上海交通大学《矩阵分析》试卷(A)(2004.doc

上海交通大学上海交通大学矩阵分析矩阵分析试卷试卷(A)(2004.01.09)一、单项选择题一、单项选择题(每题每题 3 分，共分，共 15 分分)AAABC1. 设设 F 是数域，是数域，则，则(,)mnHom FFA.dim(Im)dim(ker)mB.dim(Im)dim(ker)nC.dim(Im)dim(ker)mD.dim(Im)dim(ker)n2. 设设 M 是是 n 阶实数矩阵，若阶实数矩阵，若 M 的的 n 个盖尔圆彼此分离，则个盖尔圆彼此分离，则 MA. 可以对角化可以对角化 B. 不能对角化不能对角化 C. 幂收敛幂收敛 D. 幂发散幂发散 3. 设设，则，则 A=22222212121344 00 033ttttttAttttteeeteee ee eeeA. B. C. D. 214 020 031 114 010 061 224 020 031 204 020 061 4. 设设收敛，则收敛，则 A 可以取为可以取为 1( )( 1)kk kAf AkA. B. C. D. 00 91 00 91 10 11 10 21 5. 设设 3 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足, 且其最小多项式且其最小多项式 m(x)242(4 ) (3 )AEAEO满足条件满足条件为某实数，则为某实数，则 A 可以相似于可以相似于2(1) (2) (3)1,mmmaa A. B. 200 130 002M200 120922M C. D. 200120022M 200 030 013M 二、填空题二、填空题(每题每题 3 分，共分，共 15 分分)6. 设设 5 阶复数矩阵阶复数矩阵 A 的最小多项式为的最小多项式为,则则22( )(1)(2)f 1 ; 1 .(其中其中表示共轭转置表示共轭转置)*dim()N Adim( )R A*A7. 设设 ，则，则 E2(cos1-1)A 。220AAcos2A8. 设矩阵设矩阵，则，则的谱半径为的谱半径为4231142331422314A BAE321/2+31/2 。9. 已知已知,则幂级数则幂级数收敛，且其和为收敛，且其和为A(E-A)n nAC( )1A 0kkkA-2 。10.设设 A 为为 2 阶矩阵阶矩阵,使得使得,则则 A 的谱的谱 (A)=1,2。220Aeeeee三、计算题三、计算题(每题每题 14 分，共分，共 56 分分)11. 求求到自身的一个线性变换到自身的一个线性变换及其在某个基下的矩阵，使得及其在某个基下的矩阵，使得3C的像的像 Im包含向量包含向量,而而的核的核 Ker由向量由向量11 1 , 0 01 生成生成. 又又, 这样的线性变换是否唯一这样的线性变换是否唯一?为什么为什么?0 1 1解解 设题中给出的三个向量依次为设题中给出的三个向量依次为 1， 2， 3。取。取的一组基的一组基3C为为。构造。构造到自身的一个到自身的一个映映1233100 0 ,1 ,1 0013C射为射为：，再将，再将线性拓展到整个线性拓展到整个11223,0上。则上。则是满足题意的一个线性变换。是满足题意的一个线性变换。3C上述线性变换显然不是唯一的（实际上有无穷多个）：比如，上述线性变换显然不是唯一的（实际上有无穷多个）：比如，将上面的线性变换第一个基元素的像与第二个基元素的像对调，即将上面的线性变换第一个基元素的像与第二个基元素的像对调，即可得一个新的满足题意的线性变换。原因在于除去可得一个新的满足题意的线性变换。原因在于除去 k（k 是任是任0 1 1意复数）的像（意复数）的像（0）确定外，其与相邻的像不是完全确定的。）确定外，其与相邻的像不是完全确定的。12. 复数域复数域 C 是实数域是实数域 R 上的上的 2 维线性空间维线性空间. 试定义试定义 C 上的一个内上的一个内积积,使得使得 1 与与成为成为 C 的一个标准正交基；并求的一个标准正交基；并求的长度的长度.1 i1 i解解 对任意对任意 xj+yji C，j=1,2,有有 xj+yji=(xj-yj)··1+yj··(1+i)。为。为使使 1 与与成为成为 C 的一个标准正交基，必要且只要的一个标准正交基，必要且只要1 i=0，=1，=1, 必要且只要必要且只要=(x1-y1) (x2-y2)+ y1y2 .上式定义了一个上式定义了一个 C 上的内积：对称性与正定性是显然的；且由上的内积：对称性与正定性是显然的；且由于该内积还是于该内积还是 x1，x2，y1，y2的二次型，故双线性性质也成立。的二次型，故双线性性质也成立。在上述内积下，向量在上述内积下，向量 x+yi 的长度等于的长度等于(x-y)2+y21/2;因此因此 1i 的的长度为长度为 51/2.13. 设设，试求矩阵，试求矩阵 B 使得使得。152 010 001A 5BA解解 A 的特征值为的特征值为1，1，1。属于。属于1 的特征向量与广义特的特征向量与广义特征向量为征向量为，；属于；属于 1 的特征向量为的特征向量为。令。令1 0 00 1 5 01 0 1，则，则。令。令101 1005 001P1110 010 001PAPJ 110( 1)( 1)0 010 ,0( 1)0 001001nnnnxnx KK故取故取，则则 于是令于是令，则，则1 5x 5.KJ1BPKP。故。故5511BPK PPJPA 1101101015100010050500100100111151011000505001001112 010 . 001B (解法解法 2)更简单地，更简单地，A 的的 Jordan 标准型标准型 J 如上。则为使如上。则为使只要找到只要找到 K 使得使得5BA5150 010 ,001K 于是选于是选110( 1)( 1)0 010 ,0( 1)0 001001nnnnxnx KK从而从而取取，则有，则有这个矩阵与这个矩阵与 A1x 55110150010010 .001001K 的差别仅在于右上角，而这可以利用相似的初等变换得到，即将的差别仅在于右上角，而这可以利用相似的初等变换得到，即将 K的第的第 3 行的行的 1 倍加到第倍加到第 1 行，自然将其第行，自然将其第 1 列的列的1 倍加到第三列倍加到第三列即可：于是，即可：于是，B=PKP1，其中，其中 P 为下面的初等矩阵为下面的初等矩阵101010 ,001P 此时此时112 010 . 001B 14. 设设，求，求。221 111 122A Ate解解 I A 的的 Jordan 标准形与过渡矩阵分别为标准形与过渡矩阵分别为。100111 011 ,010 001110JP因此因此111100011 0100010 11000121(1)2 (12 ). 2(1)AtJttttttttttttttePe Pe ete etetete tet ete tetete 解解 2 利用利用 A 的最小多项式的最小多项式(x-1)2. 可知必有一次多项式可知必有一次多项式 f(x)=ax+b,使得使得 f(A)即为所求。由即为所求。由 a+b= f(1)= 与与 a=f(1)=可知可知 b=.于于tette(1)tt e是是(1)2 (1)(12 ). 2(1)tttAttttttttttetete ete At e Etet ete tetete 四、证明题四、证明题(14 分分)15.设设是是 n 阶复数矩阵，阶复数矩阵，是由是由 A 的元素取模的元素取模()ijn nAa()ijn nBa后得到的矩阵。设对一切欧几里德范数为后得到的矩阵。设对一切欧几里德范数为的复向量的复向量均有均有nx，证明，证明可逆，并求其逆。可逆，并求其逆。*1x Bx 32EA证明 由于(取=(1,1,1)T即可)。故， ,1|1n T ij i jBa( )1A因此矩阵因此矩阵 A 的特征值的模均小于的特征值的模均小于 1，从而矩阵，从而矩阵的特征值的32EA模均大于,从而可逆。进一步，矩阵幂级数从而可逆。进一步，矩阵幂级数32 ( )0A收敛，其和恰为收敛，其和恰为2222 333n EAAA ，因此1 123(32 )3EAEA 。1(32 )EA21222 3333n EAAA