2017年四川省自贡市中考数学试卷.doc

2017 年四川省自贡市中考数学试卷年四川省自贡市中考数学试卷一一.选择题（共选择题（共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分；在每题给出的四个选项中，分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的）1 （4 分）计算（1）2017的结果是（ ）A1B1C2017D20172 （4 分）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）A水涨船高B守株待兔C水中捞月D缘木求鱼3 （4 分）380 亿用科学记数法表示为（ ）A38×109B0.38×1013C3.8×1011D3.8×10104 （4 分）不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）ABCD5 （4 分）如图，ab，点 B 在直线 a 上，且 ABBC，1=35°，那么2=（ ）A45° B50° C55° D60°6 （4 分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）ABCD7 （4 分）对于一组统计数据 3，3，6，5，3下列说法错误的是（ ）A众数是 3B平均数是 4 C方差是 1.6D中位数是 68 （4 分）下面是几何体中，主视图是矩形的（ ）ABCD9 （4 分）下列四个命题中，其正确命题的个数是（ ）若 ab，则； 垂直于弦的直径平分弦；平行四边形的对角线互相平分；反比例函数 y=，当 k0 时，y 随 x 的增大而增大A1B2C3D410 （4 分）AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，PO 交O 于点 C；连接 BC，若P=40°，则B 等于（ ）A20° B25° C30° D40°11 （4 分）填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律 m的值为（ ）A180 B182 C184 D18612 （4 分）一次函数 y1=k1x+b 和反比例函数 y2=（k1k20）的图象如图所示，若 y1y2，则 x 的取值范围是（ ）A2x0 或 x1B2x1Cx2 或 x1Dx2 或 0x1二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分）分）13 （4 分）计算（）1= 14 （4 分）在ABC 中，MNBC 分别交 AB，AC 于点 M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，则 MN 的长为 15 （4 分）我国明代数学家程大位的名著直接算法统宗里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有 100 个和尚分 100 个馒头，正好分完；如果大和尚一人分 3 个，小和尚 3 人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有 x，y 人，则可以列方程组 16 （4 分）圆锥的底面周长为 6cm，高为 4cm，则该圆锥的全面积是 ；侧面展开扇形的圆心角是 17 （4 分）如图，等腰ABC 内接于O，已知 AB=AC，ABC=30°，BD 是O 的直径，如果 CD=，则 AD= 18 （4 分）如图，13 个边长为 1 的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形请在如图所示的网格中（网格的边长为 1）中，用直尺作出这个大正方形三、解答题（共三、解答题（共 8 个题，共个题，共 78 分）分）19 （8 分）计算：4sin45°+|2|+（）020 （8 分）先化简，再求值：（a+）÷，其中 a=221 （8 分）如图，点 E，F 分别在菱形 ABCD 的边 DC，DA 上，且 CE=AF求证：ABF=CBE22 （8 分）两个城镇 A，B 与一条公路 CD，一条河流 CE 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到 A，B 的距离必须相等，到 CD 和 CE 的距离也必须相等，且在DCE 的内部，请画出该山庄的位置 P （不要求写作法，保留作图痕迹 ）23 （10 分）某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图请结合统计图，回答下列问题：（1）本次调查学生共 人，a= ，并将条形图补充完整；（2）如果该校有学生 2000 人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？（3）学校让每班在 A、B、C、D 四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率24 （10 分） 【探究函数 y=x+的图象与性质】（1）函数 y=x+的自变量 x 的取值范围是 ；（2）下列四个函数图象中函数 y=x+的图象大致是 ；（3）对于函数 y=x+，求当 x0 时，y 的取值范围请将下列的求解过程补充完整解：x0y=x+=（）2+（）2=（）2+ （）20y 拓展运用（4）若函数 y=，则 y 的取值范围 25 （12 分）如图 1，在平面直角坐标系，O 为坐标原点，点 A（1，0） ，点B（0，） （1）求BAO 的度数；（2）如图 1，将AOB 绕点 O 顺时针旋转得AOB，当 A恰好落在 AB 边上时，设ABO 的面积为 S1，BAO 的面积为 S2，S1与 S2有何关系？为什么？（3）若将AOB 绕点 O 顺时针旋转到如图 2 所示的位置，S1与 S2的关系发生变化了吗？证明你的判断26 （14 分）抛物线 y=4x22ax+b 与 x 轴相交于 A（x1，0） ，B（x2，0）（0x1x2）两点，与 y 轴交于点 C（1）设 AB=2，tanABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点 D 为直线 BC 下方抛物线上一动点，当BCD 的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）是否存在整数 a，b 使得 1x12 和 1x22 同时成立，请证明你的结论2017 年四川省自贡市中考数学试卷年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一一.选择题（共选择题（共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分；在每题给出的四个选项中，分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的）1 （4 分） （2017自贡）计算（1）2017的结果是（ ）A1B1C2017D2017【分析】直接利用有理数的乘方性质得出答案【解答】解：（1）2017=1，故选 A【点评】本题主要考查了有理数的乘方，正确掌握：1 的奇数次方为1，1 的偶数次方为 1 是解题关键2 （4 分） （2017自贡）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）A水涨船高B守株待兔C水中捞月D缘木求鱼【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可【解答】解：水涨船高是必然事件，A 不正确；守株待兔是随机事件，B 正确；水中捞月是不可能事件，C 不正确缘木求鱼是不可能事件，D 不正确；故选：B【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件3 （4 分） （2017自贡）380 亿用科学记数法表示为（ ）A38×109B0.38×1013C3.8×1011D3.8×1010【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值是易错点，由于 380 亿有 11 位，所以可以确定 n=111=10【解答】解：380 亿=38 000 000 000=3.8×1010故选：D【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 n 值是关键4 （4 分） （2017自贡）不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）ABCD【分析】首先分别解出两个不等式的解集，然后根据大小小大中间找确定解集，再利用数轴画出解集即可【解答】解：，解得：x1，解得：x2，不等式组的解集为：1x2，在数轴上表示为，故选：C【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，以及把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画） ，在表示解集时“”， “”要用实心圆点表示；“”， “”要用空心圆点表示5 （4 分） （2017自贡）如图，ab，点 B 在直线 a 上，且 ABBC，1=35°，那么2=（ ）A45° B50° C55° D60°【分析】先根据1=35°，ab 求出3 的度数，再由 ABBC 即可得出答案【解答】解：ab，1=35°，3=1=35°ABBC，2=90°3=55°故选 C【点评】本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键6 （4 分） （2017自贡）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）ABCD【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意故选：A【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合7 （4 分） （2017自贡）对于一组统计数据 3，3，6，5，3下列说法错误的是（ ）A众数是 3B平均数是 4 C方差是 1.6D中位数是 6【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，利用平均数和方差的定义可分别求出【解答】解：A、这组数据中 3 都出现了 3 次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为 3，此选项正确；B、由平均数公式求得这组数据的平均数为 4，故此选项正确；C、S2=（34）2+（34）2+（64）2+（54）2+（34）2=1.6，故此选项正确；D、将这组数据按从大到小的顺序排列，第 3 个数是 3，故中位数为 3，故此选项错误；故选：D【点评】本题考查了统计学中的平均数，众数，中位数与方差的定义解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而错选8 （4 分） （2017自贡）下面是几何体中，主视图是矩形的（ ）ABCD【分析】先得到相应的几何体，找到从正面看所得到的图形即可【解答】解：A、圆柱的主视图为矩形，符合题意；B、球体的主视图为圆，不合题意；C、圆锥的主视图为三角形，不合题意；D、圆台的主视图为等腰梯形，不合题意故选：A【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图9 （4 分） （2017自贡）下列四个命题中，其正确命题的个数是（ ）若 ab，则； 垂直于弦的直径平分弦；平行四边形的对角线互相平分；反比例函数 y=，当 k0 时，y 随 x 的增大而增大A1B2C3D4【分析】根据不等式的性质、垂径定理、平行四边形的性质、反比例函数的性质进行判断即可【解答】解：若 ab，则；不正确；垂直于弦的直径平分弦；正确；平行四边形的对角线互相平分；正确；反比例函数 y=，当 k0 时，y 随 x 的增大而增大；不正确其中正确命题的个数为 2 个，故选：B【点评】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理10 （4 分） （2017自贡）AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，PO 交O 于点C；连接 BC，若P=40°，则B 等于（ ）A20° B25° C30° D40°【分析】由切线的性质得：PAB=90°，根据直角三角形的两锐角互余计算POA=50°，最后利用同圆的半径相等得结论【解答】解：PA 切O 于点 A，PAB=90°，P=40°，POA=90°40°=50°，OC=OB，B=BCO=25°，故选 B【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径是关键11 （4 分） （2017自贡）填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律 m 的值为（ ）A180 B182 C184 D186【分析】利用已知数据的规律进而得出最后表格中数据，进而利用数据之间关系得出 m 的值【解答】解：由前面数字关系：1，3，5；3，5，7；5，7，9，可得最后一个三个数分别为：11，13，15，3×51=14， ；5×73=32；7×95=58；m=13×1511=184故选：C【点评】此题主要考查了数字变化规律，正确得出表格中数据是解题关键12 （4 分） （2017自贡）一次函数 y1=k1x+b 和反比例函数 y2=（k1k20）的图象如图所示，若 y1y2，则 x 的取值范围是（ ）A2x0 或 x1B2x1Cx2 或 x1Dx2 或 0x1【分析】直接利用两函数图象的交点横坐标得出 y1y2时，x 的取值范围【解答】解：如图所示：若 y1y2，则 x 的取值范围是：x2 或 0x1故选：D【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确利用函数图象分析是解题关键二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分）分）13 （4 分） （2017自贡）计算（）1= 2 【分析】根据幂的负整数指数运算法则进行计算即可【解答】解：原式=2，故答案为2【点评】本题主要考查了负整数指数幂的运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算，比较简单14 （4 分） （2017自贡）在ABC 中，MNBC 分别交 AB，AC 于点 M，N；若 AM=1，MB=2，BC=3，则 MN 的长为 1 【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论【解答】解：MNBC，AMNABC，即，MN=1，故答案为：1【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键15 （4 分） （2017自贡）我国明代数学家程大位的名著直接算法统宗里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有 100 个和尚分 100 个馒头，正好分完；如果大和尚一人分 3 个，小和尚 3 人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有 x，y 人，则可以列方程组 【分析】分别利用大、小和尚一共 100 人以及馒头大和尚一人分 3 个，小和尚3 人分一个，馒头一共 100 个分别得出等式得出答案【解答】解：设大、小和尚各有 x，y 人，则可以列方程组：故答案为：【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键16 （4 分） （2017自贡）圆锥的底面周长为 6cm，高为 4cm，则该圆锥的全面积是 24 ；侧面展开扇形的圆心角是 216° 【分析】根据底面周长可求得底面半径，由勾股定理求出母线长（扇形的半径） ，进而可求得圆锥的全面积，根据扇形的弧长公式求出侧面展开扇形的圆心角度数即可【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，母线长为 R，侧面展开扇形的圆心角为 n°；圆锥的底面周长为 2r=6cm，r=3，圆锥的高为 4cm，R=5（cm） ，圆锥的全面积=底面积+侧面积=×32+×6×5=24，侧面展开扇形的弧长 l=底面周长=6=，n=216，即侧面展开扇形的圆心角是 216°；故答案为：24，216°【点评】本题考查了圆锥的计算、勾股定理、弧长公式；解决本题的关键是根据底面周长得到圆锥的底面半径和母线长17 （4 分） （2017自贡）如图，等腰ABC 内接于O，已知AB=AC，ABC=30°，BD 是O 的直径，如果 CD=，则 AD= 4 【分析】只要证明 AD=BC，在 RtBCD 中求出 BC 即可解决问题【解答】解：AB=AC，ABC=ACB=ADB=30°，BD 是直径，BAD=90°，ABD=60°，CBD=ABDABC=30°，ABC=CBD，=，=，AD=CB，BCD=90°，BC=CDtan60°=4，AD=BC=4故答案为 4【点评】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、含 30 度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型18 （4 分） （2017自贡）如图，13 个边长为 1 的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形请在如图所示的网格中（网格的边长为 1）中，用直尺作出这个大正方形【分析】直接根据阴影部分面积得出正方形边长，进而得出答案【解答】 解：如图所示：所画正方形即为所求【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确得出正方形边长是解题关键三、解答题（共三、解答题（共 8 个题，共个题，共 78 分）分）19 （8 分） （2017自贡）计算：4sin45°+|2|+（）0【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及结合零指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：4sin45°+|2|+（）0=4×+22+1=22+3=3【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键20 （8 分） （2017自贡）先化简，再求值：（a+）÷，其中 a=2【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果【解答】解：（a+）÷，=（+）÷，=+，=，=，=；当 a=2 时，原式=3【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键21 （8 分） （2017自贡）如图，点 E，F 分别在菱形 ABCD 的边 DC，DA 上，且CE=AF求证：ABF=CBE【分析】根据菱形的性质可得 AB=BC，A=C，再证明ABFCBE，根据全等三角形的性质可得结论【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形，AB=BC，A=C，在ABF 和CBE 中，ABFCBE（SAS） ，ABF=CBE【点评】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键22 （8 分） （2017自贡）两个城镇 A，B 与一条公路 CD，一条河流 CE 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到 A，B 的距离必须相等，到CD 和 CE 的距离也必须相等，且在DCE 的内部，请画出该山庄的位置 P （不要求写作法，保留作图痕迹 ）【分析】根据角平分线的性质可知：到 CD 和 CE 的距离相等的点在ECD 的平分线上，所以第一步作：ECD 的平分线 CF；根据中垂线的性质可知：到 A，B 的距离相等的点在 AB 的中垂线上，所以第二步：作线段 AB 的中垂线 MN，其交点就是 P 点【解答】解：作法：作ECD 的平分线 CF，作线段 AB 的中垂线 MN，MN 与 CF 交于点 P，则 P 就是山庄的位置【点评】本题考查了应用与设计作图，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法，角平分线的作法是解题的关键23 （10 分） （2017自贡）某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图请结合统计图，回答下列问题：（1）本次调查学生共 300 人，a= 10 ，并将条形图补充完整；（2）如果该校有学生 2000 人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？（3）学校让每班在 A、B、C、D 四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率【分析】 （1）用 A 类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数，再用 1 分别减去 A、C、D 类的百分比即可得到 a 的值，然后用 a%乘以总人数得到 B 类人数，再补全条形统计图；（2）用 2000 乘以 A 类的百分比即可（3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）120÷40%=300，a%=140%30%20%=10%，a=10，10%×300=30，故答案为：300，10；图形如下：（2）2000×40%=800（人） ，答：估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有 800 人；（3）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为 2，所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率=【点评】本题考查的是统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键24 （10 分） （2017自贡） 【探究函数 y=x+的图象与性质】（1）函数 y=x+的自变量 x 的取值范围是 x0 ；（2）下列四个函数图象中函数 y=x+的图象大致是 C ；（3）对于函数 y=x+，求当 x0 时，y 的取值范围请将下列的求解过程补充完整解：x0y=x+=（）2+（）2=（）2+ 4 （）20y 4 拓展运用（4）若函数 y=，则 y 的取值范围 y1 或 y11 【分析】根据反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质解答即可【解答】解：（1）函数 y=x+的自变量 x 的取值范围是 x0；（2）函数 y=x+的图象大致是 C；（3）解：x0y=x+=（）2+（）2=（）2+4（）20y4（4）当 x0，y=x+5（）2+（）25=（）2+1（）20，y1x0，y=x+5（）2+（）2+5=（）211=（）20，y11故答案为：x0，C，4，4，y1 或 y11，【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质，熟记函数的性质是解题的关键25 （12 分） （2017自贡）如图 1，在平面直角坐标系，O 为坐标原点，点A（1，0） ，点 B（0，） （1）求BAO 的度数；（2）如图 1，将AOB 绕点 O 顺时针旋转得AOB，当 A恰好落在 AB 边上时，设ABO 的面积为 S1，BAO 的面积为 S2，S1与 S2有何关系？为什么？（3）若将AOB 绕点 O 顺时针旋转到如图 2 所示的位置，S1与 S2的关系发生变化了吗？证明你的判断【分析】 （1）先求出 OA，OB，再用锐角三角函数即可得出结论；（2）根据等边三角形的性质可得 AO=AA'，再根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半求出 AO=AB，然后求出 AO=OA'，再根据等边三角形的性质求出点 O 到 AB 的距离等于点 A'到 AO 的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（3）方法 1、根据旋转的性质可得 BO=OB'，AA'=OA'，再求出AON=A'OM，然后利用“角角边”证明AON 和A'OM 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AN=A'M，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明方法 2、利用三角形的中线判断出 SAOB'=SB'OC，再判断出A'OBCOB'，即SA'OB=SCOB'，即可【解答】解：（1）A（1，0） ，B（0，） ，OA=1，OB=，在 RtAOB 中，tanBAO=，BAO=60°；（2）BAO=60°，AOB=90°，ABO=30°，CA'=AC=AB，OA'=AA'=AO，根据等边三角形的性质可得，AOA'的边 AO、AA'上的高相等，BA'O 的面积和AB'O 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等） ，即 S1=S2，（3）S1=S2不发生变化；方法 1、理由：如图，过点'作 A'MOB过点 A 作 ANOB'交 B'O 的延长线于N，A'B'O 是由ABO 绕点 O 旋转得到，BO=OB'，AO=OA'，AON+BON=90°，A'OM+BON=180°90°=90°，AON=A'OM，在AON 和A'OM 中，AONA'OM（AAS） ，AN=A'M，BOA'的面积和AB'O 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等） ，即 S1=S2方法 2、如图 2，在 x 轴正半轴上取一点 C，使 OC=OA，连接 B'C，SAOB'=SB'OC，由旋转知，AO'=AO，BO=B'O，OC=OA'BOC=A'OB'=90°，A'OB=COB'，A'OBCOB'，SA'OB=SCOB'，SA'OB=SAOB'，即 S1=S2【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，三角形的面积计算公式，等边三角形的判定与性质，直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质的综合应用，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键26 （14 分） （2017自贡）抛物线 y=4x22ax+b 与 x 轴相交于 A（x1，0） ，B（x2，0） （0x1x2）两点，与 y 轴交于点 C（1）设 AB=2，tanABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点 D 为直线 BC 下方抛物线上一动点，当BCD 的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）是否存在整数 a，b 使得 1x12 和 1x22 同时成立，请证明你的结论【分析】 （1）由 tanABC=4，可以假设 B（m，0） ，则 A（m2，0） ，C（0，4m） ，可得抛物线的解析式为 y=4（xm） （xm+2） ，把 C（0，4m）代入y=4（xm） （xm+2） ，求出 m 的值即可解决问题；（2）设 P（m，4m216m+12） 作 PHOC 交 BC 于 H，根据 SPBC=SPHC+SPHB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题；（3）不存在假设存在，由题意由题意可知，且 12，首先求出整数 a 的值，代入不等式组，解不等式组即可解决问题【解答】解：（1）tanABC=4可以假设 B（m，0） ，则 A（m2，0） ，C（0，4m） ，可以假设抛物线的解析式为 y=4（xm） （xm+2） ，把 C（0，4m）代入 y=4（xm） （xm+2） ，得 m=3，抛物线的解析式为 y=4（x3） （x1） ，y=4x216x+12，（2）如图，设 D（m，4m216m+12） 作 DHOC 交 BC 于 HB（3，0） ，C（0，12） ，直线 BC 的解析式为 y=4x+12，H（m，4m+12） ，SDBC=SDHC+SDHB=（4m+124m2+16m12）3=6（m）2+，60，m=时，DBC 面积最大，此时 D（，3） （3）不存在理由：假设存在由题意可知，且 12，4a8，a 是整数，a=5 或 6 或 7，当 a=5 时，代入不等式组，不等式组无解当 a=6 时，代入不等式组，不等式组无解当 a=7 时，代入不等式组，不等式组无解综上所述，不存在整数 a、b，使得 1x12 和 1x22 同时成立【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积，不等式组等整数，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，学会利用不等式组解决问题，属于中考压轴题