，连续, 但不需要 k'(0)=k'(1)=0一些记号: 核函数的积分 信噪比 异方差程度度量,高频数据的降噪技术,已实现核估计（续）渐进分布当M时, 给定如果如果m是在区间(-1/M, 1/M)和(t-1/M, t+1/M)内的各不相同的观测数据个数,目的是消除在时间段上0, t价格p在0及t的端点效应(通过取各自区间上的平均值)。实践中,m 的要求并没有初看上去那么重要,因为对于固定的m, 其对渐进方差的贡献与2/m成正比, 而2在实证分析中都很小(一般是渐进方差的千分之一的数量级)。,高频数据的降噪技术,已实现核估计（续）核估计是IV的一致估计，无论是否有跳跃。光滑核估计的收敛(于IV)速度比折线核估计要快， Aït-Sahalia et al.(2005)证明光滑核估计可以达到一般情形下的最快的收敛速度。 Tukey-Hanning核估计比其它类型的核估计有效。Barndorff-Nielsen et al. (2007)说明在噪声序列相关且具有内生性时，核估计仍有很好的效果。,高频数据的降噪技术,已实现核估计（续） 估计已实现核估计的步骤：（1）选择核函数k()。（光滑核函数是首选）（2）选择抽样方法和抽样频率M。 抽样方法: CTS（Calendar Time Sampling)子区间长度相等 TTS（Tick Time Sampling）以观测值计数为间隔 抽样频率: 使抽样后的样本间不存在相关性的最高频率（3）确定自相关滞后阶数H。（由（18）或（19）式，需估计噪声方差和波动积分四次项 ）（4）计算已实现核估计。（由（17）式）（5）计算已实现核估计的渐近方差。,高频数据的降噪技术,子抽样估计 子抽样（Subsampling) 可以使用全部的原始数据, 又保持适当的频率。双频已实现波动TSRV估计（Two Scales Realized Volatility） 一个较低频率用于子抽样RV估计, 另一个较高频率的RV估计用来纠偏(由噪声引起的)。可以允许噪声间存在相关性。多频已实现波动MSRV估计（Multiple Scales realized Volatility） 使用多个频率以达到更快的收敛速度, 但只允许白噪声假设。,高频数据的降噪技术,子抽样估计（续）方案 假设有某种资产价格 p的原始交易数据。这些数据发生在时间段0, t内。我们可以将其划分为K个子样本: 第k (k=1,2,K)个子样本从第 k个原始数据开始,每隔K个数据取样一次。如果原始样本发生在时间格 则第k个子样本的时间格为： 其中,高频数据的降噪技术,子抽样估计（续）例假设 n可被 K整除, 第 1个子样本: 第 2个子样本: 第 3个子样本: 第K个子样本:其中第1个子样本有n/K+1个观测值, 其它子样本容量为n/K。因此所有这K个子样本用完了所有原始样本(n+1个观测)。,高频数据的降噪技术,子抽样估计（续）子抽样RV 基于第 k个子样本的已实现方差：如果取合适的K值，这一估计将是降噪后的RV的适当估计。将K个这样的估计取平均: 这一估计的方差更小(是未平均RV的1/K)，但仍是有偏的。,高频数据的降噪技术,子抽样估计（续）TSRVTSRV由Zhang et al.(2005)引入，Aït-Sahalia et al.(2006)发展。构造: 其中 1J<Kn， ，TSRV结合了两种减噪思想: 使用适中频率（K）作通常的RV估计， 使用更高频率（J）来估计噪声引起的偏差以纠偏。 频率的选择(K和J): 如果噪声序列的相关性不超过m个观测值, 则可以选择J=m+1。 如果噪声是白噪声, 我们仅需选择J=1。 TSRV只要求噪声序列平稳。TSRV为一致估计需要满足一定的条件， Aït-Sahalia et al.(2006)给出修正。,高频数据的降噪技术,子抽样估计（续）MSRV 构造: 其中的W个低频率 用来作子抽样RV估计, 而用全部原始数据的可能的最快频率估计噪声偏差项。当然, 各个子抽样RV估计的权重值需要满足 。 TSRV可以达到 的收敛速度MSRV可以达到 的收敛速度。,高频数据的降噪技术,子抽样核估计Barndorff-Nielsen et al.(2007)提出结合了两种非参数降燥技术: 核估计与子抽样 有效性： (1) 对于光滑核估计, 由于其收敛速率已达到可能的最好情况( ) 。子抽样技术对此并无帮助, 相反还会增加估计的方差 。 (2) 对于折线型核估计, 子抽样核估计与原来不使用该技术的核估计完全一致(具有完全一样的形式)。因此, 没有影响。 (3) 对不连续的核估计, 其本身不是QV的一致估计, 使用子抽样技术后可以使其成为QV的一致估计, 且收敛速率达到 。,噪声方差估计,概述 在估计波动率时，通常需要先估计噪声的方差。Zhang et al. (2005)利用其对RV进行纠偏，核估计时也需要。Hansen & Lunde(2006) 表明噪声通常是序列相关的，并具有内生性（即噪声与有效价格相关）。 关于噪声的假设(1) 噪声过程是均值为0的弱平稳过程, 其自协方差函数为 (2) 存在一个有限的非负数 使得 ，当 ，并且 ，当 噪声过程的相关性局限在一小段长度不超过 的时间段内。,噪声方差估计,独立同分布的噪声方差估计 由噪声定义 由连续时间模型的波动率理论的结论，有 由式 (24),有效收益过程的数量级是 由式(25),收益率噪声的数量级是O(1),噪声方差估计,独立同分布的噪声方差估计（续） Bandi & Russel(2006) 利用这一事实估计RV和噪声方差。几种白噪声估计量 （1）（2）（3）,噪声方差估计,序列相关的噪声方差估计这种情形对应假设1中 的情形， 其中 都是在样本观测时间段内的样本均值。最高频率（ ）的选取：用所有数据 较低频率（ ）的选取：使 Hansen & Lunde (2006) 提出噪声相关性的检验。,实证研究,未对噪声纠偏的波动率估计 已实现方差 已实现方差的渐进分布 已实现幂变差 已实现双幂变差 说明 应用了减噪技术的波动率估计 核估计 核估计方差 双频子抽样已实现方差估计,未对噪声纠偏的波动率估计已实现方差RV,图1. 招商银行已实现方差(RV)估计,未对噪声纠偏的波动率估计已实现方差的渐进分布,图2. 招商银行2004年RV估计直方图,图3. 招商银行2004年9月24日的幂变差,未对噪声纠偏的波动率估计已实现幂变差,未对噪声纠偏的波动率估计已实现双幂变差(图4),说明,随着幂次数的增加, 高频时微观结构噪声的影响也变得更加严重。更高次幂的变差随着频率的增加会更快地趋于稳定值。 高频时噪声的影响随着幂次数的增加而增加， 低频时噪声的影响随着幂次数的增加而减少。 这说明了高频时幂变差估计的其实是噪声，低频时幂变差估计的才是价格波动。（这里的低频是相对于高频而言的。）,应用了减噪技术的波动率估计 核估计,图5.招商银行2004年已实现方差和已实现Tukey-Hanning2核估计比较,应用了减噪技术的波动率估计 核估计方差,图6.招商银行已实现Tukey-Hanning2核估计的方差估计,核估计通过引入价格的自相关项来纠正由噪声导致的偏差,与已实现方差的估计相比, 核估计在很大频率范围内都是稳定的。这一点在均值图5(b)中反应得特别明显。由于已实现方差和核估计都是价格的二次变差的估计, 因此, 如果不存在噪声影响, 它们间是应该比较接近的。未除噪的已实现方差估计随着频率的增加而快速增加是噪声存在的一个证据, 而减噪后的核估计在大的频率范围内都表现稳定说明在噪声影响下它优于已实现方差估计。一个问题是如果高频时噪声影响如此严重, 那为什么我们不直接使用低频数据？答案是, 用频率太低的数据估计的波动率并不可靠。首先, 从图5(a)可以看出低频时已实现方差估计和核估计都随着频率的变化而波动较大, 特别是对于核估计。其次, 图6也显示了核估计渐进方差的特征图, 从中可以看出核估计的方差随着频率的增加而增大。 事实上, 频率越高, 使用的数据量也越大, 利用的信息也就越多, 从而估计也就越有效(方差越小)。 而使用低频数据意味着放弃有用的信息。,核估计通过引入价格的自相关项来纠正由噪声导致的偏差,但是图5也告诉我们超高频时的核估计(例如对于招商银行而言, 就是抽样间隔小于15秒的频率)也不可靠, 虽然这时的估计方差达到最小。原因在于当我们使用CTS抽样时, 当抽样间隔小于平均交易时间间隔(这里是6.46秒)时, 一个样本会被多次重复抽样, 从而增加样本间的相关性。同时, 在超高频时, 由于噪声干扰, 样本之间本身存在着一定时间内相关性也比较强。这些原因都导致了核估计基于白噪声的假设并不成立。,双频子抽样已实现方差估计(图7),调整的双频子抽样已实现方差估计(图8),三种波动率估计的均值比较,三种波动率估计的时间序列 (图9),各种噪声方差估计的比较,图10. 2004年招商银行三种噪声方差估计的时间序列,进一步的发展,跳跃的检验，分离。（Fan & Wang(2006)价格过程的更一般化，如Lévy过程。（Barndorff-Nielsen & Shephard (2004)）对样本发生的时间进行建模。（ Barndorff-Nielsen & Shephard (2005) ）,一个应用：高频数据下的事件研究 基于小波分析的跳跃和已实现波动率,本文的工作,为解决高频金融数据下的事件研究问题，尝试用小波分析方法检测高频金融数据的跳跃次数和经小波消噪估计的已实现波动率来刻画事件对市场的冲击。研究结果表明采用高频金融数据的已实现波动率与跳跃次数来反应事件对市场的冲击，不仅能捕捉事件对市场冲击的强度和速度，还能区别重要事件和一般事件。从刻画事件对市场的冲击的准确角度说，已实现波动率与跳跃次数优于传统的累积超额收益率。,引言,在金融、经济、会计等领域的研究中，常用事件研究法来分析金融市场中某类事件的发生是否对上市公司的市场价值引起统计上的显著反应。度量事件窗样本证券的累积超额收益率CAR：用以分析的数据大多使用低频数据的日数据，甚至时间跨度更大（如周或月）的数据。,使用低频数据进行事件研究，在过去是适用的，但对于现代金融市场则显得远远不够。低频数据从统计上来说是低效的，低频数据仅是高频金融数据的抽样，抽样丢失了大量信息。另外，低频数据或者说抽样后数据，对于金融市场中非常重要的信息跳跃的分析是非常困难的：在检测跳跃时，我们需要仔细观测检查价格是否发生突然变化。,更能刻画事件发生对市场冲击的变量，是跳跃和已实现波动率。已实现波动率RV 反映了两点间（即事件窗区间内）的价格变化状况，其中p是资产的高频价格对数。相对累积超额收益率来说，已实现波动率更能刻画事件对市场的冲击。高频金融数据含有市场微观结构噪音。在利用高频数据时，如何消除市场微观结构噪音的影响成为关键。,根据小波分析具有自适应的时-频局部化分析的特性，能将正常信号、跳跃信号、噪音信号分离出来的特点，利用多分辩小波分析方法检测高频金融数据跳跃位置，并利用小波分析方法先消除市场微观结构噪音再估计已实现波动率，以此为基础，来分析事件对金融市场的冲击和影响。Fan，J. & Wang, Y. (2007) Multi-scale Jump and Volatility Analysis for High-Frequency Financial Data. Journal of the American Statistical Association, 102, 1349-1362 .Wang，Y. (1995) Jump and sharp cusp detection by waveletsBiometrika, 82,385-97.,实证分析,选取2005年有股权分置题材的公司，2005年内年报披露、红利公告、股权分置方案实施公告为事件，尝试用小波检测估计的跳跃、小波消噪估计的已实现波动率来刻画信息披露的股市反应。选择2005年12月15号前实施股权分置方案且发放了红利的上市公司。2005年我国有股改题材的上市公司共有243家；12月15号前实施股权分置改革方案的有197家； 2005年12月15号前实施股改方案、2005年又发放了股利的上市公司有156家。因此，所选样本公司共156 家。,事件：股权分置方案实施、年报公告、红利公告。事件窗：事件日当天，事件日后第1天，后第二天至后5天共4天，事件日后第6天至后10日共5天。比较窗：股权分置改革开始公告前50天（若包含年报、红利等事件，将剔除事件当天及前5天、后15天）作为股权分置题材事件的比较窗口。因股权分置改革开始公告后，在股改开始公告到股权分置方案实施期间陆续有有关公司股改题材的公告，故这期间不宜作为事件分析的比较窗。对照公司：选取同行业、资产相近、2005年有红利发放公告、尽量在同一交易所交易的上市公司作为样本公司的对照公司。,表1 全年的平均跳跃次数和累积波动率 表2 样本公司全年的跳跃次数、波动率与对照公司、上证指数对应值的差异D-对应两值之差； rv-已实现累积波动率；j-跳跃的次数；1-样本公司；2-对照公司；com-比较窗; sh上证指数,上市公司对不同信息公告的市场反应我们试图通过对同一公司同一事件当天、后1天、后2-5天、后6至10天的平均波动率、跳跃比较，分析市场对信息的反应。通过检测、估计样本公司在事件当天、事件后的交易日的跳跃次数、累计波动率，并与比较窗、对照公司的跳跃次数、累计波动率进行比较；将样本公司事件当天、事件后第一天、第2-5天、第6-10天的跳跃次数、累计波动率进行比较，以判断市场对事件冲击的反应强度与速度。,（1）股权分置改革方案实施的市场反应,表3 样本公司、对照公司股权分置改革方案实施当日 及以后不同时期跳跃与波动率- 事件当天 事件后1天 事件后第2-5天平均 事件后第6-10天平均 比较窗样本组跳跃次数 16.7 7.8 4.5 2.6 1.9对照组跳跃次数 2.0 1.9 2.2 1.6 1.5上证指数跳跃次数 9.0 5.0 5.4 2.9 样本组波动率 0.08178 0.00283 0.00203 0.00111 0.00165对照组波动率 0.00175 0.00179 0.00150 0.00099 0.00187-,表4 样本公司、对照公司股权分置改革方案实施当日 及以后不同时期跳跃与波动率比较 - 变量 Dj.w.1.d0-d1 Dj.w.1.d0-d2 Dj.w.1.d0-d3 Dj.w.d0.1-2 Dj.w.1.d0-com 均值 10.913 14.207 15.192 14.107 17.181 t值 3.03* 4.26* 4.98* 4.07* 4.99* -变量 Drv.w.1.d0_d1 Drv.w.1.d0_d2 Drv.w.1.d0_d3 Drv.w.d0.1_2 Drv.w.1.d0_com 均值 0.0789 0.0797 0.0806 0.0766 0.0753 t值 7.97* 8.03* 8.10* 7.91* 7.08* - D-对应两值之差； rv-已实现累积波动率；j-跳跃的次数；w-股改方案实施； 1- 样本公司； 2- 对照公司；com-比较窗 d0-事件当天；d1-事件后1天； d2-事件后第2天至第5天平均； d3-事件后第6天至第10天平均。股改方案实施当天市场给予了强烈的反应。这一方面可能是由于股改题材本身的魅力，也可能部分是因为股改方案实施当天股价涨跌幅不受限的客观原因所至。,（2）年报公告的市场反应,表5 样本公司、对照公司年报公告当日 及以后不同时期跳跃和波动率 - 事件当天 事件后1天 事件后第2-5天平均 事件后第6-10天平均 比较窗 样本组跳跃次数 7.55 4.445 3.715 3.035 1.9对照组跳跃次数 2.57 2.97 3.23 2.51 1.5上证指数跳跃次数 2.00 2.53 3.50 2.43 样本组波动率 0.00327 0.0016 0.00155 0.00129 0.00165 对照组波动率 0.00154 0.00176 0.00159 0.00127 0.00187 -,表6 样本公司、对照公司年报公告当日 及以后不同时期跳跃与波动率比较- 变量 Dj.y.1.d0_d1 Dj.y.1.d0_d2 Dj.y.1.d0_d3 Dj.y.d0.1_2 Dj.y.1.d0_com 均值 3.5000 4.1145 4.5133 4.6207 7.6298 t值 2.86* 4.08* 4.77* 3.77* 7.90* -变量 Drv.y.1.d0_d1 Drv.y.1.d0_d2 Drv.y.1.d0_d3 Drv.y.d0.1_2 Drv.y.1.d0_com 均值 0.0016 0.0018 0.0020 0.0016 -0.00007t值 4.79* 4.92* 5.41* 3.88* -0.11 - D-对应两值之差； rv-已实现波动率；j-跳跃的次数；y-年报公告； 1-样本公司； 2-对照公司； com-比较窗； d0-事件当天； d1-事件后1天； d2-事件后第2天至第5天平均； d3-事件后第6天至第10天平均,