浅谈伯努利双纽线.doc

浅谈伯努利双纽线浅谈伯努利双纽线肖佳曦肖佳曦 4018 张寒希张寒希 4002 摘要：关于伯努利双纽线的描述首见于 1694 年，雅各布·伯努利将其作为 椭圆的一种类比来处理。椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹。而 卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹。当此定值使得轨 迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线。伯努利将这种曲线称为 lemniscate，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意。伯努利双纽线在科技和轻工业 领域也得到了广泛应用，在欧洲，伯努利还将伯努利双纽线应用于赌博术中。关键词:伯努利双纽线，卡西尼卵形线，四次代数曲线，引言：伯努利双纽线是一个特殊的曲线，它是多种曲线的特殊情况，这就意 味着伯努利双纽线在沟通各曲线研究上起到了重要的作用，因此对于伯努利双 曲线的探讨显得尤为重要和迫切。在计算机高速发展的今天，我们可以采用 “数形结合”的方法对曲线的演变过程进行观察和探究。本文通过对伯努利双 纽线由来及性质的探究，提出数学研究需要发散思维的观点。在雅各布·伯努 利的著作猜度术一书中，提出了关于伯努利双纽线的许多应用。模型的建立：在数学中,伯努利双纽线是由平面直角坐标系中的以下方程定 义的平面代数曲线:( (x x2 2 + + y y2 2) )2 2 = = 2 2a a2 2( (x x2 2 y y2 2) )。伯努利双纽线在极坐标中也有简洁的表示: 2=a2*cos2 在双极坐标系,伯努利双纽线的方程也类似:rr=a2/2rr=a2/2伯努利双纽线是卡西尼卵形线，双纽线和正弦螺线的特殊情况，是双曲线关 于圆心在双曲线中心的圆的反演图形。卡西尼卵形线是这样的曲线:设点 M 到两个定点 F1 与 F2 的距离的乘积是个 常量，即点 M 的几何轨迹叫做卡西尼卵形线。设，取所在直线为极轴，线段 F1F2 的中点 O 为 极点，则可推出卵形线的极坐标方程为： 而当时，所对应的曲线即伯努利双纽线（图 1）所对应的方程 为：图（1）通过对回转抛物面与圆柱面相交的研究得出交线的水平投影曲线(式 1）(如图 2)为四次代数曲线Perseus 座曲线的结论。其形状特征及其 变化规律取决于参数 P,R 和 h 之值，当 h=R,P=2h 时，为其特殊情况伯努利双纽 线（如图 3）图（2）图(3)伯努利双纽线的作图方法：根据已知参数 R.h, 先定出其公共焦点 F1(2h,0),F2(-2h,0)及曲线上最左，最右 A1,A2的位置曲线（4）与 x 轴的交点。当R=h 时，有 A1(81/2h,0),A2(-81/2h,0)如曲线（4）所示，过点 A1任作射线，A1L 交圆于 N1，N2,则有 ON1=ON2=2h，现以焦点 F1F2为圆心，分别以R1=A1N1,R2=A1N2,为半径画弧交于点 M，则交点 M 属于曲线（4）,连续转动射线 A1L，则点 M 画出的轨迹为本曲线族。根据圆幂定理可知：A1N1*A1N2=A1F1*A1F2=定值，根据作图已知，MF1=A1N1,MF2=A1N2,于是MF1*MF2=A1N1*A1N2=A1F1*A1F2=定值。根据圆幂定理，该定值应等于 d2-r2,其中 r 为圆的半径，d 为定点 A1到圆心的距离。根据本作图有 r=OF1=2h,d=OA1=4h(h+R)1/2,于是，d2-r2=a2=4hR，则 a=2(hR)1/2。同时也可作如下证明定出 a 值:设动点 M 的坐标为 M（x,y）,常数为 a2.根据 MF1*MF2=定值=a2,则有经整理得很显然上式应与式(1)完全相等。对照式(1)可得:a=2(hR)1/2 与上述结果 完全一致于是就得出了本曲线(4)的几何作图方法.曲线（4）模型的性质：在笛卡尔坐标系中，伯努利双纽线关于坐标原点对称，坐标原 点是具有切线 y=±±x 的结点和拐点。从伯努利双纽线上任何一点 M 到给定的两点 F1F2的距离之积，等于 F1F2之间的距离的平方。曲线的形状类似于打横的阿拉伯数字 8 或者无穷大的符号。伯努利双纽线的曲率在直角坐标系中可以表示为:k=±3(x2+y2)1/2*a-2k=±3(x2+y2)1/2*a-2伯努利双纽线的曲率半径为 r=2a2/3r=2a2/3 每个回线围成的面积为 s=a2s=a2 正负号取决于描绘曲线时所取的方向。伯努利双纽线的曲率有一个有趣的性 质：其每一点上的曲率的绝对值与此点到原点的距离成正比关系。应用：（1）在纺织中的应用：伯努利双纽线在纺织中作为花纹得到广泛应用，用 双纽线编织的布料外形美观，结构紧密，具有重复性和渐变性。（2）在增压器中的应用：伯努利双纽线无撞击双进气拓宽流量增压器在工 业中得到广泛应用。（3）在赌博术中的应用：在雅各布·伯努利的猜度术一书中，将伯努 利双纽线广泛应用到赌博术中。结论：伯努利双纽线作为卡西尼卵形线，双纽线和正弦螺线的特殊情况，同 时又是双曲线关于圆心在双曲线中心的圆的反演图形。它在数学曲线领域的地 位占有至关重要的地位，对于伯努利双纽线的研究有助于我们更好地研究其他 相关曲线，达到触类旁通的效果。伯努利双纽线在轻工业和科技方面都得到广 泛而恰到好处的应用，因此，对于伯努利双纽线的研究是很有现实意义的。参考文献：1维基百科2数学辞典3.王叙贵.多卵线与多纽线卡西尼卵形线与伯努利双纽线的推广. 昆明:昆明师范高等专科学校学报 2001,23(4):3436 CN53- 1131/G4 ISSN 100879584.周良德.关于回转抛物面与圆柱面相交的研究.湖南：湘潭大学机械工 程学院工程图学学报 2000 年第三期