2013中考数学精选例题解析：方差.doc

12 013 中考数学精选例题解析：方差知识考点：了解样本方差、总体方差、样本标准差的意义，掌握它们的计算方法，并能以此比较同类问题的两组数据的波动情况，了解用样本方差估计总体方差的思想方法。精典例题：【例 1】选用恰当的公式，求下列各数据的方差。（1）2，1，4 （2）1，1，2 （3）79，81，82分析：由于（1）中各数据及它们的平均数为较小整数，因此选用公式：22 22 12)()()(1xxxxxxnSn 求方差较简便；（2）中各数据虽为较小整数，但它们的平均数为分数，因此选用公式： _ 222 22 12)(1nxxxxnSn求方差较简便；（3）中数据较大且接近 80，因此取80a运用公式： _ 222 22 12)(1xnxxxnSn求方差较简便。答案：（1）62S；（2）9512S；（3）9512S【例 2】甲、乙两人在相同条件下，各射靶 10 次，每次射靶的成绩情况如图所示，ÒÒ¼×10 9 8 7 6 5 4 3 2 1Ê®¾Å°ËÆßÁùÎåËÄÈý¶þÒ»´ÎÊý»·Êý（1）请填写下表：2平均数方差中位数命中 9 环以上次数甲71.21乙（2）请从下面四个不同的角度，对这次测试结果进行分析。从平均数和方差相结合看；从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；从平均数和命中 9 环以上次数相结合看（分析谁的成绩好些）；从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）解：（1）略；（2）平均数相同，乙甲22SS，甲的成绩比乙稳定；平均数相同，甲的中位数乙的中位数，乙的成绩比甲好些；平均数相同，命中 9 环以上环数甲比乙少，乙的成绩比甲好些；甲成绩的平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力。评注：方差、标准差都是反映数据波动大小的量，波动大小是数据的属性，而不是判断好坏的标准。探索与创新：【问题一】某工人加工一种轴，轴的直径要求是 20±5 毫米，他先加工了 8 件，量得直径分别为（单位：毫米）：19.7、20.2、19.6、19.8、20.2、20.3、19.8、20.0。当他加工完 10 件后，发现这 10件的直径平均数为 20 毫米，标准差为 0.3 毫米，请问此工人最后加工的两件轴的直径符合要求吗？为什么？分析：要想作出正确的判断，需首先根据已知的平均数和标准差求出最后加工的两件轴的直径。解：此工人最后加工的两件轴中，只有一件的直径符合要求。3设最后加工的两件轴的直径分别为x毫米，y毫米（xy），令mx 20，ny 20，取20a，则02020_ axx。由)02 . 03 . 02 . 02 . 04 . 02 . 03 . 0(101_ nmx得：4 . 0 nm由22222223 . 0)4 . 0(2 . 0)3 . 0(101 nmS得：4 . 022 nm有方程组 4 . 04 . 022nmnm，解得： 6 . 02 . 0nm8 .19202 . 0x，6 .20206 . 0y因此该工人最后加工的两件轴中有一件是符合要求的（直径为 19.8 毫米的），一件是不符合要求的（直径为 20.6 毫米的）。跟踪训练：一、选择题：1、已知一组数据1，x，0，1，2 的平均数是 0，那么这组数据的方差是（ ）A、2 B、2 C、4 D、102、某工厂对一个生产小组的零件进行抽样调查，在 10 天中，这个生产小组每天出的次品数为（单位：个）：0，2，0，2，3，0，2，3，1，2，在这 10 天中，该生产小组生产零件所出的次品数的（ ）A、平均数是 2 B、众数是 3 C、中位数是 1.5 D、方差是 1.253、设1x、2x、nx的方差是2S，则151x、152x、15nx的方差是（ ）A、25S B、152S C、225S D、1252S4、下列各组数据中，满足条件“容量为 5，平均数为 4，方差为 2”的是（ ）A、3，4，4，3，5 B、4，4.5，3.5，6，2C、24，3，6，3，24 D、5，3，4，7，14二、填空题：1、为了考查一个养鸡场里鸡的生长情况，从中抽取 5 只，称得它们的重量如下（单位：千克）：3.3，3.0，3.4，3.1，3.2，在这个问题中，样本方差2S 。2、一名学生军训时连续射靶 10 次，命中的环数分别为4、7、8、6、5、9、10、7、6、8，则这名学生射击环数的标准差是 。3、若a、4、2、5、3 的平均数是b，且a、b是方程0342 xx的两个根，则这组数据的方差为 。4、已知样本 99、101、102、x、y（xy）的平均数为 100，方差为 2，则x ，y 。5、现有 A、B 两个班级，每个班级各有 45 名学生参加一次测验，每名参加者可获得0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 分这几种不同分值中的一种。测试结果 A 班的成绩如下表所示，B 班的成绩如图所示。 分数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数 1 3 5 7 6 8 6 4 3 2 °àBA°à·ÖÊýÈËÊý 181083987654321（1）由观察所得， 班的标准差较大；（2）若两班合计共有 60 人及格，问参加者最少获 分值可以及格。三、解答题：1、为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了 10 株苗，测得苗高如下（单位：cm）：甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11如果你也经过了这次考察，请你经过计算后回答下列问题：（1）哪种农作物的 10 株苗长的比较高？（2）哪种农作物的 10 株苗长的比较整齐？52、甲、乙两个小组各 10 名同学进行英语口语会话练习，各练 5 次，他们每个同学合格的次数分别如下：甲组：4，1，2，2，1，3，3，1，2，1乙组：4，3，0，2，1，3，3，0，1，3（1）如果合格 3 次以上（含 3 次）作为及格标准，请你说明哪个小组的及格率高？（2）请你比较哪个小组的口语会话的合格次数较稳定？3、甲、乙两个班举行电脑汉字输入速度比赛，各选 10 名学生参加，各班参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：输入汉字（个）132133134135136137众数中位数平均数方差甲班学生（人）1015211351351351.6乙班学生（人）014122请你填写上表中乙班学生的相关数据，再根据所学的统计学知识，从不同方面评价甲、乙两班学生的比赛成绩（至少从两个方面进行评价）。4、一次科技知识竞赛，两组学生成绩如下表：已知算得两个组的平均分都是 80分，请根据你所学的统计学知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由。分数5060708090100甲组251013146 人数 乙组441621212参考答案一、选择题：BDCC二、填空题：1、0.02；2、3；3、2；4、x98，y100；5、（1）A，（2）4 分6三、解答题：1、（1）甲x10，乙x10两种农作物的 10 株苗的平均高度相同。（2）甲2S3.6，乙2S4.2甲2S乙2S故甲种农作物的 10 株苗长的比较整齐。2、（1）甲组合格人数为 3 人，甲组及格率为%30%100103；同理乙组的及格率为 50，所以乙组的及格率高。（2）甲x2，乙x2，甲2S1，乙2S1.8甲2S乙2S甲组的口语会话的合格次数比较稳定。3、134，134.5，135，1.8。评价：从众数看，甲班每分钟输入 135 字的人最多，乙班每分钟输入 134 字的人最多；从中位数看，甲班每分钟输入 135 字以上的人数比乙班多；从方差看，甲2S乙2S，甲班成绩波动小，比较稳定；从最好成绩看，乙班速度最快的选手比甲班多 1 人。4、从成绩的众数来看，由于甲组、乙组成绩的众数分别为 90 分、70 分，因此甲班成绩较好；从中位数、平均数来看，甲乙两组成绩的中位数、众数都是 80 分，成绩相同，其中成绩在 80 分以上的甲、乙两班各有 33 人，26 人，因此甲组成绩总体较好；从方差来看，甲2S172，乙2S256，所以甲2S乙2S，甲组成绩比乙组更稳定；从高分段看，甲、乙两组成绩达到或超过 90 分的分别有 20 人、24 人，因此乙组成绩较好。