47开放探究型问题.doc
1 开放探究型问题开放探究型问题一、选择题1、 (2012 年中考数学新编及改编题试卷)图(1)、图(2)、图(3)分别表示甲、乙、丙三人由A 地到 B 地的路线图。已知; 甲的路线为:ACB。乙的路线为:ADEFB,其中 E 为AB的中点。丙的路线为:AGHKB,其中 H 在AB上,且 AH>HB。若符号表示直线前进 ,则根据图(1)、图(2)、图(3)的数据,则三人行进路线长度的大小关系为( )(A) 甲=乙=丙 (B) 甲1 时,请写出一个反映 Sn1,Sn,Sn+1之间关系的等式(不必证明)解:(1) 正确画出分割线 CD (如图,过点 C 作 CDAB,垂足为 D,CD 即是满足要求的 分割线,若画成直线不扣分) 理由: B = B,CDB=ACB=90°BCD ACB (2) DEF 经 N 阶分割所得的小三角形的个数为n41 S = n4100011 当 n =3 时,S3 = 31000 S15.62 当 n = 4 时, S4 = 41000 S3.91 当 n= 4 时,3 S4 4 S2 = S1n× S1n,S1n= 4 S, S= 4 S1n9、 (2012 年中考数学新编及改编题试卷)用一条直线可将等腰梯形分成两部分,用这两部分能拼成一个新的图形。请你在原等腰梯形上画出直线,并对这条直线进行必要的说明,然后在框内画出要求的新图形(1)将等腰梯形分割后拼成矩形(2)将等腰梯形分割后拼成平行四边形(非矩形)(3)将等腰梯形分割后拼成三角形答案:(1)将等腰梯形分割后拼成矩形(2)将等腰梯形分割后拼成平行四边形(非矩形)CDABCDABCDABCDAB12 (3)将等腰梯形分割后拼成三角形答案不唯一答案不唯一10、(2012 年北京市顺义区一诊考试)问题背景问题背景 (1)如图 1,ABC 中,DEBC 分别交 AB,AC 于 D,E 两点,过点 D 作 DFAC 交 BC 于点 F请按 图示数据填空: 四边形 DFCE 的面积S , DBF 的面积1S ,ADE 的面积2S 探究发现探究发现 (2)在(1)中,若BFa,FCb,D与 BC 间的距离为h直接写出2S (用含 S、1S的代数式表示) 拓展迁移拓展迁移 (3)如图 2,DEFG 的四个顶点在ABC 的三 边上,若ADG、DBE、GFC 的面积分别为 4、8、1,试利用(2)中的结论求DEFG 的面积, 直接写出结果 解:(1)四边形 DFCE 的面积S 6 , DBF 的面积1S 6 ,ADE 的面积2S 3 2 (2)2S 214S S(用含 S、1S的代数式表示) 中#国教育出&版*网(3)DEFG 的面积为 12 11、(2012 年北京市延庆县一诊考试)如图 1,已知:已知:等边ABC,点 D 是边 BC 上一CDABCDAB13 ECABD点(点 D 不与点 B、点 C 重合) ,求证:BD+DC > AD下面的证法供你参考:把ACD绕点 A 瞬时间针旋转60得到ABE,连接 ED,则有ABEACD,DC=EBAD=AE,60DAEADE是等边三角形AD=DE在DBE中,BD+EB > DE即:BD+DC>AD实践探索:(1)请你仿照上面的思路,探索解决下面的问题:如图 2,点 D 是等腰直角三角形ABC 边上的点(点 D 不与 B、C 重合) ,求证:BD+DC>2AD12(1)证明:把ACD绕点 A 瞬时针旋转90得到ABE,连接 ED,-1 分则有ABEACD,DC=EBAD=AE,90DAEADE是等腰直角三角形 DE=2AD -2 分在DBE中,BD+EB > DE即:BD+DC>2AD - 3 分CABD 图图 2CABD图图 1CDAB图图 314 AED三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 CAD=BAE EAD= 三 A三 AFDE三 F三三 EAF=2,DF=12DE=12BE+BD()三 RtAFD三 三 DF=ADsin2三 三12BE+BD()=ADsin2(2)BD+DC2AD -4 分(3)猜想 1:BD+DC2AD证明:把ACD绕点 A 顺时针旋转,得到ABE则有ABEACD, DC=EB,ACD=ABE -5 分BAC+BDC=180 ºABD+ACD=180 ºABD+ABE=180 º即:E、B、D 三点共线-6 分AD=AE, 在ADE中AE+AD>DE 即 BD+DC2AD -7 分或者猜想 2:-7 分13 如图 1、P 是锐角ABC 所在平面上一点如果APB=BPC=CPA=120°,则点 P 就叫做ABC 费马点(1) 、当ABC 是边长为 4 的等边三角形时,费马点 P 到 BC 边的距离为 。EBACD15 B'ABC三 1ABCD PP1P2P3(2) 、若点 P 是ABC 的费马点ABC=60,PA=2,PC=3,则 PB 的值为 。(3) 、如图 2,在锐角ABC 外侧作等边ACB连接 BB (图 1)求证:BB过ABC 的费马点 P。 答案:(1)332(3 分)(2)6 (6 分)(3)证明:在 BB上取点 P,使BPC=1200 连接 AP,再在 PB上截取 PE=PC,连结 CE. BPC=1200,EPC=600, 三角形 PCE 为正三角形。 PC=CE,PCE=600,CEB=1200 三角形 ACB为正三角形,AC=BC, ACB=600 PCA+ACE=ACE+ECB=600,PCA=ECB, CEBACP', APC=BCE=1200,PA=EB, APB=APC=BPC=1200, P 为三角形 ABC 的费马点。 BB过三角形 ABC 的费马点 P. (10 分) 14、(本小题 10 分) 阅读下列材料:阅读下列材料:小贝遇到一个有趣的问题:在矩形ABCD中,8cmAD ,6cmAB 现有一动点P按下列方式在矩形内运动:它从A点出发,沿着与 AB 边夹角为45的方向作直线运动,每次碰到矩形的一边,就会改变运动方向,沿着与这条边夹角为45的方向作直线运动,并且它一直按照这种方式不停地运动,即当P点碰到BC边,沿着与BC边夹角为45的方向作直线运动,当P点碰到CD边,再沿着与CD边夹角为45的方向作直线运动,如图 1 所示问P点第一次与 D 点重合前与边相碰几次,P点第一次与 D 点重合时所经过的路径的总长是多少三 2B1A1EP3P2P1PDCBA16 小贝的思考是这样开始的:如图 2,将矩形ABCD沿直线CD折叠,得到矩形11ABCD由轴对称的知识,发现232P PP E,11PAPE请你参考小贝的思路解决下列问题:请你参考小贝的思路解决下列问题: (1)P点第一次与 D 点重合前与边相碰_次;P点从A点出发到第一次与 D 点 重合时所经过路径的总长是_cm; (2)进一步探究:改变矩形ABCD中ADAB、的长,且满足ADAB动点P从A点 出发,按照阅读材料中动点的运动方式,并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD相邻的两边上若P点第一次与B点重合前与边相碰 7 次,则:AB AD的值为 _试画示意图说明。15、 (2012 年江西南昌十五校联考) (1)观察发现如题 27(a)图,若点 A,B 在直线同侧,在直线上找一点 P,使 AP+BP 的值最小 做法如下:作点 B 关于直线的对称点B,连接AB,与直线的交点就是所求的点 P再如题 27(b)图,在等边三角形 ABC 中,AB=2,点 E 是 AB 的中点,AD 是高,在AD 上找一点 P,使 BP+PE 的值最小做法如下:作点 B 关于 AD 的对称点,恰好与点 C 重合,连接 CE 交 AD 于一点,则这点就是所求的点 P,故 BP+PE 的最小值为 题 27(a)图 题 27(b)图 (2)实践运用如题 27(c)图,已知O 的直径 CD 为 4,弧 AD 所对圆心角的度数为 60°,点 B 是弧AD 的中点,请你在直径 CD 上找一点 P,使 BP+AP 的值最小,并求 BP+AP 的最小值题 27(c)图 题 27(d)图(3)拓展延伸 如题 27(d)图,在四边形 ABCD 的对角线 AC 上找一点 P,使APB=APD保留17 作图痕迹,不必写出作法 答案:解:(1)3;2 分(2)如上图 3 分 作点 B 关于 CD 的对称点 E,则点 E 正好在圆周上,连接 AE 交 CD 与一点 P,则 AP+BP 最短。连接 OA、OB、OE, AOD=60°,B 是弧 AD 的中点,AOB=DOB=30°, B 关于 CD 的对称点 E,DOE=DOB=30°,AOE=90°,又OA=OE=2,OAE 为等腰直角三角形,AE=2 2.6 分 (3)找 B 关于 AC 对称点 E,连 DE 延长交 AC 于 P 即可,如下图8 分