2017年浙江省衢州市中考数学试卷.doc

2017 年浙江省衢州市中考数学试卷年浙江省衢州市中考数学试卷一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分）1 （3 分）2 的倒数是（ ）ABC2D22 （3 分）如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）ABCD3 （3 分）下列计算正确的是（ ）A2a+b=2abB （a）2=a2Ca6÷a2=a3Da3a2=a64 （3 分）据调查，某班 20 位女同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的众数和中位数分别是（ ）尺码（码）3435363738人数251021A35 码，35 码B35 码，36 码C36 码，35 码D36 码，36 码5 （3 分）如图，直线 ABCD，A=70°，C=40°，则E 等于（ ）A30° B40° C60° D70°6 （3 分）二元一次方程组的解是（ ）ABCD7 （3 分）下列四种基本尺规作图分别表示：作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点 P 作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）ABCD8 （3 分）如图，在直角坐标系中，点 A 在函数 y=（x0）的图象上，ABx轴于点 B，AB 的垂直平分线与 y 轴交于点 C，与函数 y=（x0）的图象交于点 D，连结 AC，CB，BD，DA，则四边形 ACBD 的面积等于（ ）A2B2C4D49 （3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，BC=6，将ABC 沿 AC 折叠，使点B 落在点 E 处，CE 交 AD 于点 F，则 DF 的长等于（ ）ABCD10 （3 分）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是O 的直径，CD、EF 是O 的弦，且 ABCDEF，AB=10，CD=6，EF=8则图中阴影部分的面积是（ ）AB10 C24+4D24+5二、填空题（本题共有二、填空题（本题共有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分）11 （4 分）二次根式中字母 a 的取值范围是 12 （4 分）化简：= 13 （4 分）在一个箱子里放有 1 个白球和 2 个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里摸出 1 个球，则摸到红球的概率是 14 （4 分）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为 3 的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙） ，则拼成的长方形的另一边长是 15 （4 分）如图，在直角坐标系中，A 的圆心 A 的坐标为（1，0） ，半径为1，点 P 为直线 y=x+3 上的动点，过点 P 作A 的切线，切点为 Q，则切线长PQ 的最小值是 16 （4 分）如图，正ABO 的边长为 2，O 为坐标原点，A 在 x 轴上，B 在第二象限，ABO 沿 x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到A1B1O，则翻滚 3 次后点 B 的对应点的坐标是 ，翻滚 2017 次后 AB 中点 M 经过的路径长为 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 8 小题，第小题，第 17-19 小题每小题小题每小题 6 分，第分，第 20-21 小题每小小题每小题题 6 分，第分，第 22-23 小题每小题小题每小题 6 分，第分，第 24 小题小题 12 分，共分，共 66 分，请务必写出解分，请务必写出解答过程）答过程）17 （6 分）计算：+（1）0×|2|tan60°18 （6 分）解下列一元一次不等式组：19 （6 分）如图，AB 为半圆 O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 切半圆 O于点 D，连接 OD作 BECD 于点 E，交半圆 O 于点 F已知 CE=12，BE=9（1）求证：CODCBE（2）求半圆 O 的半径 r 的长20 （8 分）根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近 5 年国民生产总值数据如图 1 所示，2016 年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图 2 所示请根据图中信息，解答下列问题：（1）求 2016 年第一产业生产总值（精确到 1 亿元）（2）2016 年比 2015 年的国民生产总值增加了百分之几？（精确到 1%）（3）若要使 2018 年的国民生产总值达到 1573 亿元，求 2016 年至 2018 年我市国民生产总值的平均增长率（精确到 1%）21 （8 分） “五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为 x 小时，租用甲公司的车所需费用为 y1元，租用乙公司的车所需费用为 y2元，分别求出 y1，y2关于 x 的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算22 （10 分）定义：如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，点 P 在该抛物线上（P 点与 A、B 两点不重合） ，如果ABP 的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点 P 为抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的勾股点（1）直接写出抛物线 y=x2+1 的勾股点的坐标（2）如图 2，已知抛物线 C：y=ax2+bx（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，点P（1，）是抛物线 C 的勾股点，求抛物线 C 的函数表达式（3）在（2）的条件下，点 Q 在抛物线 C 上，求满足条件 SABQ=SABP的 Q 点（异于点 P）的坐标23 （10 分）问题背景如图 1，在正方形 ABCD 的内部，作DAE=ABF=BCG=CDH，根据三角形全等的条件，易得DAEABFBCGCDH，从而得到四边形 EFGH 是正方形类比探究如图 2，在正ABC 的内部，作BAD=CBE=ACF，AD，BE，CF 两两相交于D，E，F 三点（D，E，F 三点不重合）（1）ABD，BCE，CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明（2）DEF 是否为正三角形？请说明理由（3）进一步探究发现，ABD 的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索 a，b，c 满足的等量关系24 （12 分）在直角坐标系中，过原点 O 及点 A（8，0） ，C（0，6）作矩形OABC、连结 OB，点 D 为 OB 的中点，点 E 是线段 AB 上的动点，连结 DE，作DFDE，交 OA 于点 F，连结 EF已知点 E 从 A 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 AB 上移动，设移动时间为 t 秒（1）如图 1，当 t=3 时，求 DF 的长（2）如图 2，当点 E 在线段 AB 上移动的过程中，DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 tanDEF 的值（3）连结 AD，当 AD 将DEF 分成的两部分的面积之比为 1：2 时，求相应的t 的值2017 年浙江省衢州市中考数学试卷年浙江省衢州市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分）1 （3 分） （2017德州）2 的倒数是（ ）ABC2D2【分析】根据倒数的定义即可求解【解答】解：2 的倒数是故选：A【点评】主要考查倒数的概念及性质倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数2 （3 分） （2017衢州）如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）ABCD【分析】主视图是从正面看所得到的图形，从左往右分 2 列，正方形的个数分别是：2，1；依此即可求解【解答】解：主视图是从正面看所得到的图形，由图中小立方体的搭法可得主视图是故选：D【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握三种视图所看的位置3 （3 分） （2017衢州）下列计算正确的是（ ）A2a+b=2abB （a）2=a2Ca6÷a2=a3Da3a2=a6【分析】根据整式的运算法则即可求出答案【解答】解：（A）2a 与 b 不是同类项，故不能合并，故 A 不正确；（C）原式=a4，故 C 不正确；（D）原式=a5，故 D 不正确；故选（B）【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型4 （3 分） （2017衢州）据调查，某班 20 位女同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的众数和中位数分别是（ ）尺码（码）3435363738人数251021A35 码，35 码B35 码，36 码C36 码，35 码D36 码，36 码【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数【解答】解：数据 36 出现了 10 次，次数最多，所以众数为 36，一共有 20 个数据，位置处于中间的数是：36，36，所以中位数是（36+36）÷2=36故选 D【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数5 （3 分） （2017衢州）如图，直线 ABCD，A=70°，C=40°，则E 等于（ ）A30° B40° C60° D70°【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出1，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出E 的度数【解答】解：如图，ABCD，A=70°，1=A=70°，1=C+E，C=40°，E=1C=70°40°=30°故选：A【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键6 （3 分） （2017衢州）二元一次方程组的解是（ ）ABCD【分析】用加减消元法解方程组即可【解答】解：得到 y=2，把 y=2 代入得到 x=4，故选 B【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法或代入消元法解方程组，属于中考常考题型7 （3 分） （2017衢州）下列四种基本尺规作图分别表示：作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点 P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）ABCD【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点 P 作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案【解答】解：作一个角等于已知角的方法正确；作一个角的平分线的作法正确；作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；过直线外一点 P 作已知直线的垂线的作法正确故选：C【点评】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键8 （3 分） （2017衢州）如图，在直角坐标系中，点 A 在函数 y=（x0）的图象上，ABx 轴于点 B，AB 的垂直平分线与 y 轴交于点 C，与函数y=（x0）的图象交于点 D，连结 AC，CB，BD，DA，则四边形 ACBD 的面积等于（ ）A2B2C4D4【分析】设 A（a，） ，可求出 D（2a，） ，由于对角线垂直，计算对角线乘积的一半即可【解答】解：设 A（a，） ，可求出 D（2a，） ，ABCD，S四边形 ACBD=ABCD=×2a×=4，故选 C【点评】本题主要考查了反比例函数系数 k 的几何意义以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是设出点 A 和点 B 的坐标9 （3 分） （2017衢州）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，BC=6，将ABC 沿AC 折叠，使点 B 落在点 E 处，CE 交 AD 于点 F，则 DF 的长等于（ ）ABCD【分析】根据折叠的性质得到 AE=AB，E=B=90°，易证 RtAEFRtCDF，即可得到结论 EF=DF；易得 FC=FA，设 FA=x，则 FC=x，FD=6x，在 RtCDF 中利用勾股定理得到关于 x 的方程 x2=42+（6x）2，解方程求出 x【解答】解：矩形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使ABC 落在ACE 的位置，AE=AB，E=B=90°，又四边形 ABCD 为矩形，AB=CD，AE=DC，而AFE=DFC，在AEF 与CDF 中，AEFCDF（AAS） ，EF=DF；四边形 ABCD 为矩形，AD=BC=6，CD=AB=4，RtAEFRtCDF，FC=FA，设 FA=x，则 FC=x，FD=6x，在 RtCDF 中，CF2=CD2+DF2，即 x2=42+（6x）2，解得 x=，则 FD=6x=故选：B【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理10 （3 分） （2017衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是O的直径，CD、EF 是O 的弦，且 ABCDEF，AB=10，CD=6，EF=8则图中阴影部分的面积是（ ）AB10 C24+4D24+5【分析】作直径 CG，连接 OD、OE、OF、DG，则根据圆周角定理求得 DG 的长，证明 DG=EF，则 S扇形 ODG=S扇形 OEF，然后根据三角形的面积公式证明 SOCD=SACD，SOEF=SAEF，则 S阴影=S扇形 OCD+S扇形 OEF=S扇形 OCD+S扇形 ODG=S半圆，即可求解【解答】解：作直径 CG，连接 OD、OE、OF、DGCG 是圆的直径，CDG=90°，则 DG=8，又EF=8，DG=EF，=，S扇形 ODG=S扇形 OEF，ABCDEF，SOCD=SACD，SOEF=SAEF，S阴影=S扇形 OCD+S扇形 OEF=S扇形 OCD+S扇形 ODG=S半圆=×52=故选 A【点评】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理本题中找出两个阴影部分面积之间的联系是解题的关键二、填空题（本题共有二、填空题（本题共有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分）11 （4 分） （2017衢州）二次根式中字母 a 的取值范围是 a2 【分析】由二次根式中的被开方数是非负数，可得出 a20，解之即可得出结论【解答】解：根据题意得：a20，解得：a2故答案为：a2【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，牢记“二次根式中的被开方数是非负数”是解题的关键12 （4 分） （2017衢州）化简：= 1 【分析】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可【解答】解：原式=1【点评】本题考查了分式的加减运算最后要注意将结果化为最简分式13 （4 分） （2017衢州）在一个箱子里放有 1 个白球和 2 个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里摸出 1 个球，则摸到红球的概率是 【分析】由一个不透明的箱子里共有 1 个白球，2 个红球，共 3 个球，它们除颜色外均相同，直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：一个不透明的箱子里有 1 个白球，2 个红球，共有 3 个球，从箱子中随机摸出一个球是红球的概率是；故答案为：【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比14 （4 分） （2017衢州）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为 3 的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙） ，则拼成的长方形的另一边长是 a+6 【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解【解答】解：拼成的长方形的面积=（a+3）232，=（a+3+3） （a+33） ，=a（a+6） ，拼成的长方形一边长为 a，另一边长是 a+6故答案为：a+6【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，表示出剩余部分的面积是解题的关键15 （4 分） （2017衢州）如图，在直角坐标系中，A 的圆心 A 的坐标为（1，0） ，半径为 1，点 P 为直线 y=x+3 上的动点，过点 P 作A 的切线，切点为 Q，则切线长 PQ 的最小值是 2 【分析】连接 AP，PQ，当 AP 最小时，PQ 最小，当 AP直线 y=x+3 时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到 AP=3，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：如图，作 AP直线 y=x+3，垂足为 P，作A 的切线 PQ，切点为 Q，此时切线长 PQ 最小A 的坐标为（1，0） ，设直线与 x 轴，y 轴分别交于 B，C，B（0，3） ，C（4，0） ，OB=3，AC=5，BC=5，AC=BC，在APC 与BOC 中，APCOBC，AP=OB=3，PQ=2【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题16 （4 分） （2017衢州）如图，正ABO 的边长为 2，O 为坐标原点，A 在 x轴上，B 在第二象限，ABO 沿 x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到A1B1O，则翻滚 3 次后点 B 的对应点的坐标是 （5，） ，翻滚 2017次后 AB 中点 M 经过的路径长为 （+896） 【分析】如图作 B3Ex 轴于 E，易知 OE=5，B3E=，观察图象可知 3 三次一个循环，一个循环点 M 的运动路径为+=（），由 2017÷3=6721，可知翻滚2017 次后 AB 中点 M 经过的路径长为 672（）+=（+896）【解答】解：如图作 B3Ex 轴于 E，易知 OE=5，B3E=，B3（5，） ，观察图象可知 3 三次一个循环，一个循环点 M 的运动路径为+=（），2017÷3=6721，翻滚 2017 次后 AB 中点 M 经过的路径长为 672（）+=（+896）故答案为（+896）【点评】本题考查轨迹、规律题、弧长公式、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，循环从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 8 小题，第小题，第 17-19 小题每小题小题每小题 6 分，第分，第 20-21 小题每小小题每小题题 6 分，第分，第 22-23 小题每小题小题每小题 6 分，第分，第 24 小题小题 12 分，共分，共 66 分，请务必写出解分，请务必写出解答过程）答过程）17 （6 分） （2017衢州）计算：+（1）0×|2|tan60°【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意：tan60°=， （1）0=1【解答】解：原式=2+1×2=2+【点评】本题考查特殊三角函数值，实数的运算任何不等于 0 的数的 0 次幂是 118 （6 分） （2017衢州）解下列一元一次不等式组：【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式x2，得：x4，解不等式 3x+2x，得：x1，则不等式组的解集为1x4【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键19 （6 分） （2017衢州）如图，AB 为半圆 O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 切半圆 O 于点 D，连接 OD作 BECD 于点 E，交半圆 O 于点 F已知CE=12，BE=9（1）求证：CODCBE（2）求半圆 O 的半径 r 的长【分析】 （1）由切线的性质和垂直的定义得出E=90°=CDO，再由C=C，得出CODCBE（2）由勾股定理求出 BC=15，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案【解答】 （1）证明：CD 切半圆 O 于点 D，CDOD，CDO=90°，BECD，E=90°=CDO，又C=C，CODCBE（2）解：在 RtBEC 中，CE=12，BE=9，BC=15，CODCBE，即，解得：r=【点评】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键20 （8 分） （2017衢州）根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近 5年国民生产总值数据如图 1 所示，2016 年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图 2 所示请根据图中信息，解答下列问题：（1）求 2016 年第一产业生产总值（精确到 1 亿元）（2）2016 年比 2015 年的国民生产总值增加了百分之几？（精确到 1%）（3）若要使 2018 年的国民生产总值达到 1573 亿元，求 2016 年至 2018 年我市国民生产总值的平均增长率（精确到 1%）【分析】 （1）2016 年第一产业生产总值=2016 年国民生产总值×2016 年第一产业国民生产总值所占百分率列式计算即可求解；（2）先求出 2016 年比 2015 年的国民生产总值增加了多少，再除以 2015 年的国民生产总值即可求解；（3）设 2016 年至 2018 年我市国民生产总值的平均增长率为 x，那么 2017 年我市国民生产总值为 1300（1+x）亿元，2018 年我市国民生产总值为1300（1+x） （1+x）亿元，然后根据 2018 年的国民生产总值要达到 1573 亿元即可列出方程，解方程就可以求出年平均增长率【解答】解：（1）1300×7.1%92（亿元） 答：2016 年第一产业生产总值大约是 92 亿元；（2） （13001204）÷1204×100%=96÷1204×100%8%答：2016 年比 2015 年的国民生产总值大约增加了 8%；（3）设 2016 年至 2018 年我市国民生产总值的年平均增长率为 x，依题意得 1300（1+x）2=1573，1+x=±1.1，x=10%或 x=2.1（不符合题意，故舍去） 答：2016 年至 2018 年我市国民生产总值的年平均增长率约为 10%【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用中增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，其中增长用+，减少用21 （8 分） （2017衢州） “五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为 x 小时，租用甲公司的车所需费用为 y1元，租用乙公司的车所需费用为 y2元，分别求出 y1，y2关于 x 的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算【分析】 （1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得 y1，y2关于x 的函数表达式即可；（2）当 y1=y2时，15x+80=30x，当 y1y2时，15x+8030x，当 y1y2时，15x+8030x，分求得 x 的取值范围即可得出方案【解答】解：（1）设 y1=k1x+80，把点（1，95）代入，可得95=k1+80，解得 k1=15，y1=15x+80（x0） ；设 y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2，即 k2=30，y2=30x（x0） ；（2）当 y1=y2时，15x+80=30x，解得 x=；当 y1y2时，15x+8030x，解得 x；当 y1y2时，15x+8030x，解得 x；当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时注意：求正比例函数 y=kx，只要一对 x，y 的值；而求一次函数 y=kx+b，则需要两组 x，y 的值22 （10 分） （2017衢州）定义：如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，点 P 在该抛物线上（P 点与 A、B 两点不重合） ，如果ABP 的三边满足 AP2+BP2=AB2，则称点 P 为抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的勾股点（1）直接写出抛物线 y=x2+1 的勾股点的坐标（2）如图 2，已知抛物线 C：y=ax2+bx（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，点P（1，）是抛物线 C 的勾股点，求抛物线 C 的函数表达式（3）在（2）的条件下，点 Q 在抛物线 C 上，求满足条件 SABQ=SABP的 Q 点（异于点 P）的坐标【分析】 （1）根据抛物线勾股点的定义即可得；（2）作 PGx 轴，由点 P 坐标求得 AG=1、PG=、PA=2，由 tanPAB=知PAG=60°，从而求得 AB=4，即 B（4，0） ，待定系数法求解可得；（3）由 SABQ=SABP且两三角形同底，可知点 Q 到 x 轴的距离为，据此求解可得【解答】解：（1）抛物线 y=x2+1 的勾股点的坐标为（0，1） ；（2）抛物线 y=ax2+bx 过原点，即点 A（0，0） ，如图，作 PGx 轴于点 G，点 P 的坐标为（1，） ，AG=1、PG=，PA=2，tanPAB=，PAG=60°，在 RtPAB 中，AB=4，点 B 坐标为（4，0） ，设 y=ax（x4） ，将点 P（1，）代入得：a=，y=x（x4）=x2+x；（3）当点 Q 在 x 轴上方时，由 SABQ=SABP知点 Q 的纵坐标为，则有x2+x=，解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去） ，点 Q 的坐标为（3，） ；当点 Q 在 x 轴下方时，由 SABQ=SABP知点 Q 的纵坐标为，则有x2+x=，解得：x1=2+，x2=2，点 Q 的坐标为（2+，）或（2，） ；综上，满足条件的点 Q 有 3 个：（3，）或（2+，）或（2，） 【点评】本题主要考查抛物线与 x 轴的交点及待定系数法求函数解析式，根据新定义求得点 B 的坐标，并熟练掌握待定系数求函数解析式及三角形面积问题是解题的关键23 （10 分） （2017衢州）问题背景如图 1，在正方形 ABCD 的内部，作DAE=ABF=BCG=CDH，根据三角形全等的条件，易得DAEABFBCGCDH，从而得到四边形 EFGH 是正方形类比探究如图 2，在正ABC 的内部，作BAD=CBE=ACF，AD，BE，CF 两两相交于D，E，F 三点（D，E，F 三点不重合）（1）ABD，BCE，CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明（2）DEF 是否为正三角形？请说明理由（3）进一步探究发现，ABD 的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索 a，b，c 满足的等量关系【分析】 （1）由正三角形的性质得出CAB=ABC=BCA=60°，AB=BC，证出ABD=BCE，由 ASA 证明ABDBCE 即可；（2）由全等三角形的性质得出ADB=BEC=CFA，证出FDE=DEF=EFD，即可得出结论；（3）作 AGBD 于 G，由正三角形的性质得出ADG=60°，在 RtADG 中，DG=b，AG=b，在 RtABG 中，由勾股定理即可得出结论【解答】解：（1）ABDBCECAF；理由如下：ABC 是正三角形，CAB=ABC=BCA=60°，AB=BC，ABD=ABC2，BCE=ACB3，2=3，ABD=BCE，在ABD 和BCE 中，ABDBCE（ASA） ；（2）DEF 是正三角形；理由如下：ABDBCECAF，ADB=BEC=CFA，FDE=DEF=EFD，DEF 是正三角形；（3）作 AGBD 于 G，如图所示：DEF 是正三角形，ADG=60°，在 RtADG 中，DG=b，AG=b，在 RtABG 中，c2=（a+b）2+（b）2，c2=a2+ab+b2【点评】本题是综合题目，考查了正三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键24 （12 分） （2017衢州）在直角坐标系中，过原点 O 及点 A（8，0） ，C（0，6）作矩形 OABC、连结 OB，点 D 为 OB 的中点，点 E 是线段 AB 上的动点，连结 DE，作 DFDE，交 OA 于点 F，连结 EF已知点 E 从 A 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 AB 上移动，设移动时间为 t 秒（1）如图 1，当 t=3 时，求 DF 的长（2）如图 2，当点 E 在线段 AB 上移动的过程中，DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 tanDEF 的值（3）连结 AD，当 AD 将DEF 分成的两部分的面积之比为 1：2 时，求相应的t 的值【分析】 （1）当 t=3 时，点 E 为 AB 的中点，由三角形中位线定理得出DEOA，DE=OA=4，再由矩形的性质证出 DEAB，得出OAB=DEA=90°，证出四边形 DFAE 是矩形，得出 DF=AE=3 即可；（2）作 DMOA 于 M，DNAB 于 N，证明四边形 DMAN 是矩形，得出MDN=90°，DMAB，DNOA，由平行线得出比例式，=，由三角形中位线定理得出 DM=AB=3，DN=OA=4，证明DMFDNE，得出=，再由三角函数定义即可得出答案；（3）作作 DMOA 于 M，DNAB 于 N，若 AD 将DEF 的面积分成 1：2 的两部分，设 AD 交 EF 于点 G，则点 G 为 EF 的三等分点；当点 E 到达中点之前时，NE=3t，由DMFDNE 得：MF=（3t） ，求出AF=4+MF=t+，得出 G（，t） ，求出直线 AD 的解析式为 y=x+6，把 G（，t）代入即可求出 t 的值；当点 E 越过中点之后，NE=t3，由DMFDNE 得：MF=（t3） ，求出AF=4MF=t+，得出 G（，t） ，代入直线 AD 的解析式 y=x+6 求出t 的值即可【解答】解：（1）当 t=3 时，点 E 为 AB 的中点，A（8，0） ，C（0，6） ，OA=8，OC=6，点 D 为 OB 的中点，DEOA，DE=OA=4，四边形 OABC 是矩形，OAAB，DEAB，OAB=DEA=90°，又DFDE，EDF=90°，四边形 DFAE 是矩形，DF=AE=3；（2）DEF 的大小不变；理由如下：作 DMOA 于 M，DNAB 于 N，如图 2 所示：四边形 OABC 是矩形，OAAB，四边形 DMAN 是矩形，MDN=90°，DMAB，DNOA，=，点 D 为 OB 的中点，M、N 分别是 OA、AB 的中点，DM=AB=3，DN=OA=4，EDF=90°，FDM=EDN，又DMF=DNE=90°，DMFDNE，=，EDF=90°，tanDEF=；（3）作 DMOA 于 M，DNAB 于 N，若 AD 将DEF 的面积分成 1：2 的两部分，设 AD 交 EF 于点 G，则点 G 为 EF 的三等分点；当点 E 到达中点之前时，如图 3 所示，NE=3t，由DMFDNE 得：MF=（3t） ，AF=4+MF=t+，点 G 为 EF 的三等分点，G（，t） ，设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，把 A（8，0） ，D（4，3）代入得：，解得：，直线 AD 的解析式为 y=x+6，把 G（，t）代入得：t=；当点 E 越过中点之后，如图 4 所示，NE=t3，由DMFDNE 得：MF=（t3） ，AF=4MF=t+，点 G 为 EF 的三等分点，G（，t） ，代入直线 AD 的解析式 y=x+6 得：t=；综上所述，当 AD 将DEF 分成的两部分的面积之比为 1：2 时，t 的值为或【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、一次函数解析式的求法等知识；本题综合性强，难度较大