2022高考数学一轮复习第8章立体几何第7讲立体几何中的向量方法课时作业含解析新人教B版.doc

立体几何中的向量方法课时作业1直线l的方向向量a(1，3,5)，平面的法向量n(1,3，5)，那么有()Al BlCl与斜交 Dl或l答案B解析因为a(1，3,5)，n(1,3，5)，所以an，an.所以l平面.选B.2两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，那么两平面所成的二面角为()A45° B135°C45°或135° D90°答案C解析cosm，n，m，n45°.二面角为45°或135°.应选C.3(2022·邯郸模拟)如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是上底面A1B1C1D1和侧面ADD1A1的中心，那么EF和CD所成的角是()A60° B45°C30° D135°答案B解析以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立如下图的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，那么D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，F，(0,1,0)，cos，135°，异面直线EF和CD所成的角是45°.应选B.4(2022·辽宁沈阳和平区模拟)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB14，那么直线BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案A解析如下图，建立空间直角坐标系Dxyz.那么A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,4)，B(2,2,0)，B1(2,2,4)，(2,2，0)，(2,0,4)，(0,0,4)设平面ACD1的法向量为n(x，y，z)，那么即取x2，那么y2，z1，故n(2,2,1)是平面ACD1的一个法向量，设直线BB1与平面ACD1所成的角是，那么sin|cosn，|.应选A.5ABC的顶点分别为A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，那么AC边上的高BD等于()A5 B. C4 D2答案A解析A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，(4，5,0)，(0,4，3)点D在直线AC上，设(0,4，3)，由此可得(0,4，3)(4，5,0)(4,45，3)又，·4×0(45)×4(3)×(3)0，解得.因此(4,45，3).可得|5.6(2022·安徽六安一中质检)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，2ACAA1BC2.假设二面角B1DCC1的大小为60°，那么AD的长为()A. B.C2 D.答案A解析分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，那么C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，设ADa，那么点D坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，设平面B1CD的一个法向量为n(x，y，z)，那么得令z1，得n(a,1，1)，又平面C1DC的一个法向量为m(0，1,0)所以cos60°，得，解得a，应选A.7设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，那么点D1到平面A1BD的距离是()A. B. C. D.答案D解析如图建立空间直角坐标系，那么D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0，0,0)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，那么令x1，那么n(1，1，1)，点D1到平面A1BD的距离d.8梯形CEPD如下图，其中PD8，CE6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE平面ABCD，得到如下图的几何体当点F满足A(0<<1)时，平面DEF平面PCE，那么的值为()A. B. C. D.答案C解析因为四边形ABCD为正方形，且平面PABE平面ABCD，所以PA，AB，AD两两垂直，且PABE，建立如下图的空间直角坐标系，得P(0,0,4)，C(4,4,0)，E(4,0,2)，D(0,4,0)，B(4,0,0)，那么F(4，0,0)，D(4，4,2)，D(4，4,0)，C(0，4,2)，E(4,0,2)，设平面DEF的法向量为m(x，y，z)，那么由得取m(1，22)，设平面PCE的法向量为n(x，y，z)，那么由得取n(1,1,2)，因为平面DEF平面PCE，所以m·n12(22)530，解得.应选C.9在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，那么平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B. C. D.答案B解析以A为坐标原点建立如下图的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，那么A1(0,0,1)，E，D(0，1,0)，(0,1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，那么即n1(1,2,2)又平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.应选B.10正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，当APC最大时，三棱锥PABC的体积为()A. B. C. D.答案B解析以B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立如下图的空间直角坐标系，那么B(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(1,1,1)设，可得P(，)，再由cosAPC1，可得当时，APC最大，故VPABC××1×1×.11如图，在正方形ABCD中，EFAB，假设沿EF将正方形折成一个二面角后，AEEDAD11，那么AF与CE所成角的余弦值为_答案解析AEEDAD11，AEED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如下图的空间直角坐标系，设ABEFCD2，那么E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0，2,1)，(1,2,0)，(0,2,1)，cos，AF与CE所成角的余弦值为.12正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，那么AC1与侧面ABB1A1所成的角为_答案解析以C为原点建立如下图的空间直角坐标系，得以下坐标：A(2，0,0)，C1(0，0,2)点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2.所以(2,0,2)，设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为，那么cos.又，所以.13(2022·湖南长沙模拟)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，那么点F到平面A1D1E的距离为_答案解析以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如下图那么A1(0,0,1)，E，F，D1(0,1,1)，(0,1,0)设平面A1D1E的一个法向量为n(x，y，z)，那么即令z2，那么x1.n(1,0,2)又，点F到平面A1D1E的距离为d.14(2022·福州质检)点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，那么平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为_答案解析如图，建立空间直角坐标系Dxyz，设DA1，由条件得A(1,0,0)，E，F，设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为，由图知为锐角，由得令y1，那么z3，x1，那么n(1,1，3)，平面ABC的一个法向量为m(0,0，1)，cos|cosn，m|，tan.15(2022·洛阳第一次统考)如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，FABDAB90°，二面角FABD是直二面角，BEAF，BCAD，AFABBC2，AD1.(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行；(2)求二面角FCDA的余弦值解(1)证明：由，得BEAF，AF平面AFD，BE平面AFD，BE平面AFD.同理可得，BC平面AFD.又BEBCB，平面BCE平面AFD.设平面DFC平面BCEl，那么l过点C.平面BCE平面ADF，平面DFC平面BCEl，平面DFC平面AFDDF，DFl，即在平面BCE上一定存在过点C的直线l，使得DFl.(2)平面ABEF平面ABCD，FA平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，又FAB90°，AFAB，AF平面ABCD，AD平面ABCD，AFAD.DAB90°，ADAB.以A为坐标原点，AD，AB，AF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图由，得D(1，0,0)，C(2,2,0)，F(0,0,2)，(1,0,2)，(1,2,0)设平面DFC的法向量为n(x，y，z)，那么不妨取z1，那么n(2，1,1)，不妨取平面ACD的一个法向量为m(0,0,1)，cosm，n，由于二面角FCDA为锐角，因此二面角FCDA的余弦值为.16(2022·天津高考)如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)假设二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长解(1)证明：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，AE所在的直线为z轴，建立如下图的空间直角坐标系那么A(0,0,0)，B(1,0,0)，设F(1,2，h)，h>0.依题意，(1,0,0)是平面ADE的一个法向量，又(0,2，h)，可得·0，又因为直线BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)依题意，D(0,1,0)，E(0,0,2)，C(1,2,0)，那么(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2,2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，那么即不妨令z1，可得n(2,2,1)因此有cos，n.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m(x1，y1，z1)为平面BDF的法向量，那么即不妨令y11，可得m.由题意，有|cosm，n|，解得h.经检验，符合题意所以，线段CF的长为.17(2022·北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD2，BC3.E为PD的中点，点F在PC上，且.(1)求证：CD平面PAD；(2)求二面角FAEP的余弦值；(3)设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由解(1)证明：因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.又因为ADCD，PAADA，所以CD平面PAD.(2)过点A作AD的垂线交BC于点M.因为PA平面ABCD，所以PAAM，PAAD.建立如下图的空间直角坐标系Axyz，那么A(0,0,0)，B(2，1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)因为E为PD的中点，所以E(0,1,1)所以(0,1,1)，(2,2，2)，(0,0,2)所以，所以.设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，那么即令z1，那么y1，x1.于是n(1，1,1)又因为平面PAD的一个法向量为p(1,0,0)，所以cosn，p.由题知二面角FAEP为锐角，所以其余弦值为.(3)直线AG在平面AEF内理由：因为点G在PB上，且，(2，1，2)，所以，所以.由(2)知，平面AEF的一个法向量n(1，1,1)，所以·n0.所以直线AG在平面AEF内18.(2022·厦门模拟)如图，在四棱锥PABCD中，平面ABCD平面PAD，ADBC，ABBCAPAD，ADP30°，BAD90°，E是PD的中点(1)证明：PDPB；(2)设AD2，点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为，求二面角MABP的余弦值解(1)证明：BAD90°，BAAD，平面ABCD平面PAD，交线为AD，BA平面PAD，又PD平面PAD，BAPD，在PAD中，sinAPD1，APD90°，APPD，BAAPA，PD平面PAB，PB平面PAB，PDPB.(2)如图，以P为坐标原点，过点P垂直于平面PAD的射线为z轴，射线PD为x轴，射线PA为y轴，建立空间直角坐标系，AD2，ABBCAP1，PD，P(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0,1,1)，C，E，设(0<<1)，那么，M，又，点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为，|cos，|，整理，得9236200，解得或(舍去)，M，设平面MAB的法向量m(x，y，z)，那么取x2，得m(2，0)，由(1)知PD平面PAB，平面PAB的一个法向量为n(1,0,0)，cosm，n.二面角MABP的余弦值为.