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级数运算中的几个小技巧Pb07210229 詹金春级数含有无穷多项，它的运算要讲究方法，否则运算量将会令我们望而却步。下面我举几个例子讲述一些小技巧。例 1 将函数 f(x)=exsinx 展开成 x 的幂级数。解：方法一 因为 ex=，, = 0！ < <+ Sinx=xn， = 0（ 1）2 + 1（2 + 1）！= = 02！ < <+ 应用幂级数的乘法运算得exsinx= = 02！+ 1 （ 1）2（ 1）！+12！（ 2）2（ 2）！+ 1（ 1）！2 1=(计算过程相当复杂，数学公式输入有难度，这里从略)=） = 0（2 /2 2！方法二 由欧拉公式 eix=cosx+isinx，有 sinx=（eix -e-ix）/2i 所以exsinx=ex（eix -e-ix）/2i=（e(i+1)x -e（1-i）x）/2i=1/2i = 01！（） （ ） = 0（2 /2 2！， < <+ 比较两种方法，注意到 sinx=（eix -e-ix）/2i 就可以明显减少计算量。例 设（）.求 fn（0） 解 由函数幂级数展开的唯一性，我们可以利用函数的幂级数展开求导数在指定的各阶导数值。f(x)=2x/(1+x4)=2x = 0( 1)4= = 0( 1)24 + 1, 1 < < 1两边从 0 到 x 积分得 0f(x) = () (0)= = 0( 1)24 + 1= = 0( 1)2 4 + 24 + 2所以 f(x)=f(0)+ = 0( 1)2 4 + 24 + 2= + 4 = 0( 1)2 4 + 24 + 2因此 f(4n+2)(0)=(4n+2)!(-1)n/(2n+1),n=0,1,2, 其他的 f(n)(0)=0本题若直接求，明显会比上述方法难算。例 3 设 f(x)=x4/(1+x3),求 f(10)(0).解：因为 1/(1+x)=,-1<x<1 = 0( 1)所以 1/(1+x3)=, -1<x<1 = 0( 1)3所以 x4/(1+x3)= = 0( 1)3 + 4, - 1< x < 1f(3n+4)(0)=,n=0,1,2,( 1)(3 + 4)! n=2 时，f(10)(0)=10！总结上面三题用到的小技巧如下：1 注意到 sinx=（eix -e-ix）/2i，可将 sinx 用 ex形式展开。2 由函数幂级数展开的唯一性，且级数为多项式时，各阶导数容易求，我们可以利用函数的幂级数展开求导数在指定的各阶导数值。3 将 x4单独提出来，不参与级数展开，利用基本函数的泰勒展开。这些只是众多小技巧中的一小部分，我们应该做学习上的有心人，不断积累这些小技巧，就可以教简洁地解决许多题目。