252矩形的判定.ppt

本节内容2.5矩矩 形形2.5.2 矩形的判定矩形的判定动脑筋动脑筋 矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？如图如图2-46，四边形，四边形ABCD 的四个角都是直角的四个角都是直角. 由于由于“同旁内角互补，同旁内角互补， 两直线平行两直线平行”，因此因此ABDC， ADBC，从而四边形，从而四边形ABCD 是平行四边形是平行四边形. 所以所以ABCD 是矩形是矩形. 由此得到四个角是直角的由此得到四个角是直角的四边形是四边形是矩形矩形.图图2-46结论结论三个角是直角的四边形是矩形三个角是直角的四边形是矩形. 三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也是直角，由此得到：是直角，由此得到： 四边形中只有两个角四边形中只有两个角是直角，我想到了下边的图形：是直角，我想到了下边的图形：动脑筋动脑筋 从从“矩形的对角线相等且互相平分矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受这一性质受到启发，你能画出对角线长度为到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？的一个矩形吗？这样的矩形有多少个？这样的矩形有多少个？ 过点过点O 画两条线段画两条线段AC，BD，使得，使得OA=OC=2cm，OB =OD=2cm. 连接连接AB， BC，CD，DA. 则四边形则四边形ABCD 是矩形，是矩形， 且它的对角线长度为且它的对角线长度为4 cm，如图，如图2-47. 这样这样的矩形有无穷多个的矩形有无穷多个.2cm2cm图图2-47你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？ 如图如图2-47，由画法可知，由画法可知，四边形四边形ABCD的两条对的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗四边形是矩形吗？我们来进行证明我们来进行证明.在在ABCD中，由于中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，因此因此 ABC DCB. ( (SSS) )从而从而 ABC=DCB.又又ABC+DCB =180，于是于是 ABC=90.所以所以 ABCD是矩形是矩形.图图2-47结论结论对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.由此得到矩形的判定定理：由此得到矩形的判定定理：对角线相等的四边形是矩形对角线相等的四边形是矩形吗？吗？议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议如图如图2-48，在，在ABCD中，它的两条对角线相交于点中，它的两条对角线相交于点O.（1）如果）如果ABCD是矩形，试问：是矩形，试问：OBC是什么样是什么样 的三角形？的三角形？（2）如果）如果OBC是等腰三角形，其中是等腰三角形，其中OB=OC，那么，那么 ABCD是矩形吗？是矩形吗？例例2图图2-48举举例例（2） OBC是等腰三角形，其中是等腰三角形，其中OB = OC，解解 （1） ABCD是矩形，是矩形， AC与与DB相等且互相平分相等且互相平分. OBC是等腰三角形是等腰三角形.1122OBDBACOC. AC = 2OC = 2OB = BD. ABCD是矩形是矩形.图图2-481. 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，A=B=C=D， 求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形是矩形.练习练习 证明证明：因为四边形：因为四边形中，中，A=B=C=D ， 四边形的内角和为四边形的内角和为360， 所以所以A=B=C=D= 90 ， 所以四边形所以四边形ABCD是矩形是矩形. ( (三个角是直角的四边形是矩形三个角是直角的四边形是矩形.).)2. 如图，在如图，在ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于点相交于点O， AOB = 60，AB= 2，AC= 4，求，求ABCD的面积的面积.解解： OA= =2，AB= 2，AC12 OAB是等腰三角形是等腰三角形. OAB是等边三角形是等边三角形.又又AOB = 60， OA=OB=2， AC=BD=4. ABCD是矩形是矩形. ( (对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.).)AD. 2 3作作OEAD于点于点E.AE 3，=ABCDSAD AB.2 324 3 矩矩形形E在在Rt OAE中，中，AO=2，OE= =1，AB12中考中考 试题试题例例 在四边形在四边形ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD互相平分，互相平分，交点为交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是以是 .AC=BD 或或 ABC，CDA，BAD，BCD之中有任一个角为直角之中有任一个角为直角解析解析 依据矩形的判定，对角线相等的平依据矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形或有一个角是直角的平行四边形是矩形或有一个角是直角的平行四边形是矩形行四边形是矩形. .结结 束束