立体几何中的向量方法-平行与垂直.docx

立体几何中的向量方法-平行与垂直立体几何中的向量方法-平行与垂直立体几何中的向量方法-平行与垂直3.2立体几何中的向量方法3.2.1平行与垂直关系【基础知识在线】知识点一空间的方向向量与平面的法向量考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量利用方向向量与法向量表示空间角利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系知识点二线线、线面、面面平行的向量表示考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证实平行关系知识点三线线、线面、面面垂直的向量表示考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证实垂直关系【解密重点·难点·疑点】问题一：空间的方向向量与平面的法向量1.空间中任意一条直线l的位置能够由l上一个定点A以及一个定方向确定点A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向，这个向量a叫做直线的方向向量.l，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量.2.直线(1)平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量.立体几何中的向量方法-平行与垂直立体几何中的向量方法-平行与垂直(2)一个平面的法向量有无数个，且它们相互平行.3.平面的法向量的求法1已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可.(2)已知平面内两不共线向量()()321321,bbbbaaaa=时，常用待定系数法:设法向量(),zyxu=由?=?=?,00nbna得?=+=+,00321321zbybxbzayaxa在此方程组中，对zyx,中的任一个赋值，求出另两个，所得u即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量.4.用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系:设直线ml,的方向向量分别为ba,，平面,的法向量分别为vu,，则线线平行：;,/Rkbkabaml=?即：两直线平行或重合?两直线的方向向量共线线线垂直：;0=?babaml即：两直线垂直?两直线的方向向量垂直线面平行：;0/=?uaual即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外线面垂直：;,/Rkukaual=?即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直面面平行：;,/Rkvkuvu=?即：两平面平行?两平面的法向量共线面面垂直：.0=?vuvu立体几何中的向量方法-平行与垂直立体几何中的向量方法-平行与垂直即：两平面垂直两平面的法向量垂直问题二：空间中线线、线面、面面平行的向量坐标表示1.设直线ml,的方向向量分别为()()321321,bbbaaa=，则线线平行：().,/212121Rkkcckbbkaabkabaml=?=?2.设直线l的方向向量分别为(),321aaa=平面的法向量分别为()321,bbb=，线面平行：.00/212121=+?=?ccbbaal3.平面,的法向量分别为()()321321,bbbaaa=，面面平行：().,/212121Rkkcckbbkaavkuvu=?=?问题三：空间中线线、线面、面面垂直的向量表示1.设直线ml,的方向向量分别为()()321321,bbbaaa=，则线线垂直：.00212121=+?=?ccbbaaml2.设直线l的方向向量分别为(),321aaaa=平面的法向量分别为()321,bbbu=，线面垂直：().,/212121Rkkcckbbkaaukaual=?=?3.平面,的法向量分别为()()321321,bbbaaa=，面面垂直：.00212121=+?=?ccbbaa【点拨思维·方法技巧】一求平面的法向量立体几何中的向量方法-平行与垂直立体几何中的向量方法-平行与垂直例1已知平面经过三点()()()0,2,3,1,0,2,3,2,1-CBA，试求平面的一个法向量【思维分析】先求出,ACAB，设出平面的法向量为()zyxu,=，结合向量垂直时数量积为零的性质，联立方程组解题.解析()()()0,2,3,1,0,2,3,2,1-CBA，()(),3,4,2,4,2,1-=-=ACAB，设平面的法向量为()zyxu,=，依题意，?=?=?0ACuABu，即?=-=-0342042zyxzyx，解得?=02zyx.令2,1=xy则.平面的一个法向量为()0,1,2=u【评析】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，设出平面的法向量,列出方程组，求出的三个坐标不是详细的值，而是比例关系，取其中一组解(非零向量)即可变式训练在正方体1111DCBAABCD-中，FE,分别是DCBB,1的中点，求证：AE是平面FDA11的法向量.证实立体几何中的向量方法-平行与垂直立体几何中的向量方法-平行与垂直设正方体的棱长为1，建立如下图的空间直角坐标系，则()?=?21,1,0,21,1,1,0,0,1AEEA,()(),01,1,0,21,0,01,011=?=AFD()0,0,1,1,21,0111-=?-=DAFD0,02121111=?=-=?DAAEFDAE，111,DAAEFDAE,又1111DDAFD=，AE平面FDA11，AE是平面FDA11的法向量.二.图3-2-1立体几何中的向量方法-平行与垂直立体几何中的向量方法-平行与垂直证实平行问题例2在正方体1111DCBAABCD-中，O是11DB的中点，求证：CB1平面1ODC.【思维分析】在平面内找与向量CB1平行的向量DA1，由向量的相等，得线线平行，从尔的线面平行.可以建立空间直角坐标系，求CB1的方向向量和平面1ODC的法向量，利用向量的垂直，可得线面平行.证实方法一1BC=1AD，又DAB11?,DACB11/,又?DA1平面1ODC，CB1平面1ODC.方法二建系如图，设正方体的棱长为1，则可得()()()1,1,0,1,21,21,0,1,0,1,1,111COCB?，()?-=?-=-=0,21,21,1,21,21,1,0,111OCB.设平面1ODC的法向量为()zyx,=，图3-2-2立体几何中的向量方法-平行与垂直立体几何中的向量方法-平行与垂直则?=?=?001OCnODn，得?=+-=-0212102121yxzyx，令1=x，得1,1-=zy，()1,1,1-=n()()01110111=-?-+?+?-=?nCB，nCB1，CB1平面1ODC.【评析】向量法证实几何中的平行问题，能够有两个途径，一是在平面内找一向量与已知直线的方向向量共线；二是通过建立空间直角坐标系，依托直线的方向向量和平面的法向量的垂直，来证实平行变式训练2已知正方体1111DCBAABCD-中，FE,分别在CDDB1,上，且aFDDE321=，其中a为正方体棱长求证：EF平面CCBB11.证实如下图，建立空间直角坐标系xyzD-，则图3-2-3立体几何中的向量方法-平行与垂直立体几何中的向量方法-平行与垂直,32,3,0,0,3,3?aaFaaE故?-=3,0,32aaEF，又()0,0aAB=显然为平面CCBB11的一个法向量，而()03,0,320,0=?-?=?aaaEFAB，AEEF.又?E平面CCBB11，因而EF平面CCBB11.三.证实垂直问题例3.已知正方体1111DCBAABCD-中，E为棱1CC上的动点1求证：BDEA1；2若平面BDA1平面EBD，试确定点E的位置【思维分析】正方体为建立空间直角坐标系提供了有利条件，对于1，110AEBDAEBD=?；对于2，利用已知条件平面BDA1平面EBD，通过垂直条件下的向量数量积等于0，求得点E的位置；取BD的中点O，易证OEA1是二面角EBDA-1的平面角，利用向量数量积证实10AOEO=即可图3-2-4立体几何中的向量方法-平行与垂直立体几何中的向量方法-平行与垂直解析以1,DDDCDA所在直线为zyx,轴，建立空间直角坐标系，设棱长为a1()()()()()aaCaaAaCaaBaA,0,0,0,0,0,0,0,11，设()maE,0，则()()0,1aaBDamaaEA-=-=，22100AEBDaa=-+=，所以BDEA1，即BDEA12法一：设BD的中点为O，连接OE，1OA,则?0,2,2aaO，所以()0,2,2aamaa-=?-=，由于BCE?DCE?,所以EBED=，所以BDOE,又?-=aaaOA,2,21，所以10OABD=,所以BDOA1,所以OEA1是二面角EBDA-1的平面角，由于平面BDA1平面EBD，所以21=OEA，所以10OAOE=，即2,04422amamaa=+-故当E为1CC的中点时，能使平面BDA1平面EBD法二：E为1CC的中点，证实如下：由E为1CC的中点得?2,0aaE，设BD的中点为O，连接OE，1OA,则?0,2,2aaO，所以()0,2,2,2aaBDaaaOE-=?-=，则0OEBD=，即BDOE又?-=aaaOA,2,21，所以10OABD=,所以BDOA1,所以OEA1是二面角EBDA-1的平面角，由于22210442aaaOAOE=-+=，所以OEOA1，立体几何中的向量方法-平行与垂直立体几何中的向量方法-平行与垂直故OEOA1,即21=OEA，所以平面BDA1平面EBD所以当E为1CC的中点时，能使平面BDA1平面EBD【评析】利用向量解决立体几何中的线线，线面，面面的位置关系问题一般经过下面几个步骤：恰当建系，求相关点的坐标，求相关向量坐标，向量运算，将向量运算结果复原成立体几何问题或结论变式训练3在正棱锥ABCP-中，三条侧棱两两相互垂直，G是PAB?的重心，FE,分别为PBBC,上的点，且2:1:=FBPFECBE.求证：平面GEF平面PBC.证实(1)方法一如图3-2-5所示，以三棱锥的顶点P为原点，建立空间直角坐标系令3=PCPBPA，则()()()()1,2,0,3,0,0,0,3,0,0,0,3ECBA,()()()0,0,0,0,1,1,0,1,0PGF()()0,0,1,0,0,3=FGPA，图3-2-5立体几何中的向量方法-平行与垂直立体几何中的向量方法-平行与垂直FGPA/,3=.而PA平面PBC，FG平面PBC，又?FG平面GEF，平面GEF平面PBC.方法二:同方法一，建立空间直角坐标系，则()()()0,1,1,0,1,0,1,2,0GFE,()(),1,1,1,1,1,0-=-=设平面GEF的法向量为()zyxn,=，则?=?=?0EGnEFn，得0,0,yzxyz+=?-=?，令1=y，得0,1=-=xz，()1,1,0-=n而显然()0,0,3=PA是平面PBC的一个法向量.又PAnPAn=?,0，即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量相互垂直，平面GEF平面PBC.【课后习题答案】练习第104页1.(1)答案：平行.提示：()()ab32,1,236,3,6=-=-=.2答案：垂直.提示：()()()()02232212,3,22,2,1=?-+?+-?=-?-=?ba,ba.3答案：平行.提示：()()ab31,0,033,0,0-=-=-=.2.提示：1.,0=?vuvu2./,/vu3u与v不垂直，也不平行，与相交.【自主探究提升】