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二、几个函数的麦克劳林公式二、几个函数的麦克劳林公式 第三节一、泰勒公式一、泰勒公式三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 泰勒 ( Taylor )公式 第三三章 一、泰勒公式一、泰勒公式0 xx nf x P x0nx x当一个函数f (x)相当复杂时,为了计算它在一点x=x0时，是比高阶的无穷小.附近的函数值或描绘曲线f (x)在一点P(x0,f(x0)附近的形状时,我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式函数近似表示f (x)且当)(xPn0annxxaxxaxxa)()()(020201机动 目录 上页 下页 返回 结束 012,naaaa首先首先确定多项式函数的系数假定f (x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到 0010200,1!,2!, !nnaf xafxafxn afx这样,对Pn(x) 求各阶导数,然后分别代入以上等式得即得 (n+1)阶的导数，并且要求满足条件：, )()(00 xfxpn, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn)( 0!212xPan, )(0 xf ,)(0)(!1xPannnn)(0)(xfn!21!1n)(00 xPan, )(0 xf)(01xPan, )(0 xf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 把所求得的系数代入得)(xPn)(0 xf)(00 xxxfnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21 nnf xP xRx0nxx其次其次证明是较显然,Rn(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数，且据此重复使用洛必达法则，可推得高阶无穷小)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)()(lim100nnxxxxxR0 xx0nx x时，是比高阶的无穷小.即当Rn(x)于是f (x)可表示)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、问题的提出一、问题的提出1.1.设设)(xf在在0 x处连续处连续, ,则有则有2.2.设设)(xf在在0 x处可导处可导, ,则有则有 )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf )()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 例如例如, , 当当x很小时很小时, , xex 1 , , xx )1ln(（如下图）（如下图）机动 目录 上页 下页 返回 结束 不足之处不足之处问题问题:寻找函数寻找函数)(xP, ,使得使得)()(xPxf 误差误差 )()()(xPxfxR 可估计可估计1、精确度不高、精确度不高2、误差不能估计。、误差不能估计。设函数设函数)(xf在含有在含有0 x的开区间的开区间),(ba内具有直到内具有直到)1( n阶导数阶导数, ,)(xP为多项式函数为多项式函数nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 误差误差 )()()(xPxfxRnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、nP(x)和和nR(x)的确定的确定 0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 x,),()(且近似程度要好且近似程度要好若要若要xPxfn ?)(应应满满足足什什么么条条件件xPn设设 nkxfxPkkn, 2 , 1 , 0)()(0)(0)( ),(00 xfa 代入代入)(xPn中得中得 nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa ),(! 202xfa ,).(!0)(xfannn nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 得得由由),()(00 xfxPn 得得由由),()(00 xfxPn 得得由由),()(00 xfxPn 得得由由),()(0)(0)(xfxPnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 如果函数如果函数)(xf在含有在含有0 x的某个开区间的某个开区间),(ba内具有直到内具有直到)1( n阶的导数阶的导数, ,则则当当x在在),(ba内时内时, , )(xf可以表示为可以表示为)(0 xx 的一个的一个n次多项式与一个余项次多项式与一个余项)(xRn之和之和: : 其中其中10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ( ( 在 0 x与与 x之间之间) ). . )()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理:泰勒泰勒(Taylor )中值定理中值定理),(bax有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR则对于任一 )0(之间与在xx如果f (x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，机动 目录 上页 下页 返回 结束 特例特例:当 n = 0 时, 泰勒公式)(xf)(0 xf)(0 xxf变成拉格朗日中值定理)0(之间与在xx公式称为f (x)按 (x-x0) 的幂展开的带有拉格朗日型公式 称为拉格朗日型余项拉格朗日型余项 .余项的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR )()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注: :取取00 x, , 1.1.当当0 n时时, ,泰勒公式变成泰勒公式变成 )()()()(000之间之间与与在在xxxxfxfxf 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式 10)1(00)(200000)(!)()(!)()(! 2)()()()( nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf )10()(. 200 xxx又又 则余项则余项 1)1()!1()()( nnnxnxfxR 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几个函数的麦克劳林公式二、几个函数的麦克劳林公式,0间之与在则x上述公式称为f(x)的麦克劳林麦克劳林( Maclaurin)公式公式 .,00 x因此可令 )(xf)0(fxf)0( 1)1(!) 1()()(nnnxnxfxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中取, ) 10 (x从而泰勒公式变为较简单的形式,即 )(xRn其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 xexf)(xe1x!33x!nxn!22x故!) 1( n) 10(1nxxe例例1:1:求函数解解: :因为的n阶麦克劳林展开式.所以 nxfxfxfxe， 00001.nffff机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxfsin)(xsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm令n=2m，于是有例例2:2:求函数解解: :因为的n阶麦克劳林展开式.所以 cos ,sin ,cos ,fxx fxx fxx 4sin ,sin,2nfxxfxx n 11sin,2nnfxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ! )2(2mxm类似地,可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx22x33xnxn)1ln(xx)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 )1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(!2 ) 1(! n) 1() 1(n以上介绍的几个函数的麦克劳林展开式，在应用中经常遇到，应该熟记！机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1. 求较为复杂的函数的麦克劳林展开式或泰勒展开式求较为复杂的函数的麦克劳林展开式或泰勒展开式 2cosf xx211coscos2 ,22xx例例3:3:求解解: :因为 又 的麦克劳林展开式.! )2(2mxmxcos1!22x!44xm) 1(!)22(m)cos() 1(1xm) 10(22mx机动 目录 上页 下页 返回 结束 242211111cos12212222!4!2!mmxxxxm 所以221222cos22 !2mmxxm，mmxm212!)2(2x2cos故12! 22x4! 423xm) 1(!)22(m)2222cos(212mxm) 10(22mx机动 目录 上页 下页 返回 结束 0ln 11f xxx在1ln 1ln 21ln 2 12xxx所以 23111 111111ln2 ln 1ln2122223 22nnxxxxxn 例例4:4:求函数 解解: :因为 处的泰勒展开式.22x33xnxn)1ln(xx11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 1111110112112nnnxnx ，即 21x2222) 1(xnnnx2) 1()1ln(x2ln111)1(21 ) 1(2) 1() 1(nnnnxxn) 10(1) 1(n3323) 1(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 )241.(21)(2lim, 01cos)(lim20420 xxfxxxfxxx求求练习：练习：利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 )(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(xe例例5:5:利用的8阶麦克劳林展开式计算e的近似值,并估计误差.e11!31!1n!21!) 1(1n) 10(e解解: :取n=8，进行计算得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 111 12.71829,2!8!e 581113 10 .9!9!Re 其误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy xysin 五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;xy xysin ! 33xxy o五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .习题3-3（P91) 1(2)、2