高考领航卷四数学理.doc

【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流高考领航卷四数学理.精品文档.2012年普通高等学校招生全国统一考试领航卷（四）数 学（理科）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）复数（是虚数单位）在复平面内的对应点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2）函数是（A）最小正周期为的偶函数（B）最小正周期为的偶函数（C）最小正周期为的奇函数（D）最小正周期为的奇函数（3）的展开式中，常数项等于15，则实数（A）1（B）（C）2（D）2（4）对任意非零实数、，规定的运算原理如图所示，则（A）（B）（C）1（D）（5）已知、是不共线的向量，则A、B、C 三点共线的充要条件是： （A）（B）（C）（D）（6）一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积为（A）48cm（B）80cm（C）100cm（D）144cm（7）与直线和圆都相切且半径最小的圆的方程是（A）（B）（C）（D） （8）已知等差数列的前项和为，若，则的值为（A）10（B）20（C）25（D）30（9）已知点满足约束条件，若函数(且)图象通过的定点是，则的最大值为（A）1（B）（C）2（D）4（10）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点P，若（是坐标原点），则双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）（11）电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.80，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是（A）0.75（B）0.60（C）0.48（D）0.20（12）已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）正四棱椎PABCD的顶点都在同一个球面上，若底面ABCD的外接圆是球的大圆，异面直线PA与BC所成的角是 ；（14） ； （15）过抛物线准线上任一点作抛物线的两条切线，切点分别为、，若是坐标原点，则 ；（16）已知函数存在零点，则实数的取值范围是 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知的内角、所对的边分别为、，且（I）若，的面积，求、的值;（II）若，求的值（18）（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧棱底面，为线段上的动点（I）求证：；（II）若四面体的体积为，求二面角的余弦值（19）（本小题满分12分）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示（I）估计这次测试数学成绩的平均分；（II）假设在90，100段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望 （20）（本小题满分12分）点M在椭圆上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F（I）若圆M与y轴相交于A、B两点，且ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程；（II）已知点F（1，0），设过点F的直线l交椭圆于C、D两点，若直线l绕点F任意转动时，恒有成立，求实数的取值范围（21）（本小题满分12分）设曲线：（），表示导函数（I）求函数的极值；（II）数列满足，求证：数列中不存在成等差数列的三项；（III）对于曲线上的不同两点，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑（22）（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，O与P相交于A、B两点，圆心P在O上，O的弦BC切P于点B，CP及其延长线交P于D，E两点，过点E作EFCE，交CB的延长线于点F （I）求证：四点B、P、E、F共圆；（II）若，求出由四点B、P、E、F所确定圆的直径（23）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程直线方程是，曲线的极坐标方程是（I）分别求直线和曲线的参数方程； （II）求直直线和曲线交点的直角坐标（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数（I）解不等式；（II）若，求证：2012年普通高等学校招生全国统一考试领航卷（四）数学（供理科考生使用）试题参考答案和评分标准评分说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一、选择题 （1）B （2）C （3）B （4）C （5）D （6）B（7）D （8）D （9）C （10）A （11）A （12）A二、填空题 （13） （14） （15） （16） 三、解答题（17）（本小题满分12分）解：（I）， （2分），. （4分）. （6分）（II）， （8分）由正弦定理，得 （10分）， （12分）（18）（本小题满分12分）解：（I）证明：连结，侧棱底面ABC，又平面又平面， （2分），四边形为正方形，平面 （4分）又平面， （6分）（II）且平面， 由，知，解得，是的中点 （8分）（方法1）如图，以为原点，建立空间直角坐标系-xyz，设AP=x，则、知面的一个法向量为设面的一个法向量为，由 ，得 ，令，则， （10分）依题意：二面角是锐二面角，二面角的余弦值是 （12分）（方法2）连结，则，是二面角的平面角， （10分）在直角三角形中 ，即二面角的余弦值是 （12分）（19）（本小题满分12分）解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. （4分）所以，估计这次考试的平均分是72分 （6分）（II）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是，有15种结果，学生的成绩在90，100段的人数是0.005×10×80=4（人），这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是，两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率 （8分）随机变量的可能取值为0、1、2、3，且变量的分布列为：0123P （10分） （12分）（或) （20）（本小题满分12分）解：（I）ABM是边长为2的正三角形，圆的半径r=2，M到y轴的距离 （2分）又圆M与x轴相切，当 （4分）解得a=3或a=1（舍去），则 故所求椭圆方程为 （6分）（II）（方法1）当直线l垂直于x轴时，把x=1代入，得解得（舍去），即 （8分）当l不垂直x轴时，设，直线AB的方程为得则 得恒成立 （10分）由题意得，恒成立 当不是恒成立的当，恒成立当恒成立,解得综上，a的取值范围是 （12分）（方法2）设当直线CD与x轴重合时，有恒有（8分）当直线C不与x轴重合时，设直线CD的方程为整理得恒为钝角，则恒成立 （10分）又恒成立，即恒成立当时，解得综上，a的取值范围是 （12分）（21）（本小题满分12分）解：（I），得当变化时，与变化情况如下表：0单调递增极大值单调递减当时，取得极大值，没有极小值； （4分）（II）， （6分）假设数列中存在成等差数列的三项，则，因此，数列中不存在成等差数列的三项 （8分）（III）（方法1），即，设，是的增函数，是的增函数，函数在内有零点， （10分）又，函数在是增函数，函数在内有唯一零点，命题成立（12分）（方法2），即，且唯一设，则，再设，在是增函数，同理方程在有解 （10分）一次函数在是增函数方程在有唯一解，命题成立（12分）注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线不存在拐点，不给分。（22）（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲证明：（I）连结PB.BC切P于点B，PBBC.又EFCE，且PCB=FCE，RtCBPRtCEF，CPB=CFE，EPB+EFB=180°，四点B，P，E，F共圆（5分）（II）四点B，P，E，F共圆，且EFCE， PBBC，此圆的直径就是PF.BC切P于点B，且，由切割线定理，得：CE=4，DE=2，BP=1.又RtCBPRtCEF，EF:PB=CE:CB， 得.在RtFEP中，即由四点B，P，E，F确定圆的直径为 （10分）（23）（本小题满分10分）选修41：坐标系与参数方程解：（I）直线的参数方程为， （2分）(或；或.等形式均可曲线的参数方程是（为参数） （5分）（II）直线的普通方程为，曲线普通方程为， （7分）联立，解得交点的直角坐标为 （10分）（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲解：（I）原不等式可化为当时，不等式化为，此时；当时，不等式化为，此时；当时，不等式化为，此时 综上可得：原不等式的解集为 （5分）（II） （8分），当时取等号，因此 （10分）