利用函数的概念和性质解题.doc

1利用函数的概念和性质解题利用函数的概念和性质解题函数是高中数学的重要内容，函数的观点和方法贯穿高中数学的全过程，江苏数学考试说明对函数的概念，函数的基本性质要求都是理解，是 B 级考点.理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大(小)值的概念及其几何意义，了解函数奇偶性的含义.一、函数的概念函数由定义域、值域、对应法则构成，其中起决定作用的是定义域、对应法则.具体要求是：理解函数的概念，了解构成函数的要素(定义域、值域、对应法则)，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.例 1.下列函数：；21( )|1|xg xx-=+21(1)( )|1|2(1)xxg xxxìï-ï¹ -ïï=+íïï= -ïï î1(0)( )1(0)xxg xx xì->ïï=íï -£ï î.其中与表示同一函数的是 ( )1g xx=-( )|1|f xx=-分析：判定两个函数是否表示同一个函数，也就是利用函数的概念看一看定义域、值域、对应法则三要素是否对应相同，只要有一项不同就不是同一函数.解题思路是先求函数的定义域，再化简解析式，然后判断解：函数的定义域为，的定义域为，与不同；1(1)( )|1|1(1)xxf xxx xì-³ïï=-=íï -1a ¹1,0-0,1为 .分析：本题是已知函数类型，利用待定系数法求函数解析式问题，只需将函数图象上两点的坐标带入函数解析式，得到关于字母常数、的两个等式进行求解.ab解：因为函数（且）的图像过两点（）和（） ，)(logbxya0a>1a ¹1,0-0,1所以，即，解得.0log ( 1)1log (0)aabbì=-+ïïíï =+ï îlog (1)0log1aabbì-=ïïíï=ï î2ab=因此，该函数解析式为.2log (2)yx=+评注：通常使用待定系数法求函数解析式的关键在于列出方程组求解析式，但很多求解析式的问题不一定给出是哪一种类型的函数.特别地，在分段函数的解析式的求解过程中，书写一些分段函数的结论防止形式上的错误.练习：已知函数，且，则的值为 .( )f xaxb=+(3)7f=(5)1f= -(1)f解：，解得，所以，(3)37 (5)51fab fabì=+=ïïíï=+= -ï î419abì= -ïïíï=ï î( )419f xx= -+因此，.(1)15fab=+=四、函数的单调性判断函数的单调性或求函数的单调区间的一般方法有：（1）定义法；（2）图象观察法；（3）利用已知函数的单调性；（4）利用复合函数的单调性法则；(5)利用导数法利用定义法的关键是对的整理、化简、变形和符号的判断，其中变形的策略有因式分解、配方、分子 (分母)有12()()f xf x-理化等例 4.已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 . 51 2a( )xf xamn( )( )f mf nmn分析：考查指数函数的单调性.解： ，函数在 R 上递减。由得：ma1a>五、函数的最值函数的值域是函数值的取值范围，它是一个集合，函数的值域取决于定义域和对应法则，无论采用什么方法求函数的值域均应首先考虑其定义域；函数的最值是函数值的最大值与最小值的那一个值，它是函数值域中的一个元素；函数一定要有值域，但不一定有最值，函数的最值一定在函数的值域中.例 5.已知函数（其中为实数） ，则函数的最小值为 .2( )2()|f xxxaxa=+-a( )f x分析：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.解：当时，；当时，xa22( )32,f xxaxa22min( ),02,0 ( )2( ),0,033f a aaa f xaafaaxa.22( )2,f xxaxa2min2(),02,0( )( ),02,0fa aaaf xf a aaa综上，函数的最小值为.( )f x22min2,0 ( )2,03aa f xaa 评注：求函数的最值可变换形式利用函数的单调性、基本不等式或导数法，但在变化过程中，要掌握一些变化方法，如分式法，换元法等，这是解决此类问题的关键已知函数在某个区间上的单调性，求参数的取值范围，为单调性的逆向思维问题，往往转化恒成立问题，是考查函数单调性相关问题的一个重点此外，只研究复合函数相关恒成立问题，在导数中还会遇到练习：已知函数，则该函数的最大值为 ，最小值为 .2( )21f xxx=- 1,1xÎ -解：函数，对称轴为，所以函数在上单调递减，因此，22( )21(1)2f xxxx=-=-1x= 1,1-函数的最大值为，最大值为.( 1)2f -=(1)2f= -六、函数的奇偶性函数的奇偶性问题，主要是考查奇（偶）函数的定义，要求能准确理解定义并作出判断，要求达到“快而精准”，对一些典型的函数应当加以记忆例 6.设是奇函数，则使的的取值范围是 .2( )lg()1f xax( )0f x x5分析：利用函数奇偶性的定义求出常数的值，确定函数的解析式，再利用解析式求解实数的取ax值范围.解：由，得，所以，得，.(0)0f=1a = -011lg)(xxxf 111011xxxx10x-<<评注：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，再研究与的关系.若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程(要保()fx-( )f x证定义域不变)分段函数通过作图象可直接看出其奇偶性，但是不严格，应利用定义判断出此函数的奇偶性；无理式可考虑分母有理化练习：已知函数是偶函数，则实数的值为 .2( )1f xxmxm解：因为函数是偶函数，所以，2( )1f xxmx()( )fxf x-=即恒成立，所以.2211xmxxmx 0m=