用二分法求方程的近似解教学案例设计1.doc

用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解教学案例设计教学案例设计一、教学内容分析一、教学内容分析 本节选自普通高中课程标准实验教科书 ·数学 1人教A 版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系。教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系。然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面的体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系。本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系” ；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据。二、学生学习情况分析二、学生学习情况分析 同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法。其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子” 。三、设计理念三、设计理念 本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际理论实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导学生探索相结合的教学方法，注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程。四、教学目标四、教学目标1、理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程； 2、体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生能够探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；3、体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法得到解决的快乐。五、教学重点与难点五、教学重点与难点教学重点是能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解。根所在区间的确定及逼近的思想；难点是对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小。六、教学过程设计六、教学过程设计1教学基本流程图教学基本流程图2教学情景设计教学情景设计教学设学情预设学情预设设计意图设计意图深入探索发现问题提出课题“如 何求函数零点？”经历游戏过程探索一般规律“二分法”解决问题“如何应用二分法求函数的零点”应用所得方法解决实际问题“求出函数的零点”通过练习与作业进行巩固与提高课堂小结将所得到的知识进行归纳整理加入已有的知识链通过游戏感受身边的数学计知识链接知识链接1、大家都看过李咏主持的吧,今天咱也试一回(出示游戏)。2、竞猜中， “高了” 、“低了”的含义是什么？如何确定价格的最可能的范围？3、如何1 1、教师从、教师从学生熟悉的电学生熟悉的电视节目，引导视节目，引导学生体会、分学生体会、分析、归纳迅速析、归纳迅速猜价的方法。猜价的方法。2 2、学生能、学生能够主动参与游够主动参与游戏，并且参与戏，并且参与游戏的同学可游戏的同学可以比较并总结以比较并总结经验。学生会经验。学生会有很多种方案有很多种方案出来。出来。3 3、对于、对于“问题问题 2”2”学学生能够顺利的生能够顺利的得出得出“主持人主持人的的“高了，低高了，低了了”的回答是的回答是 设计意设计意图：图：1 1、利用、利用视屏与游戏的视屏与游戏的形式，学生会形式，学生会踊跃参与；商踊跃参与；商品价格竞猜也品价格竞猜也是学生熟悉的，是学生熟悉的，竞猜的方法会竞猜的方法会很多样，可以很多样，可以进行竞赛；进行竞赛；2 2、通过、通过问题问题 2 2，启发，启发学生寻找确定学生寻找确定区间的依据，区间的依据，为后面探索为后面探索“用二分法求用二分法求方程近似解方程近似解”的时候埋下伏的时候埋下伏笔；笔；才能更快的猜中商品的预定价格？4、 “二分” 的思路是什么？判断价格所在判断价格所在区间的依据区间的依据”这个结论。这个结论。4 4、此时教、此时教师通过师通过“问题问题3”3”引导学生进引导学生进行比较哪种方行比较哪种方法更快更好。法更快更好。从中学生可以从中学生可以得到用二分法得到用二分法解决问题的思解决问题的思路路二分指二分指的是将解所在的是将解所在区间平均地分区间平均地分为两个区间。为两个区间。3 3、通过、通过游戏，让学生游戏，让学生经历游戏过程，经历游戏过程，感受数学来自感受数学来自生活，激发学生活，激发学生的学习兴趣；生的学习兴趣；引导学生善于引导学生善于发现身边的数发现身边的数学，培养学生学，培养学生的归纳演绎的的归纳演绎的能力；学会将能力；学会将实际情景转化实际情景转化为数学模型。为数学模型。4 4、通过比较、通过比较不同的方法得不同的方法得出最快的竞猜出最快的竞猜的方法的方法二二分法；分法； 1、上节课我们学了什么定理，它的作用是1 1、教师通、教师通过过“问题问题 1”1”对上节课的内对上节课的内容进行复习引容进行复习引 设计意设计意图：图：1 1、开门、开门见山，延续上见山，延续上一节课的内容一节课的内容什么？还有什么问题没有解决？2、已知函数62ln)(xxxf在区间（2，3）内存在一个零点；如何求出方程062ln xx在区间（2，3）的近似解（精确度为0.01）？与刚才的游戏是否有类似之处？3、精确度的含义是入，点出今天入，点出今天的课题。并且的课题。并且有前面游戏作有前面游戏作为伏笔，学生为伏笔，学生能够得出能够得出“连连续函数零点存续函数零点存在定理在定理”是判是判断方程的根所断方程的根所在区间的依据。在区间的依据。2 2、通过、通过“问题问题2”2”应用具体的应用具体的题目引导学生题目引导学生进行思考。学进行思考。学生通过引导将生通过引导将方程的解与商方程的解与商品的价格联系品的价格联系到一起，运用到一起，运用刚才的游戏的刚才的游戏的经验，得到缩经验，得到缩小区间的想法。小区间的想法。3 3、学生对、学生对继续深入的研继续深入的研究，使得知识究，使得知识有一个连接让有一个连接让学生能够很容学生能够很容易的将知识建易的将知识建构到旧的知识构到旧的知识体系中。体系中。2 2、运用、运用问题问题 1 1，将学，将学生的思路与前生的思路与前面已解决的问面已解决的问题联系起来，题联系起来，引导学生层层引导学生层层深入，抽丝拨深入，抽丝拨茧，学习如何茧，学习如何分析问题、如分析问题、如何利用新的知何利用新的知识解决问题；识解决问题；培养分析问题、培养分析问题、解决问题的能解决问题的能力，以及运用力，以及运用知识、驾驭知知识、驾驭知什么？怎样的区间才算满足设定的精确度？ 4、区间（2，3）的精确度为多少？ 5、如何将零点所在的范围缩小（即如何将精确度缩小）？缩小的依据是什么？ 6、如何利用今天“猜价格”“二分法”的逼近思想来将缩小区间？精确度的概念精确度的概念可能有所遗忘。可能有所遗忘。教师可以借助教师可以借助数轴解释说明数轴解释说明精确度的含义，精确度的含义，引导学生思考引导学生思考什么时候停止什么时候停止操作。操作。4 4、教师通、教师通过过“问题问题4 46 6”引导学引导学生将生将“二分法二分法”与与“零点存在零点存在定理定理”相结合相结合得到正确的新得到正确的新的零点所在的的零点所在的区间。并确定区间。并确定结束的时间。结束的时间。5 5、学生按、学生按照游戏的方法照游戏的方法也就是按照也就是按照“二分法二分法”的的识的能力。识的能力。3 3、师生师生的互动有利于的互动有利于一边引导一边一边引导一边总结。将二分总结。将二分法应用于解决法应用于解决实际问题，即实际问题，即将新的知识应将新的知识应用于解决新的用于解决新的问题。培养学问题。培养学生实际应用的生实际应用的能力，解决问能力，解决问题的严谨性，题的严谨性，总结知识的逻总结知识的逻辑性。使得最辑性。使得最后方法的总结后方法的总结能够顺利进行。能够顺利进行。4 4、有了有了前面的商品的前面的商品的竞猜过程的经竞猜过程的经历，学生比较历，学生比较7、近似解是多少？思路，不断缩思路，不断缩小零点存在的小零点存在的区间，进行具区间，进行具体操作，填出体操作，填出（附录（附录 1 1）中）中的表格。表格的表格。表格刚开始的前几刚开始的前几行学生可能会行学生可能会比较慢，也有比较慢，也有可能会出错；可能会出错；通过多次的重通过多次的重复以及经验的复以及经验的总结，后面的总结，后面的表格可以正确表格可以正确的、快速的回的、快速的回答出来；使得答出来；使得最后的最后的“应用应用二分法求函数二分法求函数的零点的零点”的方的方法的总结更加法的总结更加顺利。顺利。6 6、对于、对于容易入手，分容易入手，分析比较容易到析比较容易到位，从而降低位，从而降低思维的难度。思维的难度。知识连接：知识连接：1 1、函数零点、函数零点存在定理存在定理 如如果函数果函数在区间在区间)(xfy 上图像是上图像是,ba连续不断的一连续不断的一条曲线，并且条曲线，并且有有，0)()(bfaf那么，函数那么，函数在区间在区间)(xfy 内有零点，即内有零点，即存在存在，),(bac使得使得，0)(cf这个这个 c c 也就是也就是方程方程的的0)(xf根。根。2 2、精确精确“问题问题 7”7”学学生比较不容易生比较不容易得到比较简洁得到比较简洁的结论。教师的结论。教师可以进行解释可以进行解释说明：说明：“由于由于整个区间内的整个区间内的数均满足精确数均满足精确度的条件，因度的条件，因此区间内的所此区间内的所有数均可以作有数均可以作为近似解，但，为近似解，但，区间端点区间端点 a a，b b是已知的值，是已知的值，所以可以取所以可以取 a a或或 b b 作为近似作为近似解。解。 ” ，最后得，最后得到方程的近似到方程的近似解（附录解（附录 1 1 的的表格后面的内表格后面的内容）容） 。度是对同一个度是对同一个量的不同近似量的不同近似数的精确程度数的精确程度的度量。一般的度量。一般是：一个近似是：一个近似数，四舍五入数，四舍五入到哪一位，就到哪一位，就说这个近似数说这个近似数精确到哪一位。精确到哪一位。 1、我们刚才得学生经过老学生经过老 设计意设计意求解过程中有哪些过程是一直重复出现的？2、我们取其一段，大家看如何用数学语言来描述？3、点明求方程的近似解的“二分法”：对于在区间（a，b）上连续不断、且f（a）·f（b）<0 的函数yf（x），通过不断的把方程的解所在的区间一分为二，师师 “问题问题1 12 2” 的提示的提示与引导，可以与引导，可以得到得到“取区间取区间的中点，计算的中点，计算函数值，比较函数值，比较符号，确定新符号，确定新的区间的区间”这样这样的相同的过程。的相同的过程。学生根据学生根据“二分法二分法”的的定义进行归纳定义进行归纳总结：运用二总结：运用二分法求方程的分法求方程的近似解的步骤近似解的步骤（附录（附录 2 2）。）。其中步骤其中步骤 “画图或利用画图或利用函数值的正负，函数值的正负，确定初始区间确定初始区间(a,b)(a,b)，验证，验证图：图：1 1、不断不断的引导，将刚的引导，将刚才的解题过程才的解题过程经过经过“自然语自然语言言数学语数学语言言去其糟去其糟粕取其精华粕取其精华具体步骤具体步骤”的过程，帮助的过程，帮助学生学会归纳学生学会归纳总结的方法。总结的方法。2、课间的课间的及时总结有利及时总结有利于学生对当前于学生对当前所学的内容进所学的内容进行升华，了解行升华，了解自己掌握了什自己掌握了什么知识，在后么知识，在后面的作题中可面的作题中可以有法可依，以有法可依，可以提高解题可以提高解题的正确率，增的正确率，增使区间的两个端点逐步逼近近似解，进而得到近似解的方法叫二分法4、进一步提出问题：运用二分法求方程的近似解的步骤是什么？5、运用二分法的前提是什么（游戏的开始时要先做什么工作）？引例条件的内涵是什么？6、二分f(a)f(b)<0”f(a)f(b)<0” ；学生很有可能学生很有可能会有遗漏。此会有遗漏。此时可以提出时可以提出“问题问题 5”5”引引导学生回忆、导学生回忆、思考，从而得思考，从而得到运用二分法到运用二分法的前提的前提即即步骤步骤。对于对于“问题问题六六”较好的学较好的学生才能回答出生才能回答出来。来。强自信。强自信。3 3、问题、问题六的设计是将六的设计是将学生的思维得学生的思维得到升华，不再到升华，不再停留在技能这停留在技能这一个层次，而一个层次，而是上升为数学是上升为数学思想方法的层思想方法的层次。次。知识链接：知识链接：1 1、运用二分运用二分法的前提是要法的前提是要先判断根在某先判断根在某个所在的区间。个所在的区间。2 2、二分、二分法实际上是一法实际上是一种通过缩小区种通过缩小区间长度寻找解间长度寻找解的一种方的一种方法法 法的实质是什么？它有什么作用?1练习：练习：（1） （2）题为例题仿照题，由同桌协助完成.（3） （4）考察二分法的含义,由同学独立完成,可以寻求帮助.（附录 4）2思考：思考：两道题均为实际应用题,为学有余力的同学提高能力。 （附录4）3 课课练习练习1.1.（1 1） （2 2）经）经过同桌两位同过同桌两位同学合作可以顺学合作可以顺利完成。利完成。 （3 3）（4 4）独立完成）独立完成如果有困难的如果有困难的同学在同伴或同学在同伴或老师的帮助下老师的帮助下可以完成。可以完成。练习练习 2 2 实际实际应用：学有余应用：学有余力的同学与同力的同学与同伴合作探讨，伴合作探讨，也可以解决。也可以解决。 设计意设计意图：图：1 1、不同、不同层次的题目，层次的题目，层层递进，不层层递进，不断提高学生的断提高学生的能力。不仅巩能力。不仅巩固新学的知识，固新学的知识，而且让不同层而且让不同层次的学生得到次的学生得到不同的收获；不同的收获；2 2、培养、培养合作、互助精合作、互助精神；神；3 3、培养、培养学生应用与创学生应用与创新的能力，利新的能力，利用二分法的逼用二分法的逼近思想解决实近思想解决实际问题。际问题。 后作业：后作业：习题 3.1A 组3、4；B 组1、2。请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得你已经掌握了哪些知识？教师通过点教师通过点名提问，学生名提问，学生借助教师的帮借助教师的帮助对整节课进助对整节课进行最后的归纳行最后的归纳总结总结, ,得到以下得到以下两点（两点（1 1）二分）二分法是一种求一法是一种求一元方程近似解元方程近似解的通法。的通法。 （2 2）利用二分法来利用二分法来解一元方程近解一元方程近似解的操作步似解的操作步骤（附录骤（附录 3 3） 。 设计意设计意图：学生的归图：学生的归纳总结的能力纳总结的能力不强需要不断不强需要不断的培养；课后的培养；课后的总结有利于的总结有利于学生对整节课学生对整节课的内容进行升的内容进行升华，了解自己华，了解自己掌握了什么知掌握了什么知识，养成良好识，养成良好的学习习惯，的学习习惯，建立自信心。建立自信心。 教学反思教学反思 1.本节课有两条线本节课有两条线，明线：“从生活实际、从学生熟知的现实生活、从学生喜爱的游戏“竞猜商品的价格”入手，引导学生进入深层的思考如何才能更快更好的赢得游戏？与学生一道进行新知识的探索过程二分法的得来；再将二分法充分的运用在函数零点的求解上；最后将二分法求解函数零点的过程程序化” ；暗线：“生活实际（特殊）二分法的理论（一般）二分法的应用（特殊） ， ” 。让学生经历知识的形成与应用过程，培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，体现数学的基础性、时代性、典型性和可接受性，体会数学来自生活，应用于生活的最高境界，感受数学之美。2. 引入课题的方式，引入课题的方式， （1）从生活中常见现象“商品价格的竞猜”引入；（2）开门见山“继续前面的研究”引入。（附录 1）解：设，先取区间的中)3 , 2(62ln)(xxxxf点，再计算中点的函数值，接着应用“零点存在定理”确定零点所在的区间，从而缩小精确度，得到下表：区间中点中点函数值精确度232.5-0.08370926812.532.750.5116009120.52.52.752.6250.2150808960.252.52.6252.56250.0659833440.1252.52.56252.53125-0.0087867480.06252.531252.56252.5468750.0286171170.031252.531252.5468752.53906250.0099199180.0156252.531252.53906252.535156250.0005677720.0078132.531252.53515622.53320312-0.0041091910.003906552.5332031252.535156252.534179688-0.0017706350.0019532.5341796882.535156252.534667969-0.0006014130.0009772.5346679692.535156252.534912109-1.68157E-050.000488所以，当精确度为 0.01 时，由于|2.539 062 5-2.531 25|=0.0078125<0.01，因此我们可以将 x=2.25 作为函数零点的近似值，也即方程根的近似62ln)(xxxf062ln xx值。（附录 2）二分法求解方程 f(x)=0或 g(x)= h(x)近似解的基本步骤： 画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a,b)，验证f(a)f(b)<0； 求区间(a,b)的中点；)2(11baxx 计算 f(x1)：若 f(x1)=0，则 x1就是函数 f(x)的零点，x1就是 f(x)=0 的根，计算终止；若 f(a) f(x1) 0，则选择区间（a, x1） ；若 f(a) f(x1) 0，则选择区间（x1，b） ； 循环操作、，直到当区间的精确度达到事先指定的精确度（若是要求精确到两端点精确到同一个近似值时才终止计算） 。（附录 3）二分法的过程如下图： D<?输入 ，x1，x2)(,)(2121xfyxxxy=0?y1y<0?x1=xx2=x打印 x结束是是是否否否（附录 4）1练习：练习：（1）应用计算器，求方程 x3+3x-1=0 的一个正的近似解。（2）应用计算器，求方程的近似解。42 xx（3）用二分法判断方程的根的个数（ ）22xxA. 1 B. 2 C. 3 D. 4（4）方程的根的情况 ( )xx10)4lg(A.仅有一根 B.有一正根一负根 C.有两负根 D.无实根2思考：思考：(1)从上海到美国旧金山的海底电缆有 15 个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？(2)一天，我们泉州七中校区与现代中学（分校）校区的电缆线路出了故障， （相距大约 10km）电工是怎样检测的呢？3 课后作业：课后作业：习题 3.1A 组 3、4；B 组 1、2。点评：点评：一个有经验的的教师，应该对挖掘课本知识是非常重视的，挖掘课本知识的根本目的在于让学生学会探索性学习，培养学生的探索能力和创新精神。冯老师本节的教学设计，能够从知识结构、学生的认知结构展开，充分挖掘和体现了本课内容所蕴含的知识技能、思想方法、数学应用、数学文化的教育价值及学习研究解决问题的策略，立足“方程与函数的关系” ，渗透了“算法”和“逼进”的数学思想，程序化的解决问题的策略。从生活游戏“猜价格”引入贴切，通过游戏直观感受二分法的思想，开门见山，延续上一节课的内容继续深入的研究，将本节的知识建构在旧知识的体系中。设计中不管是情境的创设，还是教师的引导和数学活动的设置，都能从学生的实际出发，让学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思建构等思维的全过程。在设计中还注意到数学的应用意识，思考题中把“二分法”应用到电缆线故障点的检修，提升了数学方法的重要性和普遍性，体现了数学与生活的联系。纵观本节的整体设计，内容安排简洁精致有层次，教法选择合理丰富有重点，过程设计紧凑有序可操作。