2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：44 综合性问题.doc

1综合性问题综合性问题一、选择题一、选择题1. （ 2014安徽省,第 8 题 4 分）如图，RtABC 中，AB=9，BC=6，B=90°，将ABC折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为（ ）ABC4D5考点：翻折变换（折叠问题） 分析：设 BN=x，则由折叠的性质可得 DN=AN=9x，根据中点的定义可得 BD=3，在RtABC 中，根据勾股定理可得关于 x 的方程，解方程即可求解解答：解：设 BN=x，由折叠的性质可得 DN=AN=9x，D 是 BC 的中点，BD=3，在 RtABC 中，x2+32=（9x）2，解得 x=4故线段 BN 的长为 4故选：C点评：考查了翻折变换（折叠问题） ，涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大2. （ 2014福建泉州，第 7 题 3 分）在同一平面直角坐标系中，函数 y=mx+m 与y= （m0）的图象可能是（ ）ABCD2考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象分析： 先根据一次函数的性质判断出 m 取值，再根据反比例函数的性质判断出 m 的取值，二者一致的即为正确答案解答：解：A、由函数 y=mx+m 的图象可知 m0，由函数 y= 的图象可知 m0，故本选项正确；B、由函数 y=mx+m 的图象可知 m0，由函数 y= 的图象可知 m0，相矛盾，故本选项错误；C、由函数 y=mx+m 的图象 y 随 x 的增大而减小，则 m0，而该直线与 y 轴交于正半轴，则 m0，相矛盾，故本选项错误；D、由函数 y=mx+m 的图象 y 随 x 的增大而增大，则 m0，而该直线与 y 轴交于负半轴，则 m0，相矛盾，故本选项错误；故选：A点评： 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题3. （2014广西贺州，第 10 题 3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，且a0）的图象如图所示，则一次函数 y=cx+与反比例函数 y=在同一坐标系内的大致图象是（ ）ABCD3考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象分析： 先根据二次函数的图象得到 a0，b0，c0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置解答： 解：抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴为直线 x=0，b0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，c0，一次函数 y=cx+的图象过第二、三、四象限，反比例函数 y=分布在第二、四象限故选 B点评： 本题考查了二次函数的图象：二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a0）的图象为抛物线，当 a0，抛物线开口向上；当 a0，抛物线开口向下对称轴为直线x=；与 y 轴的交点坐标为（0，c） 也考查了一次函数图象和反比例函数的图象4.（2014襄阳，第 12 题 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，且AE= AB，将矩形沿直线 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处，连接 BP 交 EF 于点Q，对于下列结论：EF=2BE；PF=2PE；FQ=4EQ；PBF 是等边三角形其中正确的是（ ）ABCD4考点： 翻折变换（折叠问题） ；矩形的性质分析： 求出 BE=2AE，根据翻折的性质可得 PE=BE，再根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半求出APE=30°，然后求出AEP=60°，再根据翻折的性质求出BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出EFB=30°，然后根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半可得 EF=2BE，判断出正确；利用 30°角的正切值求出 PF=PE，判断出错误；求出 BE=2EQ，EF=2BE，然后求出 FQ=3EQ，判断出错误；求出PBF=PFB=60°，然后得到PBF 是等边三角形，判断出正确解答：解：AE= AB，BE=2AE，由翻折的性质得，PE=BE，APE=30°，AEP=90°30°=60°，BEF= （180°AEP）= （180°60°）=60°，EFB=90°60°=30°，EF=2BE，故正确；BE=PE，EF=2PE，EFPF，PF2PE，故错误；由翻折可知 EFPB，EBQ=EFB=30°，BE=2EQ，EF=2BE，FQ=3EQ，故错误；由翻折的性质，EFB=BFP=30°，BFP=30°+30°=60°，PBF=90°EBQ=90°30°=60°，PBF=PFB=60°，5PBF 是等边三角形，故正确；综上所述，结论正确的是故选 D点评： 本题考查了翻折变换的性质，直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键5 （2014呼和浩特，第 16 题 3 分）以下四个命题：每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形当 m0 时，y=mx+1 与 y= 两个函数都是 y 随着 x 的增大而减小已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点 A，B，C，D 按逆时针依次排列，若 A 点坐标为（1，则 D 点坐标为（1，在一个不透明的袋子中装有标号为 1，2，3，4 的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于 4 的概率为 其中正确的命题有 （只需填正确命题的序号）考点： 命题与定理分析： 利用菱形的性质、一次函数及反比例函数的性质、图形与坐标及概率的知识分别判断后即可确定答案解答： 解：每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形，正确当 m0 时，y=mx+1 与 y= 两个函数都是 y 随着 x 的增大而减小，错误已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点 A，B，C，D 按逆时针依次排列，若 A点坐标为（1，则 D 点坐标为（1，错误在一个不透明的袋子中装有标号为 1，2，3，4 的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4 的概率为 ，错误，故答案为：点评： 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的性质、一次函数及反比例6函数的性质、图形与坐标及概率的知识，难度一般6 （3 分） （2014德州，第 10 题 3 分）下列命题中，真命题是（ ）A若 ab，则 cacbB某种彩票中奖的概率是 1%，买 100 张该种彩票一定会中奖C点 M（x1，y1） ，点 N（x2，y2）都在反比例函数 y= 的图象上，若 x1x2，则 y1y2D甲、乙两射击运动员分别射击 10 次，他们射击成绩的方差分别为 S=4，S=9，这过程中乙发挥比甲更稳定考点： 命题与定理专题： 常规题型分析： 根据不等式的性质对 A 进行判断；根据概率的意义对 B 进行判断；根据反比例函数的性质对 C 进行判断；根据方差的意义对 D 进行判断解答： 解：A、当 ab，则ab，所以 cacb，所以 A 选项正确；B、某种彩票中奖的概率是 1%，买 100 张该种彩票不一定会中奖，所以 B 选项错误；C、点 M（x1，y1） ，点 N（x2，y2）都在反比例函数 y= 的图象上，若 0x1x2，则y1y2，所以 C 选项错误；D、甲、乙两射击运动员分别射击 10 次，他们射击成绩的方差分别为 S=4，S=9，这过程中甲发挥比乙更稳定，所以 D 选项错误故选 A点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以7写成“如果那么”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理二二.填空题填空题三三.解答题解答题1. （ 2014安徽省,第 23 题 14 分）如图 1，正六边形 ABCDEF 的边长为 a，P 是 BC 边上一动点，过 P 作 PMAB 交 AF 于 M，作 PNCD 交 DE 于 N（1）MPN= 60° ；求证：PM+PN=3a；（2）如图 2，点 O 是 AD 的中点，连接 OM、ON，求证：OM=ON；（3）如图 3，点 O 是 AD 的中点，OG 平分MON，判断四边形 OMGN 是否为特殊四边形？并说明理由考点：四边形综合题分析：（1）运用MPN=180°BPMNPC 求解，作 AGMP 交 MP 于点G，BHMP 于点 H，CLPN 于点 L，DKPN 于点 K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN 求解，（2）连接 OE，由OMAONE 证明，（3）连接 OE，由OMAONE，再证出GOENOD，由ONG 是等边三角形和MOG 是等边三角形求出四边形 MONG 是菱形 ，解答：解：（1）四边形 ABCDEF 是正六边形，A=B=C=D=E=F=120°又PMAB，PNCD，BPM=60°，NPC=60°，MPN=180°BPMNPC=180°60°60°=60°，故答案为；60°8如图 1，作 AGMP 交 MP 于点 G，BHMP 于点 H，CLPN 于点 L，DKPN 于点K，MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN正六边形 ABCDEF 中，PMAB，作 PNCD，AMG=BPH=CPL=DNK=60°，GM= AM，HL= BP，PL= PM，NK= ND，AM=BP，PC=DN，MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3A（2）如图 2，连接 OE，四边形 ABCDEF 是正六边形，ABMP，PNDC，AM=BP=EN，又MAO=NOE=60°，OA=OE，在ONE 和OMA 中，OMAONE（SAS）OM=ON（3）如图 3，连接 OE，由（2）得，OMAONEMOA=EON，EFAO，AFOE，四边形 AOEF 是平行四边形，AFE=AOE=120°，9MON=120°，GON=60°，GON=60°EON，DON=60°EON，GOE=DON，OD=OE，ODN=OEG，在GOE 和DON 中，GOENOD（ASA） ，ON=OG，又GON=60°，ONG 是等边三角形，ON=NG，又OM=ON，MOG=60°，MOG 是等边三角形，MG=GO=MO，MO=ON=NG=MG，四边形 MONG 是菱形点评：本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是恰当的作出辅助线，根据三角形全等找出相等的线段2. （ 2014福建泉州，第 22 题 9 分）如图，已知二次函数 y=a（xh）2+的图象经过原点 O（0，0） ，A（2，0） （1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 60°到 OA，试判断点 A是否为该函数图象的顶点？10考点： 二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转分析： （1）由于抛物线过点 O（0，0） ，A（2，0） ，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x=1；（2）作 ABx 轴与 B，先根据旋转的性质得 OA=OA=2，AOA=2，再根据含 30度的直角三角形三边的关系得 OB= OA=1，AB=OB=，则 A点的坐标为（1，） ，根据抛物线的顶点式可判断点 A为抛物线 y=（x1）2+的顶点解答： 解：（1）二次函数 y=a（xh）2+的图象经过原点 O（0，0） ，A（2，0） 抛物线的对称轴为直线 x=1；（2）点 A是该函数图象的顶点理由如下：如图，作 ABx 轴于点 B，线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 60°到 OA，OA=OA=2，AOA=2，在 RtAOB 中，OAB=30°，OB= OA=1，AB=OB=，A点的坐标为（1，） ，点 A为抛物线 y=（x1）2+的顶点11点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，） ，对称轴直线 x=，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象具有如下性质：当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的开口向上，x时，y 随 x 的增大而减小；x时，y 随 x 的增大而增大；x=时，y 取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的开口向下，x时，y 随 x 的增大而增大；x时，y 随 x 的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点也考查了旋转的性质3. （ 2014福建泉州，第 25 题 12 分）如图，在锐角三角形纸片 ABC 中，ACBC，点D，E，F 分别在边 AB，BC，CA 上（1）已知：DEAC，DFBC判断四边形 DECF 一定是什么形状？裁剪当 AC=24cm，BC=20cm，ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形 DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点 D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由12考点： 四边形综合题分析： （1）根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，根据ADFABC 推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出 h 与 x 之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积 S 关于 h 的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积 s 最大时 h 的值（2）第一步，沿ABC 的对角线对折，使 C 与 C1 重合，得到三角形 ABB1，第二步，沿 B1 对折，使 DA1BB1解答： 解：（1）DEAC，DFBC，四边形 DECF 是平行四边形作 AGBC，交 BC 于 G，交 DF 于 H，ACB=45°，AC=24cmAG=12，设 DF=EC=x，平行四边形的高为 h，则 AH=12h，DFBC，=，BC=20cm，即：=x=×20，S=xh=x×20=20hh213=6，AH=12，AF=FC，在 AC 中点处剪四边形 DECF，能使它的面积最大（2）第一步，沿ABC 的对角线对折，使 C 与 C1重合，得到三角形 ABB1，第二步，沿 B1对折，使 DA1BB1理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形点评： 本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论4. （ 2014珠海，第 22 题 9 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A（2，0） 、C（0，2） 将矩形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 30°得矩形 OEFG，线段 GE、FO 相交于点 H，平行于 y轴的直线 MN 分别交线段 GF、GH、GO 和 x 轴于点 M、P、N、D，连结 MH（1）若抛物线 l：y=ax2+bx+c 经过 G、O、E 三点，则它的解析式为： y= x2x ；（2）如果四边形 OHMN 为平行四边形，求点 D 的坐标；（3）在（1） （2）的条件下，直线 MN 与抛物线 l 交于点 R，动点 Q 在抛物线 l 上且在R、E 两点之间（不含点 R、E）运动，设PQH 的面积为 s，当时，确定点Q 的横坐标的取值范围14考点： 二次函数综合题分析： （1）求解析式一般采用待定系数法，通过函数上的点满足方程求出（2）平行四边形对边平行且相等，恰得 MN 为 OF，即为中位线，进而横坐标易得，D 为 x 轴上的点，所以纵坐标为 0（3）已知 S 范围求横坐标的范围，那么表示 S 是关键由 PH 不为平行于 x 轴或 y轴的线段，所以考虑利用过动点的平行于 y 轴的直线切三角形为 2 个三角形的常规方法来解题，此法底为两点纵坐标得差，高为横坐标的差，进而可表示出 S，但要注意，当 Q 在 O 点右边时，所求三角形为两三角形的差得关系式再代入，求解不等式即可另要注意求解出结果后要考虑 Q 本身在 R、E 之间的限制解答： 解：（1）如图 1，过 G 作 GICO 于 I，过 E 作 EJCO 于 J，15A（2，0） 、C（0，2） ，OE=OA=2，OG=OC=2，GOI=30°，JOE=90°GOI=90°30°=60°，GI=sin30°GO=，IO=cos30°GO=3，JO=cos30°OE=，JE=sin30°OE=1，G（，3） ，E（，1） ，设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，经过 G、O、E 三点，解得，y= x2x（2）四边形 OHMN 为平行四边形，MNOH，MN=OH，16OH=OF，MN 为OGF 的中位线，xD=xN= xG=，D（，0） （3）设直线 GE 的解析式为 y=kx+b，G（，3） ，E（，1） ，解得 ，y=x+2Q 在抛物线 y= x2x 上，设 Q 的坐标为（x， x2x） ，Q 在 R、E 两点之间运动，x当x0 时，如图 2，连接 PQ，HQ，过点 Q 作 QKy 轴，交 GE 于 K，则 K（x，x+2） ，17SPKQ= （yKyQ）（xQxP） ，SHKQ= （yKyQ）（xHxQ） ，SPQH=SPKQ+SHKQ= （yKyQ）（xQxP）+ （yKyQ）（xHxQ）= （yKyQ）（xHxP）= x+2（ x2x）0（）=x2+当 0x时，如图 2，连接 PQ，HQ，过点 Q 作 QKy 轴，交 GE 于 K，则 K（x，x+2） ，同理 SPQH=SPKQSHKQ= （yKyQ）（xQxP） （yKyQ）（xQxH）= （yKyQ）（xHxP）=x2+综上所述，SPQH=x2+，x2+，解得x，x，x点评： 本题考查了一次函数、二次函数性质与图象，直角三角形及坐标系中三角形面积的18表示等知识点注意其中“利用过动点的平行于 y 轴的直线切三角形为 2 个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点，需要加强理解运用5. 2014广西贺州，第 26 题 12 分）二次函数图象的顶点在原点 O，经过点 A（1，1 4） ；点F（0，1）在 y 轴上直线 y=1 与 y 轴交于点 H（1）求二次函数的解析式；（2）点 P 是（1）中图象上的点，过点 P 作 x 轴的垂线与直线 y=1 交于点 M，求证：FM 平分OFP；（3）当FPM 是等边三角形时，求 P 点的坐标考点： 二次函数综合题专题： 综合题分析： （1）根据题意可设函数的解析式为 y=ax2，将点 A 代入函数解析式，求出 a 的值，继而可求得二次函数的解析式；（2）过点 P 作 PBy 轴于点 B，利用勾股定理求出 PF，表示出 PM，可得PF=PM，PFM=PMF，结合平行线的性质，可得出结论；（3）首先可得FMH=30°，设点 P 的坐标为（x，1 4x2） ，根据 PF=PM=FM，可得关于 x 的方程，求出 x 的值即可得出答案解答： （1）解：二次函数图象的顶点在原点 O，设二次函数的解析式为 y=ax2，将点 A（1，1 4）代入 y=ax2得：a=1 4，二次函数的解析式为 y=1 4x2；19（2）证明：点 P 在抛物线 y=1 4x2上，可设点 P 的坐标为（x，1 4x2） ，过点 P 作 PBy 轴于点 B，则 BF=1 4x21，PB=x，RtBPF 中，PF=1 4x2+1，PM直线 y=1，PM=1 4x2+1，PF=PM，PFM=PMF，又PMx 轴，MFH=PMF，PFM=MFH，FM 平分OFP；（3）解：当FPM 是等边三角形时，PMF=60°，FMH=30°，在 RtMFH 中，MF=2FH=2×2=4，PF=PM=FM，1 4x2+1=4，解得：x=±2，1 4x2=1 4×12=3，满足条件的点 P 的坐标为（2，3）或（2，3） 20点评： 本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通6. （2014广西玉林市、防城港市，第 26 题 12 分）给定直线 l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1（1）当 b=1 时，l 与 C 相交于 A，B 两点，其中 A 为 C 的顶点，B 与 A 关于原点对称，求a 的值；（2）若把直线 l 向上平移 k2+1 个单位长度得到直线 r，则无论非零实数 k 取何值，直线 r与抛物线 C 都只有一个交点求此抛物线的解析式；若 P 是此抛物线上任一点，过 P 作 PQy 轴且与直线 y=2 交于 Q 点，O 为原点求证：OP=PQ考点： 二次函数综合题分析： （1）直线与抛物线的交点 B 与 A 关于原点对称，即横纵坐标对应互为相反数，即相加为零，这很使用于韦达定理由其中有涉及顶点，考虑顶点式易得 a 值（2）直线 l：y=kx 向上平移 k2+1，得直线 r：y=kx+k2+1根据无论非零实数 k 取何值，直线 r 与抛物线 C：y=ax2+bx+1 都只有一个交点，得 ax2+（bk）xk2=0 中=0这虽然是个方程，但无法求解这里可以考虑一个数学技巧，既然 k 取任何值都成立，那么代入最简单的 1，2 肯定是成立的，所以可以代入试验，进而可求得关于 a，b 的方程组，则 a，b 可能的值易得但要注意答案中，可能有的只能满足 k=1，2 时，并不满足任意实数 k，所以可以再代回=21中，若不能使其结果为 0，则应舍去求证 OP=PQ，那么首先应画出大致的示意图发现图中几何条件较少，所以考虑用坐标转化求出 OP，PQ 的值，再进行比较这里也有数学技巧，讨论动点 P 在抛物线 y= x2+1 上，则可设其坐标为（x， x2+1） ，进而易求 OP，PQ解答： （1）解：l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，当 b=1 时有 A，B 两交点，A，B 两点的横坐标满足 kx=ax2+x+1，即 ax2+（1k）x+1=0B 与 A 关于原点对称，0=xA+xB=，k=1y=ax2+x+1=a（x+）2+1，顶点（，1）在 y=x 上，=1，解得 a= （2）解：无论非零实数 k 取何值，直线 r 与抛物线 C 都只有一个交点，k=1 时，k=2 时，直线 r 与抛物线 C 都只有一个交点当 k=1 时，r：y=x+2，代入 C：y=ax2+bx+1 中，有 ax2+（b1）x1=0，=0，（b1）2+4a=0，当 k=2 时，r：y=2x+5，代入 C：y=ax2+bx+1 中，有 ax2+（b2）x4=0，=0，（b2）2+16a=0，22联立得关于 a，b 的方程组 ，解得 或 r：y=kx+k2+1 代入 C：y=ax2+bx+1，得 ax2+（bk）xk2=0，=当时，=0，故无论 k 取何值，直线 r 与抛物线 C 都只有一个交点当时，=，显然虽 k值的变化，不恒为 0，所以不合题意舍去C：y= x2+1证明：根据题意，画出图象如图 1，由 P 在抛物线 y= x2+1 上，设 P 坐标为（x， x2+1） ，连接 OP，过 P 作 PQ直线 y=2 于 Q，作 PDx 轴于 D，PD=| x2+1|，OD=|x|，OP=，PQ=2yP=2（ x2+1）=，OP=PQ23点评： 本题考查了二次函数、一次函数及图象，图象平移解析式变化，韦达定理及勾股定理等知识，另涉及一些数学技巧，学生解答有一定难度，需要好好理解掌握7.（2014 年广东汕尾，第 25 题 10 分）如图，已知抛物线 y= x2 x3 与 x 轴的交点为A、D（A 在 D 的右侧） ，与 y 轴的交点为 C（1）直接写出 A、D、C 三点的坐标；（2）若点 M 在抛物线上，使得MAD 的面积与CAD 的面积相等，求点 M 的坐标；（3）设点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 B，在抛物线上是否存在点 P，使得以A、B、C、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由分析：（1）令 y=0，解方程 x2 x3=0 可得到 A 点和 D 点坐标；令 x=0，求出y=3，可确定 C 点坐标；（2）根据抛物线的对称性，可知在在 x 轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在 x 轴上方，存在两个点，这两个点分别到 x 轴的距离等于点 C 到 x 轴的距离；（3）根据梯形定义确定点 P，如图所示：若 BCAP1，确定梯形 ABCP1此时 P1与 D点重合，即可求得点 P1的坐标；若 ABCP2，确定梯形 ABCP2先求出直线 CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点 P2的坐标24解：（1）y= x2 x3，当 y=0 时， x2 x3=0，解得 x1=2，x2=4当 x=0，y=3A 点坐标为（4，0） ，D 点坐标为（2，0） ，C 点坐标为（0，3） ；（2）y= x2 x3，对称轴为直线 x=1AD 在 x 轴上，点 M 在抛物线上，当MAD 的面积与CAD 的面积相等时，分两种情况：点 M 在 x 轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点 M 与点 C 关于直线 x=1 对称，C 点坐标为（0，3） ，M 点坐标为（2，3） ；点 M 在 x 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知 M 点到 x 轴的距离等于点 C 到 x 轴的距离 3当 y=4 时， x2 x3=3，解得 x1=1+，x2=1，M 点坐标为（1+，3）或（1，3） 综上所述，所求 M 点坐标为（2，3）或（1+，3）或（1，3） ；（3）结论：存在如图所示，在抛物线上有两个点 P 满足题意：若 BCAP1，此时梯形为 ABCP1由点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 B，可知 BCx 轴，则 P1与 D 点重合，P1（2，0） P1A=6，BC=2，P1ABC，四边形 ABCP1为梯形；若 ABCP2，此时梯形为 ABCP2A 点坐标为（4，0） ，B 点坐标为（2，3） ，直线 AB 的解析式为 y= x6，可设直线 CP2的解析式为 y= x+n，将 C 点坐标（0，3）代入，得 b=3，直线 CP2的解析式为 y= x3点 P2在抛物线 y= x2 x3 上， x2 x3= x3，化简得：x26x=0，解得 x1=0（舍去） ，x2=6，点 P2横坐标为 6，代入直线 CP2解析式求得纵坐标为 6，P2（6，6） ABCP2，ABCP2，四边形 ABCP2为梯形综上所述，在抛物线上存在一点 P，使得以点 A、B、C、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形；点 P 的坐标为（2，0）或（6，6） 25点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，三角形的面积，梯形的判定综合性较强，有一定难度运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键8.（2014毕节地区，第 27 题 16 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点为A（1，1），与 x 轴交点 M（1，0）C 为 x 轴上一点，且CAO=90°，线段 AC 的延长线交抛物线于 B 点，另有点 F（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）求直线 Ac 的解析式及 B 点坐标；（3）过点 B 做 x 轴的垂线，交 x 轴于 Q 点，交过点 D（0，2）且垂直于 y 轴的直线于E 点，若 P 是BEF 的边 EF 上的任意一点，是否存在 BPEF？若存在，求 P 点的坐标，若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）利用顶点式将（1，1）代入求出函数解析式即可；（2）首先根据题意得出 C 点坐标，进而利用待定系数法求出直线 AC 的解析式，进而联立二次函数解析式，即可得出 B 点坐标；（3）首先求出直线 EF 的解析式，进而得出 BP 的解析式，进而将 y=2x7 和y= x+ 联立求出 P 点坐标即可解答：解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x+1）21，将（1，0）代入得：0=a（1+1）21，解得；a= ，26抛物线的解析式为：y= （x+1）21；（2）A（1，1），COA=45°，CAO=90°，CAO 是等腰直角三角形，AC=AO，C（2，0），设直线 AC 的解析式为：y=kx+b，将 A，C 点代入得出：，解得：，直线 AC 的解析式为：y=x2，将 y= （x+1）21 和 y=x2 联立得：，解得：，直线 AC 的解析式为：y=x2，B 点坐标为：（5，3）；（3）过点 B 作 BPEF 于点 P，由题意可得出：E（5，2），设直线 EF 的解析式为：y=dx+c，则，解得：，直线 EF 的解析式为：y= x+ ，直线 BPEF，设直线 BP 的解析式为：y=2x+e，27将 B（5，3）代入得出：3=2×（5）+e，解得：e=7，直线 BP 的解析式为：y=2x7，将 y=2x7 和 y= x+ 联立得：，解得：，P（3，1），故存在 P 点使得 BPEF，此时 P（3，1）点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及顶点式求二次函数解析式以及垂直的两函数系数关系等知识，求出 C 点坐标是解题关键9.（2014武汉，第 25 题 12 分）如图，已知直线 AB：y=kx+2k+4 与抛物线 y= x2交于A，B 两点（1）直线 AB 总经过一个定点 C，请直接出点 C 坐标；28（2）当 k= 时，在直线 AB 下方的抛物线上求点 P，使ABP 的面积等于 5；（3）若在抛物线上存在定点 D 使ADB=90°，求点 D 到直线 AB 的最大距离考点：二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；根与系数的关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质专题：压轴题分析：（1）要求定点的坐标，只需寻找一个合适 x，使得 y 的值与 k 无关即可（2）只需联立两函数的解析式，就可求出点 A、B 的坐标设出点 P的横坐标为 a，运用割补法用 a 的代数式表示APB 的面积，然后根据条件建立关于 a 的方程，从而求出 a 的值，进而求出点 P 的坐标（3）设点 A、B、D 的横坐标分别为 m、n、t，从条件ADB=90°出发，可构造 k 型相似，从而得到 m、n、t 的等量关系，然后利用根与系数的关系就可以求出 t，从而求出点 D 的坐标由于直线 AB 上有一个定点 C，容易得到 DC 长就是点 D 到 AB 的最大距离，只需构建直角三角形，利用勾股定理即可解决问题解答：解：（1）当 x=2 时，y=（2）k+2k+4=4直线 AB：y=kx+2k+4 必经过定点（2，4）点 C 的坐标为（2，4）（2）k= ，直线的解析式为 y= x+3联立，解得：或点 A 的坐标为（3， ），点 B 的坐标为（2，2）过点 P 作 PQy 轴，交 AB 于点 Q，29过点 A 作 AMPQ，垂足为 M，过点 B 作 BNPQ，垂足为 N，如图 1 所示设点 P 的横坐标为 a，则点 Q 的横坐标为 AyP= a2，yQ= a+3点 P 在直线 AB 下方，PQ=yQyP= a+3 a2AM+NB=a（3）+2a=5SAPB=SAPQ+SBPQ= PQAM+ PQBN= PQ（AM+BN）= （ a+3 a2）5=5整理得：a2+a2=0解得：a1=2，a2=1当 a=2 时，yP= ×（2）2=2此时点 P 的坐标为（2，2）当 a=1 时，yP= ×12= 此时点 P 的坐标为（1， ）符合要求的点 P 的坐标为（2，2）或（1， ）30（3）过点 D 作 x 轴的平行线 EF，作 AEEF，垂足为 E，作 BFEF，垂足为 F，如图 2AEEF，BFEF，AED=BFD=90°ADB=90°，ADE=90°BDF=DBFAED=BFD，ADE=DBF，AEDDFB设点 A、B、D 的横坐标分别为 m、n、t，则点 A、B、D 的纵坐标分别为 m2、 n2、 t2AE=yAyE= m2 t2BF=yByF= n2 t2ED=xDxE=tm，DF=xFxD=nt，=化简得：mn+（m+n）t+t2+4=0点 A、B 是直线 AB：y=kx+2k+4 与抛物线 y= x2交点，31m、n 是方程 kx+2k+4= x2即 x22kx4k8=0 两根m+n=2k，mn=4k84k8+2kt+t2+4=0，即 t2+2kt4k4=0即（t2）（t+2k+2）=0t1=2，t2=2k2（舍）定点 D 的坐标为（2，2）过点 D 作 x 轴的平行线 DG，过点 C 作 CGDG，垂足为 G，如图 3 所示点 C（2，4），点 D（2，2），CG=42=2，DG=2（2）=4CGDG，DC=2过点 D 作 DHAB，垂足为 H，如图 3 所示，DHDCDH2当 DH 与 DC 重合即 DCAB 时，点 D 到直线 AB 的距离最大，最大值为 2点 D 到直线 AB 的最大距离为 232点评：本题考查了解方程组、解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、相似三角形的性质与判定等知识，考查了通过解方程组求两函数交点坐标、用割补法表示三角形的面积等方法，综合性比较强构造 K 型相似以及运用根与系数的关系是求出点 D 的坐标的关键，点 C 是定点又是求点 D 到直线 AB 的最大距离的突破口10.（2014襄阳，第 26 题 12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OCDE 的三个顶点分别是 C（3，0） ，D（3，4） ，E（0，4） 点 A 在 DE 上，以 A 为顶点的抛物线过点 C，且对称轴 x=1 交 x 轴于点 B连接 EC，AC点 P，Q 为动点，设运动时间为 t 秒（1）填空：点 A 坐标为