平面向量（向量的概念、向量的运算、平面向量的坐标运算.doc

广东省高职考试网www.gkwedu.com广东省 3+证书考试网1平面向量（向量的概念、向量的运算、平面向量的坐标运算、平移公式、中点 坐标公式、两点距离公式化） 一、知识回顾 1、运用向量的坐标形式，以及向量运算的定义，把问题转化为三角问题来 解决； 2、运用向量的坐标形式，联系解析几何的知识，研究解析几何问题； 3、向量的综合应用，常与三角，解几等联系在一起 。 二、基本训练 1、平面直角坐标坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3，1)，B（1，3） ，若点 C 满足=+，若中 、R，且 +=1，则点 C 的轨迹OC OA OB 方程为（ ） A、 （x1）2+（y2）2=5 B、3x+2y11=0 C、2xy=0 D、x+2y5=02、已积=（2，0） ，=（2，2） ，= （cos，sin） ，则与OB OC CA 22OA 夹角的范围是（ ）OB A、0， B、，C、，D、，445121251251223、平面向量=（x，y） ，=（x2，y2） ， =（1，1） ，=（2，2） ，若· =a bcd ac·=1，则这样的向量有（ ）bd aA、1 个B、2 个C、多于 2 个D、不存在4、已知+ =， |=3，|=5，| |=7，则与夹角为（ ）a bc 0a bc a b5.有两个向量，今有动点，从开始沿着与向量1(1,0)e 2(0,1)e P0( 1,2)P 相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开12ee 12|ee Q0( 2, 1)Q 始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为设、1232ee 12|32|ee P在时刻秒时分别在、处，则当时， 秒Q0t 0P0Q00PQPQ t 6.已知向量 a(cosx，sinx)，b()，且 x0，若 f (x)23 23 2sin2cosxx，2a ·· b2ab的最小值是，求的值(襄樊 3 理)23三、例题分析：广东省高职考试网www.gkwedu.com广东省 3+证书考试网2例 1.平面直角坐标系有点4,4),1 ,(cos),cos, 1 (xxQxP（1）求向量的夹角 的余弦用 x 表示的函数 f(x);OQOP和（2）求 的最值.例 2.已知向量 a= (sinx，cosx)，b=( cosx，cosx)，其中 0，记函3数=a··b，已知的最小正周期为 ( )f x)(xf（1）求 ；（2）当 0x时，试求 f(x)的值域南通一3例 3.已知an是等差数列,公差 d0，其前 n 项和为 Sn,点列 P1（1,）,P2(2, )，S11S22Pn（n， ）及点列 M1(1,a1)，M2(2,a2)，Mn（n，an）Snn（1）求证： (n>2 且 nN*)与共线；1nPP 12PP （2）若与的夹角是 ，求证：|tan|12PP 12M M24例 4 （04 湖北） 如图，在 RtABC 中，已知 BC=a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问BCPQ与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.CQBPaABC广东省高职考试网www.gkwedu.com广东省 3+证书考试网3四、作业四、作业 同步练习同步练习 g3.1056 平面向量的综合应用（1） 1、已知平行四边形三个顶点的坐标分别是(4，2)，(5，7)，(3，4)，则第四个 顶点一定不是（ ） A、(12，5)B、(2，9)C、(4，1)D、(3，7)2、已知平面上直线 l 的方向向量 =( ， )，点 O(0,0)和 A(1,2)在 l 上的射e4535影分别为 O1和 A1，则=入 ，其中入=（ ）11O AeA、B、C、2D、21151153、设 F1、F2 为曲线 C1： + = 1 的焦点，P 是曲线 C2：y2=1 与曲线x26y22x23C1的一个交点，则 的值是（ ）1212|PF PF PFPF A A、B、C、D、141323134、设、 是平面上非零向量，且相互不共线，则a bc（·） （ ·）=0a bcc a b | > |a b a b（· ）（ ·）与 不垂直bc ac a bc（3+2） （32）= 9|24|2a b a b a b其中真命题的序号是（ ） A、B、C、 D、5、 = (cos，sin)， OA OB 广东省高职考试网www.gkwedu.com广东省 3+证书考试网4=（2sin，2+cos） ，其中 0，2则|的最大值为 AB 6、已知 O、A、B、C 是同一平面内不同四点，其中任意三点不共线，若存在一组实数入1、入2、入3，使入1+入2+入3=，则对于三个角：OA OB OC OAOB、BOC、COA 有下列说法：这三个角都是锐角；这三个角都是钝角； 这三个角中有一个钝角，另两个都是锐角； 这三个角中有两个钝角，另一个是锐角。 其中可以成立的说法的序号是 （写上你认为正确的所有答案）7、 （05 上海卷）直角坐标平面中，若定点与动点满足xoy)2 , 1 (A),(yxP，则点 P 的轨迹方程是 _。4OAOP8、 （05 江西卷）已知向量.baxfxxbxxa)(),42tan(),42sin(2(),42tan(,2cos2(令是否存在实数若存在，则?)()(0)()(, 0的导函数是其中使xfxfxfxfx求出 x 的值；若不存在，则证明之.9、设=(1+cos, sin)，=(1cos,sin)， =(1，0)，(0,)，a bc(,2), 与 夹角为 1，与 的夹角为 2，且 12= ，求 sinac bc6的值。 - 410、已知OFQ 的面积为 S，且·=1，以 O 为坐标原点，直线 OF 为 xOF FQ 轴（F 在 O 右侧）建立直角坐标系。（1）若 S= ，| =2，求向量所在的直线方程；12OF FQ （2）设|=c， （c2） ，S= c，若以 O 为中心，F 为焦点的椭圆过点OF 34Q，求当|OQ|取得最小值时椭圆的方程。广东省高职考试网www.gkwedu.com广东省 3+证书考试网511、 （04 年福建卷.文理 17）设函数，其中向量，( )f xa b A(2cos ,1)ax，.(cos , 3sin2 )bxxxR（）若且，求；( )13f x ,3 3x x（）若函数的图象按向量平移后得到函数2sin2yx( , ) (|)2cm nm的图象，求实数的值.( )yf x,m n答案答案基本训练基本训练：1. D 2. C 3. A 4 5. 236解：a ·· b xxxxx2cos21sin23sin21cos23cos|a+b| |cos|22cos22)21sin23(sin)21cos23(cos22xxxxxxcos x0，因此| ab |2 cos x 20，xf (x)a ·· b2ab即 2221)(cos2)(xxf0cos x120，x若0，则当且仅当 cos x0 时，f (x)取得最小值1，这与已知矛盾； 若 01，则当且仅当 cos x时，f (x)取得最小值，221由已知得，解得： 2321221若1，则当且仅当 cos x1 时，f (x)取得最小值，41由已知得，解得：，这与相矛盾2341851综上所述，为所求21三、例题分析：例 1.解：（1）cos|OQOPOQOP广东省高职考试网www.gkwedu.com广东省 3+证书考试网64,4cos1cos2)(,cos1cos21coscos11coscos1|cos2222 xxxxfxxxxxxOQOPOQOP（2）)(12)(,1 ,22,cos2tgttxfttx则则0,0,322arccos,40,322arccos, 0, 1cos322322)22()(, 1) 1 ()( 1 ,22)(,122)(, 0)(,) 1 ,22()1 () 1)(1(2)(minmaxminmaxminmax22时当时当故又上是增函数在处连续及在又时显然又xxgtggtgtgtttgtgtttttg例 2.(1)=sinxcosxcos2x =sin2x (1+cos2x) ( )f x33 212=sin(2x+)+ 612 >0，T=，=1 22（2）由（1） ，得( )f x=sin(2x+) + , 6120x, 2x+ 36656( )f x1， 32例 3. an成等差数列 = a1 + dSnnn - 12广东省高职考试网www.gkwedu.com广东省 3+证书考试网7aABC QPaxyABC QP（1） = (n-1，d )， = (1， ) P1Pnn - 12 P1P2d2 = (n-1) P1Pn P1P2 (n>2 且 nN*) 与 共线 P1Pn P1P2（2） = (1，d) | = 而| = M1M2 M1M21 + d2 P1P21 +d24 cos= = = 2 + d2d4 + 5d2 + 4 tan2= sec21 = = d2d4 + 4d2 + 41d2 +4d2+ 418 |tan| 24例 4本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函 数知识的能力，满分 12 分.)()(,. 0,:ACAQABAPCQBPACAQCQABAPBPAQAPACABACAB解法一.cos2121)(222222aaBCPQaBCPQaACABAPaAPABACAPaACABAQABACAPAQAP. 0.,)(0, 1cos其最大值为最大时方向相同与即故当CQBPBCPQ解法二：以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图 所示的平面直角坐标系.广东省高职考试网www.gkwedu.com广东省 3+证书考试网8.)()()().2,2(),(),(),().,(),(.| ,2|), 0(),0 ,(),0 , 0(,|22bycxyxbyyxcxCQBPyxPQbcBCbyxCQycxBPyxQyxPaBCaPQbCcBAbACcAB则的坐标为设点且则设. 0,)(0, 1cos.cos.cos. |cos2222其最大值为最大时方向相同与即故当CQBCBCPQaaCQBPabycxabycxBCPQBCPQ 四、作业14、DDBD 5、26、 7、x+2y-4=038、解：)42tan()42tan()42sin(2cos22)(xxxxbaxf12cos22cos2sin22tan112tan2tan12tan1 )2cos22 2sin22(2cos222 xxx xxxx xxx.cossinxx xxxxxfxfxfxfsincoscossin)()(:, 0)()(即令. 0cos2x. 0)()(, 02,2xfxfxx使所以存在实数可得时，2x( )( )0f xfx9、 = 2cos (cos，sin) 1= a2222= 2sin （sin,cos） 2 = b22222又 12 = = - sin = 6 - 23 - 412广东省高职考试网www.gkwedu.com广东省 3+证书考试网910、 （1）设 Q(x0，y0) | = 2 F(2，0) QF = (2，0)， = (x0-2，y0) OF FQ · = 1 得 x0 = OF FQ52而 S = | |y0| = y0 = ± Q（ ，± ）12 OF12125212 所在直线方程为 y = x-2 或 y = -x+2 OF（2）设 Q（x0，y0） | = c F（c，O） =（x0-c，y0） OF FQ· = 1 得 x0 = c + OF FQ1c又 S = c |y0| = C y0=±Q（c + ，± ）1234321c32由函数 f(x) = x + 的单调性，知 g(c)在2，+）上递增px gmin(c) = g(2) = ，此时 c=2，|OQ|取最小值Q（ ，± ）525232设出椭圆方程后可得椭圆方程为 + = 1x210y2611、,4x ,112mn