6、振动.ppt

第4篇 波动与光学,1,第19章 振动 §1 简谐振动的描述 §2 简谐振动的能量 §3 阻尼振动与阻尼受迫振动 §4 简谐振动的合成,2,机械振动： 物体位置在某一值附近来回往复的变化,等等,§1 简谐振动的描述,广义振动：一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动形式称振动,物理量：,3,(简谐振动）,振动的形式:,4,重要的振动形式是 简谐振动(SHV) simple harmonic vibration,物理上：一般运动是多个简谐振动的合成数学上： 付氏级数 付氏积分也可以说， SHV是振动的基本模型或说，振动的理论建立在SHV的基础上注意：以机械振动为例说明振动的一般性质,5,一.简谐振动的判据,表征了系统的能量,位移,振幅,最大位移,由初始条件决定,1.运动学表达式,广义：振动的物理量,弹簧谐振子,特征量：,6,位相 周相,系统的周期性 固有的性质称固有频率,圆频率,相位,初相位,角频率,取决于时间零点的选择,初位相,7,2. 动力学方程以弹簧谐振子为例,设弹簧原长为坐标原点,由牛顿第二定律,令,简谐振动,整理得,8,例1 复摆（物理摆）的振动,对比谐振动方程知：,但若做小幅度摆动 即当,由转动定律,得,一般情况不是简谐振动,时,满足的方程：,9,振动的物理量,固有圆频率,角位移,振动表达式,10,思考:1)证明单摆小幅度摆动时的运动是简谐振动，并求出振动的频率。2）若令一单摆的频率与本例中的复摆的频率相等，单摆的摆长l应为多少？（此摆长l叫复摆的等值单摆长）,11,1）谐振动表达式,从对象的运动规律出发（电学规律 力学规律等）,SHV的标准形式,2）动力学方程,S H V 的判据,12,二. 简谐振动的描述,1.解析描述,13,均是作谐振动的物理量,频率相同,振幅的关系,相位差,超前 落后,14,2.曲线描述,15,3.旋转矢量描述,用匀速圆周运动 几何地描述 S H V,规定,端点在x轴上的投影式,逆时针转,以角速度,16,1） 直观地表达振动状态,当振动系统确定了振幅以后，表述振动的关键就是相位，即表达式中的余弦函数的综量,而旋转矢量图可直观地显示该综量,分析解析式,可知,用图代替了文学的叙述,17,如 文学叙述说，t 时刻弹簧振子质点 在正的端点,旋矢与轴夹角为零, 质点经二分之一振幅处向负方向运动,意味,意味,18,质点过平衡位置向负方向运动,同样,注意到：,19,向正方向运动,或,或,20,由图看出：速度超前位移,加速度超前速度,称两振动同相,2） 方便地比较振动步调,位移与加速度,称两振动反相,若,21,3）方便计算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算例：质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧 组成的弹簧谐振子。 t = 0时，质点过平衡位置且向正方向运动。求：物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的最短时间。,22,解：设 t 时刻到达末态由已知画出t = 0 时刻的旋矢图,再画出末态的旋矢图,由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为因为,得,繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的一个运动关系求得,23,§2 简谐振动的能量 如，弹簧谐振子,系统机械能守恒以弹簧原长为势能零点,24,1) 普适,2) 时间平均值,3) 由简谐振动能量求振动,25,例 劲度系数为k的轻弹簧挂在质量为m，半径为R的匀质圆柱体的对称轴上，使之作无滑动的滚动。,证明：圆柱体的质心作谐振动 并求出谐振动的角频率,有时由谐振动能量求谐振动的特征量会更方便,26,弹簧原长处为坐标原点设原点处为势能零点质心在xc时系统的机械能为,解：分析振动系统机械能守恒 建坐标如图,（注意上式中的是刚体转动的角速度）,27,两边对t求导数得,将,代入上式,得,28,与动力学方程比较知，物理量xc的 运动形式是谐振动,方便,圆频率,周期,29,§3 阻尼振动与阻尼受迫振动 一. 阻尼振动 二 .受迫振动 三.共振,30,一. 阻尼振动 1.阻尼振动 系统在振动过程中 受到粘性阻力作用后 能量将随时间逐渐衰减 系统受的粘性阻力与速率成正比 比例系数 叫阻力系数 关系式为:,31,令,称阻尼因子,系统固有频率,2.阻尼振动的动力学方程,由牛顿第二定律有,整理得,式中,32,如果无阻尼,是谐振动的形式,存在阻尼,仍振动但能量会衰减,如果能振动起来（欠阻尼情况），上述方程的解是什么形式呢？从物理上考虑：,阻尼振动方程为,3.振动表达式,33,所以，解的形式必定是在谐振动的基础上乘上一衰减因子，即形式为：,可以证明：,34,35,二 .受迫振动 1.受迫振动振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动 2.受迫振动的动力学方程 设驱动力按余弦规律变化 即,由牛顿第二定律有,36,整理得,其中,固有频率,阻尼因子,37,3.稳定状态的振动表达式 受迫振动系统达到稳定时 应做与驱动力频率相同的谐振动 其表达式为：,用旋矢法可求出上式的A和,38,39,画任意时刻旋矢图,由旋矢图可知：,得,位移与驱动力的相位差,40,在弱阻尼即 << 0的情况下，,系统的振动速度和振幅都达到最大值 共振。,当 = 0时，,三.共振,共振现象普遍有利有弊,160年前，拿破仑入侵西班牙 桥塌几十年后，圣彼德堡卡坦卡河1940年，美国，桥，大风，流速,演示共振,41,小号发出的波足以把玻璃杯振碎,42,1940年华盛顿的塔科曼大桥建成,同年7月的一场大风引起桥的共振,桥被摧毁。,(视频再现桥塌过程),43,§4 简谐振动的合成一.振动方向相同 振动频率相同的 两个SHV的合成二.振动方向相同 振动频率相同 振幅相同 相邻相位差相同 的N个SHV的合成三. 振动方向相同 频率略有差别的 振幅相等的 两个SHV的合成四. 两个垂直方向谐振动的合成五.谐振分析,44,当一个物体同时参与几个谐振动时 就需考虑振动的合成问题 本节只讨论满足线性叠加的情况 本节所讨论的同频率的谐振动合成结果 是波的干涉和偏振光干涉的重要基础 本节所讨论的不同频率的谐振动合成结果 可以给出重要的实际应用,45,一.振动方向相同 振动频率相同的 两个SHV的合成,结果：仍是谐振动振动频率仍是,振动的振幅,（双光束干涉的理论基础）,46,若,反相，合振动减弱,同相，合振动加强,特殊结果：,若,若,两振动同相两振动反相,可能的最强振动“振动加振动”不振动,47,二. 振动方向相同 振动频率相同 振幅相同 相邻相位差相同 的N个SHV的合成,48,线性相加,用旋矢法求解,由图得,49,一般情况,特例1）,主极大,2）,的倍数的整数,极小,50,3）,次极大,（多光束干涉的理论基础）,51,例：三个同频率 同振幅A0 同方向的SHV相邻相位差为 /3 求：合振幅A,解：画旋矢图,/3,由图很容易得到 A = 2A0,或将已知条件代入公式,得出结果（请自解）,52,三. 振动方向相同 频率略有差别的 振幅相等的 两个SHV的合成 拍分振动：,线性相加：,结论： 合成已不再是谐振动 但考虑到 1 2 可以用 谐振动表达式等效，加深认识。,53,分析：,<<,则,较,随时间变化缓慢,将合成式写成谐振动形式,54,合振动可看做是振幅缓变的谐振动合成振动如图示,表达式为,55,拍 合振动的周期性的强弱变化叫做拍 拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频,测未知频率的一种方法,由式,得,演示两音叉拍,56,四. 两个垂直方向谐振动的合成1. 同频率的谐振动合成,线性相加：,轨迹方程是椭圆,即，合成的一般结果是椭圆,57,不同，椭圆形状、旋向也不同。,58,例1 用旋矢法作图,59,2.频率比是简单的正整数,合成轨迹为稳定的闭合曲线李萨如图,例如左图：,应用：测定未知频率,演示垂直合成,60,五.谐振分析,利用付里叶分解，可将任意振动分解成若干SHV的叠加(合成的逆运算）。,对周期性振动：,T 周期，,k = 1 基频（）,k = 2 二次谐频（2）,k = 3 三次谐频（3）,决定音调,决定音色,高次谐频,61,x2n = 0 , n = 1 , 2 , 3 , ,方波：,思考：有时赞誉一歌唱家：“声音洪亮，音域宽广，音色甜美”。这各指什么物理因素?,62,我国古代对“共振”的认识：,蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，,公元五世纪天中记：,问张华。,张华曰：此盘与宫中钟相谐，,故声相应，,可改变其薄厚。,第19章结束,63,