江苏省高淳高级中学届高三质量检测数学试题.doc

求递推数列通项公式的十种策略例析求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略 将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推 导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中 颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加 法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方 法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。一、利用公式法求通项公式一、利用公式法求通项公式例例 1 已知数列满足，求数列的通项公式。ann n1n23a2a2a1an解：两边除以，得，则，n n1n23a2a1n2 23 2a2ann 1n1n 23 2a2ann 1n1n故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得2ann122 2a1123，所以数列的通项公式为。23) 1n(12annann n2)21n23(a评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列n n1n23a2a23 2a2ann 1n1n是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列2ann 23) 1n(12ann的通项公式。an二、利用累加法求通项公式二、利用累加法求通项公式例例 2 已知数列满足，求数列的通项公式。an1a1n2aa1n1n，an解：由1n2aan1n得1n2aan1n则112232n1n1nnna)aa ()aa ()aa ()aa (a1) 1n(2n) 1n(21) 1n( 12)2n() 1n(21) 112() 122( 1)2n(2 1) 1n(2 所以数列的通项公式为an2 nna评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出1n2aan1n1n2aan1n，即得数列的通项公式。112232n1n1nna)aa ()aa ()aa ()aa (an例例 3 已知数列满足，求数列的通项公式。an3a132aa1n n1n，an解：由132aan n1n得132aan n1n则112232n1n1nnna)aa ()aa ()aa ()aa (a3) 1n()3333(23) 132() 132() 132() 132(122n1n122n1n所以1n32n31332annn评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进132aan n1n132aan n1n而求出，即得数列的通项公式。112232n1n1nna)aa ()aa ()aa ()aa (an例例 4 已知数列满足，求数列的通项公式。an3a132a3a1n n1n，an解：两边除以，得132a3an n1n1n3，1nnn 1n1n 31 32 3a3a则，1nnn 1n1n 31 32 3a3a故3a)3a3a()3a3a()3a aa()aa3a(3a1 11 22 3n3n 2n2n 2n2n1n1n1n1n nn nn 33)31 32()31 32()31 32()31 32(22n1nn1)31 31 31 31 31(3) 1n(222n1nnn因此，n1n nnn 321 21 3n2131)31 (313) 1n(2 3a 则213213n32ann n评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，132a3an n1n1nnn 1n1n 31 32 3a3a进而求出+，即得数列的通)3a3a()3a3a()3a3a(3n3n 2n2n 2n2n 1n1n 1n1n nn 3a)3a3a(1 11 223ann项公式，最后再求数列的通项公式。an三、利用累乘法求通项公式三、利用累乘法求通项公式例例 5 已知数列满足，求数列的通项公式。an3aa5) 1n(2a1nn 1n，an解：因为，所以，则，3aa5) 1n(2a1nn 1n，0annn1n5) 1n(2aa则1 12232n1n1nn naaaaaaaaaa35) 11 (25) 12(25) 12n(25) 11n(2122n1n3523) 1n(n212)2n()1n(1n所以数列的通项公式为an!n523a2)1n(n 1n n 评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出nn 1na5) 1n(2ann1n5) 1n(2aa，即得数列的通项公式。1 12232n1n1nnaaa aa aa aaan例例 6 （2004 年全国 15 题）已知数列满足an) 1n(a3a2aa1a321n1，则的通项)2n(a ) 1n(1nan 2n2!n1n1 an，解：因为)2n(a ) 1n(a3a2aa1n321n所以n1n3211nnaa ) 1n(a3a2aa所以式式得nn1nnaaa则)2n(a ) 1n(an1n则)2n( 1naan1n所以2 232n1n1nn naaa aa aaa22a2!na34) 1n(n由，取 n=2 得，则，又知)2n(a ) 1n(a3a2aa1n321n212a2aa12aa，则，代入得1a11a2。2!nn5431an评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为（n2） ，进)2n(a ) 1n(an1n1naan1n而求出，从而可得当 n2 时的表达式，最后再求出数列的通项2 232n1n1nnaaa aa aanaan公式。四、利用待定系数法求通项公式四、利用待定系数法求通项公式例例 7 已知数列满足，求数列的通项公式。an6a53a2a1n n1n，an解：设)5xa (25xan n1n 1n 将代入式，得，等式两边消去，n n1n53a2an n1nn n5x2a25x53a2 na2得，两边除以，得，则 x=1，代入式，n1nn5x25x53n5x25x3得)5a (25an n1n 1n 由0 及式，得，则，则数列是以1565a1 105an n25a5an n1n 1n 5an n为首项，以 2 为公比的等比数列，则，故。15a1 11nn n215an1n n52a评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从n n1n53a2a)5a (25an n1n 1n 而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的5an n5an nan通项公式。例例 8 已知数列满足，求数列的通项公式。an1a425a3a1n n1n，an解：设)y2xa (3y2xan n1n 1n 将代入式，得425a3an n1n)y2xa (3y2x425a3n n1nn n整理得。y32x3y42)x25(nn令，则，代入式，得 y3y4x3x25 2y5x)225a (3225an n1n 1n 由及式，013121225a1 1得，则，0225an n3225a225an n1n 1n 故数列是以为首项，以 3 为公比的等比数列，因此225an n13121225a1 1，则。1nn n313225a225313an1n n评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为425a3an n1n，从而可知数列是等比数列，进而求出数列)225a (3225an n1n 1n 225an n的通项公式，最后再求数列的通项公式。225an nan例例 9 已知数列满足，求数列的通项公式。an1a5n4n3a2a12 n1n，an解：设z) 1n(y) 1n(xa2 1n)zynxna (22 n将代入式，得5n4n3a2a2 n1nz) 1n(y) 1n(x5n4n3a222 n，则)zynxna (22 nz2yn2xn2a2)5zyx(n)4yx2(n)x3(a22 n2 n 等式两边消去，得，na2z2yn2xn2)5zyx(n)4yx2(n)x3(22则得方程组，则，代入式，得 z25zyxy24yx2x2x318z10y3x18) 1n(10) 1n(3a2 1n)18n10n3a (22 n由及式，得0323111811013a2 1018n10n3a2 n则，故数列为以218n10n3a18) 1n(10) 1n(3a2 n2 1n18n10n3a2 n为首项，以 2 为公比的等比数列，因此323111811013a2 1，则。1n2 n23218n10n3a18n10n32a24n n评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为5n4n3a2a2 n1n，从而可知数列是)18n10n3a (218) 1n(10) 1n(3a2 n2 1n18n10n3a2 n等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。18n10n3a2 nan五、利用对数变换法求通项公式五、利用对数变换法求通项公式例例 10 已知数列满足，求数列的通项公式。an5 nn 1na32a7a1an解：因为，所以。在式两边取常用对数7aa32a15 nn 1n，0a0a1nn，5 nn 1na32a得2lg3lgnalg5algn1n设)yxna(lg5y) 1n(xalgn1n11将式代入式，得，两边消去11)yxna(lg5y) 1n(x2lg3lgnalg5nn并整理，得，则nalg5y5xn52lgyxn)x3(lg，故 y52lgyxx5x3lg 42lg 163lgy43lgx代入式，得11 42lg 163lg) 1n(43lgalg1n)42lg 163lgn43lga(lg5n12由及式，042lg 163lg143lg7lg42lg 163lg143lgalg112得，042lg 163lgn43lgalgn则，542lg 163lgn43lgalg42lg 163lg) 1n(43lgalgn1n 所以数列是以为首项，以 5 为公比的等比42lg 163lgn43lgalgn42lg 163lg 43lg7lg数列，则，因此1n n5)42lg 163lg 43lg7(lg42lg 163lgn43lgalg42lg 63lgn43lg5)42lg 163lg 43lg7(lgalg1n n1n41 61 41 5)2lg3lg3lg7(lg)233lg(5)2337lg(2lg3lg3lg41 161 4n 1n41 161 41 41 161 4n 1n41 161 41 5)2337lg(，则)237lg()2337lg()233lg(415 161n4n5 1n5415 1615 4n5 1n541 161 4n1n1n1n1n 。415 161n4n5 5 n1n1n237a评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为5 nn 1na32a，从而可知数列)42lg 163lgn43lga(lg542lg 163lg) 1n(43lgalgn1n是等比数列，进而求出数列的通项公式，42lg163lgn43lgalgn42lg 163lgn43lgalgn最后再求出数列的通项公式。an六、利用迭代法求通项公式六、利用迭代法求通项公式例例 11 已知数列满足，求数列的通项公式。an5aaa12)1n(3 n1nn ，an解：因为，所以n2)1n(3 n1naa 1n2n1n2n32)1n(3 2n2n3 1nna aa 2)1n(n 1n)1n()2n()3n(211n)1n()2n()3n(3)1n()2n(23n)1n()2n(22!n3 12n)1n()2n(323 12n)1n)(2n(3 3n2n)1n(32)2n(3 3n2n)1n(3 2naaaa a 又，所以数列的通项公式为。5a1an2)1n(n 1n2!n3 n5a 评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘n2)1n(3 n1naa nn 1nalg2) 1n(3algnn1n2) 1n(3algalg法可推知，从而2)1n(n 1n2!n3 1 12232n1n1nn n5lgalgalgalg algalg algalg algalgalg 2)1n(n2!n3n1n 5a 七、利用数学归纳法求通项公式七、利用数学归纳法求通项公式例例 12 已知数列满足，求数列的通项公式。an98a)3n2() 1n2() 1n(8aa122n1n，an解：由及，得22n1n)3n2() 1n2() 1n(8aa98a12212)312() 112() 11 (8aa2524 25928 984948 492538 2524)322() 122() 12(8aa22238180 814948 4948)332() 132() 13(8aa2234由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。22n) 1n2(1) 1n2(a（1）当 n=1 时，所以等式成立。98 ) 112(1) 112(a221（2）假设当 n=k 时等式成立，即，则当时，22k) 1k2(1) 1k2(a1kn22k1k)3k2() 1k2() 1k(8aa222222222222222222)3k2() 1k2() 1k2()3k2() 1k2()3k2() 1k2() 1k(8)3k2()3k2() 1k2()3k2() 1k2() 1k(8)3k2(1) 1k2()3k2() 1k2() 1k(8 ) 1k2(1) 1k2(2222 1) 1k(21 1) 1k(2 )3k2(1)3k2( 由此可知，当 n=k+1 时等式也成立。根据（1） （2）可知，等式对任何*Nn评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项 公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、利用换元法求通项公式八、利用换元法求通项公式例例 13 已知数列满足，求数列的通项公式。an1a)a241a41 (161a1nn1n，an解：令，则nna241b) 1b(241a2 nn故，代入得) 1b(241a2 1n1n)a241a41 (161ann1nb) 1b(24141 161) 1b(241 n2 n2 1n即2 n2 1n)3b(b4因为，故0a241bnn0a241b1n1n则，即，3bb2n1n23b21bn1n可化为，)3b(213bn1n所以是以为首项，以为公比的等比数列，3bn2312413a2413b1121因此，则+3，即，得2n1n n)21()21(23b2n n)21(b3)21(a2412n n。31)21()41(32ann n评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化na241nb形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，23b21bn1n3bn3bn最后再求出数列的通项公式。an九、利用不动点法求通项公式九、利用不动点法求通项公式例例 14 已知数列满足，求数列的通项公式。an4a1a424a21a1 nn 1n，an解：令，得，则是函数的两1x424x21x024x20x423x2x21 ，1x424x21)x(f个不动点。因为。，913 27a926a13 ) 1a4(324a21) 1a4(224a2131a424a2121a424a213a2annnnnnnnnn1n1n 3a2ann 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故3a2ann 23424 3a2a11 913 3a2ann ，则。1n)913(23 1)913(21a 1nn 评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个1x424x21)x(f1x424x21x根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求3x2x21 ，3a2a 913 3a2ann1n1n 3a2ann 出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。3a2ann an例例 15 已知数列满足，求数列的通项公式。an2a3a22a7a1 nn 1n，an解：令，得，则 x=1 是函数的不动点。3x22x7x02x4x22)x(f7x41x3 因为，所以3a25a513a22a71annnn 1n，所以数列是以1a11n52 1a1)1a251 (52 1a23a52 5a53a2nnnnnn 1a1n为首项，以为公差的等差数列，则，故。1121 1a1152 52) 1n(11a1n3n28n2an评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，7x41x3)x(f3x22x7x1x 进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通52 1a1 1a1n1n1a1n1a1n项公式，最后求出数列的通项公式。an十、利用特征根法求通项公式十、利用特征根法求通项公式例例 16 已知数列满足，求数列的通项公式。an1aa)2n(aa3a211nn1n，an解：的相应特征方程为，解之求特征根是)2n(aa3a1nn1n0132，所以。253 253 21，253c253ca21n由初始值，得方程组1aa21 2 22 11 21 1)253(c)253(c1)253(c)253(c1求得 5525c5525c21从而。nn n)253(5525)253(5525a评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出，从而可得数列21cc ，的通项公式。an