31解直角三角形的应用.doc

1 解直角三角形的应用解直角三角形的应用一、选择题 1. （2012 年江苏沭阳银河学校质检题）在直角三角形中不能求解的是（） A、已知一直角边和一锐角 B、已知斜边和一锐角 C、已知两边 D、已知两角 答案：D. 2. （2012 年江苏沭阳银河学校质检题）在直角三角形中不能求解的是（） A、已知一直角边和一锐角 B、已知斜边和一锐角 C、已知两边 D、已知两角 答案：D. 3. （2012 年江苏沭阳银河学校质检题）如图所示，从山顶 A 望 地面 C、D 两点，测得它们的俯角分别为 450和 300，已知 CD =100m，点 C 在 BD 上，则山高 AB 为（）A、100m B、3100m C、350m D、1350m答案：D.4、 （2012 年浙江省杭州市一模）如图，在 RtABC 中，AB=CB，BOAC，把ABC 折叠，使 AB 落在 AC 上，点 B 与 AC 上的点 E 重合，展开后，折痕 AD 交 BO 于点 F，连接 DE、EF下列结论：tanADB=2；图中有 4 对全等三角形；若将DEF 沿 EF 折叠，则点 D 不一定落在 AC 上；BD=BF；AOFDFOESS四边形，上述结论中正确的个数是（ ）A. 4 个B. 3 个 C. 2 个D. 1 个 第 1 题答案：B、 二、填空题1 （2012 年江苏沭阳银河学校质检题）在 RtABC 中，C=900，若 cosB=53，则Atan=，若此时ABC 的周长为 48，那么ABC 的面积 。答案：3 4.2、 （海南省 2012 年中考数学科模拟）如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其 腰的坡度为 1：1.5，上底宽为 6m,路基高为 4m,则路基的下底宽为 DCBA2 。 答案：18m三、解答题1、 （2012 年福建福州质量检查）(每小题 7 分，共 14 分)(1) 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 中点，AE 和延长线与 DC 的延长线相交于点 F证明：ABEFCE(2) 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角 为 45°，看这栋高楼底部的俯角 为 60°，热气球与高楼的水平距离 AD80m，这栋高楼有多高(1.732，结果保留小数点后一位)？3答案：(1)证明：AB 与 CD 是平行四边形 ABCD 的对边，ABCD， 2 分FFAB4 分E 是 BC 的中点， BECE，5 分又 AEBFEC， 6 分 ABEFCE 7 分(2)解：如图，45°，60°，AD80ABCDEF第 17(1)题图ABCD第 17(2)题图3 在 RtADB 中，tan，BD ADBDAD·tan80×tan45°802 分在 RtADC 中，tan，CD ADCDAD·tan80×tan60°805 分3BCBDCD8080218.63答：这栋楼高约为 218.6m 7 分2（2012 年浙江丽水一模）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是 30°，然后在水平地面上向建筑物前进 了 100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是 45°已知测角仪的高度是 1.5m，请你计算出该建筑物的高度 （取31.732，结果精确到 1m）答案：解：设CExm，则由题意可知BExm，AE(x100)m在 RtAEC中，tanCAE AECE，即 tan30° 100xx33 100xx，3x3(x100)解得x50503136.6CDCEED(136.61.5)138.1138(m) 答：该建筑物的高度约为 138m4、 （2012 年浙江金华五模）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾ABCD第 1 题图第 1 题图EDCBA 1.545301004 角由 45º 降为 30º，已知原滑滑板 AB 的长为 5 米，点 D、B、C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到 0.01）（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。 (参考数据：21.414, 31.732, 62.449 ) 答案（1）在RtABC中，5sin452(m)2ACABA5cos452(m)2BCABA （1 分） RtADC中5 2(m)sin30ACAD 56(m)tan302ACCD （2 分）2.07(m)ADAB改善后的滑滑板会加长 2.07m （4 分）（2）这样改造能行因为2.59(m)CDBC，而632.59 （6 分）5、 （2012 山东省德州二模）如图，已知某小区的两幢 10 层住宅楼间的距离为 AC=30 m，由 地面向上依次为第 1 层、第 2 层、第 10 层，每层高度为 3 m假设某一时刻甲楼在乙 楼侧面的影长 EC=h，太阳光线与水平线的夹角为 (1) 用含 的式子表示 h(不必指出 的取值范围)； (2) 当 30°时，甲楼楼顶 B 点的影子落在乙楼的第几层？若 每小时增加 15°， 从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光 ？答案：(1)过点 E 作 EFAB 于 F，由题意，四边 形 ACEF 为矩形. 1 分 EF=AC=30，AF=CE=h, BEF=，BF=3×10-ABCD30°°45°°5 h=30-h. 2 分又 在 RtBEF 中，tanBEF=，3 分BFEFtan=30 30h，即 30 - h=30tan. h=30-30tan. 5 分(2)当 30°时，h=30-30tan30°=30-30×3 312.7，6 分 12.7÷34.2， B 点的影子落在乙楼的第五层 . 7 分 当 B 点的影子落在 C 处时，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光. 此时，由 AB=AC=30，知ABC 是等腰直角三角形， ACB45°，9 分 = 1(小时).45 - 3015 故经过 1 小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光10 分6（2012 山东省德州一模）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c过 A 作 ADBC 于 D(如图)，则 sinB=cAD，sinC=bAD，即 AD=csinB，AD=bsinC，于是 csinB=bsinC，即Cc Bb sinsin同理有Aa Cc sinsin，Bb Aa sinsin所以Cc Bb Aa sinsinsin即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个 元素（至少有一条边） ，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述 材料，完成下列各题. A.如图，ABC 中，B=450,C=750，BC=60， 则A= ；AC= ； (2)如图，一货轮在 C 处测得灯塔 A 在货轮的北偏西 30°的方向上，随后货轮以 60 海里时的速度按北偏东 30°的方向航行，半小时后到达 B 处，此时又测得灯塔 A 在货 轮的北偏西 75°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔 A 的距离 AB.答案：解：（1）A=600，AC=62046 60 04 45 5 7 75 5 C C B BA A3 30 0 3 30 0 北北南南西西东东北北北北7 75 5 C CB BA A第 27 题图 2第 27 题图 1第 27 题图 36 0045sin30 60sinsinsinAB ABC ACBAB即(2)如图，依题意：BC=60×0.5=30（海里） CDBE DCB+CBE=1800DCB=300 CBE=1500 ABE=750 ABC=750 A=4507在ABC 中， 9解之得：AB=15610答：货轮距灯塔的距离 AB=156海里117（2012 上海市奉贤区调研试题）在一次对某水库大坝设计中，李设计师对修建一座长 80米的水库大坝提出了以下方案：大坝的横截面为等腰梯形，如图，ADBC，坝高10m，迎水坡面AB的坡度5 3i ，审核组专家看后，从力学的角度对此方案提出了建议，李设计师决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE的坡度5 6i （1）求原方案中此大坝迎水坡AB的长（结果保留根号）（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC方向拓宽2.7m，求坝底将会沿AD方向加宽多少米？答案：解：（1）过点B作BFAD于F （1 分）在RtABF中，35AFBFi，且10BFm6AFm （2分）7 ABCMDGFEN2 34ABm （2分）（2）如图，延长EC至点M，AD至点N，连接MN，过点E作EGAD于G在RtAEG中，65AGEGi，且10BFm，12AGm，6BEGFAGAFcm （2分） 方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变ABECMNDSS梯形 （1分）11 22BE EGMCND即 BEMCND （1 分） 62.73.3NDBEMCm 8、 （2012 江苏无锡前洲中学模拟）如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得 AEP74°，BEQ30°；在点F处测得AFP60°，BFQ60°，EF1km （1）判断AB、AE的数量关系，并说明理由； （2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到 0.1km） （参考数据：1.73，3 sin74°0.96，cos74°0.28，tan74°3.49，sin76°0.97，cos76°0.24）答案：（1）相等，证明：BEQ30°，BFQ60°，EBF30°，EFBF 又AFP60°，BFA60° 在AEF与ABF中，EFBF，AFEAFB，AFAF， AEFABF，ABAE 4 分A DB A D E B A DF E B A DQ F E B A DP Q F E B A D第 23题8 （2）作AHPQ，垂足为H，设AEx， 则AHxsin74°，HExcos74°，HFxcos74°1 RtAHF中，AHHF·tan60°，xcos74°(xcos74°1)·tan60°，即 0.96x(0.28x1)×1.73， x3.6，即AB3.6 km答：略8 分9（2012 江苏扬州中学一模）2011 年 3 月 11 日 13 时 46 分日本发生了9.0 级大地震，伴随着就是海啸。山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示） 。已知山坡的坡角AEF=23°,量得树干的倾斜角为BAC=38°,大树被折 断部分和坡面所成的角ADC=60°，AD=4 米。（1）求DAC 的度数；（2）求这棵大树原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：4 . 12 ，7 . 13 ，4 . 26 ）案答案：（1）75°5 分（2） （23262）米10 分10、(2012 年，辽宁省营口市)（10 分）2011 年 3 月 11 日 13 时 46 分日本发生了 9.0 级大地震，伴随着就是海啸。 山坡上有一棵与水平面垂直的大树， 海啸过后，大树被刮 倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示） 。已知山坡的坡角 AEF=23°，量得树干的倾斜角为BAC=38°,大树被折断部分和坡面所成的角ADC=60°, AD=4m。 （1）求DAC 的度数； （2）求这棵大树折断前 AB 的高？（结果精确到个位，参考数据：21.4，31.7，62.4） 答案：解：（1）延长BA交EF于点G在RtAGE中，23E°，67GAE°又38BAC°180673875CAE°°°°在ADH中，604ADCAD°，第 26 题C60°38°BDE23°A FC60°38°BDE23°A FC60°38°BDE23°A FHG9 cosDHADCAD ，2DH ，sinAHADCAD ，（2）过点A作AHCD，垂足为H，2 3AH ，在RtACH中，180756045C°°°°，2 6AC ，2 3CHAH2 62 3210ABACCD（米）答：这棵大树折断前高约 10 米 11. （2012 年，广东一模）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天 桥的楼梯长 AB6 m，ABC45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚 B 移到 CB 延长线上点 D 处，使ADC30° (如图 14 所示) (1)求调整后楼梯 AD 的长； (2)求 BD 的长(结果保留根号)图 14 解：(1)已知 AB6 m，ABC45°，ACBCAB·sin45°6×3 ，222ADC30°，AD2AC6 .2答：调整后楼梯 AD 的长为 6 m.2(2)CDAD·cos30°6 ×3 ，2326BDCDBC3 3 .62答：BD 的长为(3 3 )m.6212. （2012 年，广东二模）日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事 态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏 在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估如图 26，上午 9 时，海检船位于 A 处，观测到某港口城市 P 位于海检船的北偏西 67.5°方向，海检船以 21 海里/时的速度向正 北方向行驶，下午 2 时海检船到达 B 处，这时观察到城市 P 位于海检船的南偏西 36.9°方 向，求此时海检船所在 B 处与城市 P 的距离？Error!Error!10 图 26 解：如图 D61，过点 P 作 PCAB，垂足为 C，设 PCx 海里，在 RtAPC 中，tanA，PCACAC.PCtan67.5°5x12图 D61在 RtPCB 中，tanB，PCBCBC.xtan36.9°4x3ACBCAB21×5，21×5，解得 x60.5x124x3sinB，PCPBPB60× 100(海里)PCsinB60sin36.9°53海检船所在 B 处与城市 P 的距离为 100 海里13、(2 2012 年春期福集镇青龙中学中考模拟年春期福集镇青龙中学中考模拟)（本小题满分 6 分）如图，小明在楼上点 A 处观察旗杆 BC，测得旗杆顶部 B 的仰角为30，测得旗杆底部C 的俯角为60，已知点 A 距地面的高 AD 为 12 m求旗杆的高度解：过点 A 作 AEBC，垂足为 E，得矩形 ADCE 1 分CE = AD=12 2 分RtACE 中，60EAC，12CE ，4 3tan60CEAE 4 分RtABE 中，30BAE，tan304BEAE 6 分BC=CE+BE=16 m 7 分答：旗杆的高度为 16 m8 分（第 1 题）E60 30 ABCD11 BMA北东第 1 题图（另解）过点 A 作 AEBC，垂足为 E，得矩形 ADCE 1 分 CE = AD=122 分设BEx，RtABE 中，30BAE，22ABBEx4 分 同理4BCx124xx，解得4x 6 分 BC=CE+BE=16 m7 分答：旗杆的高度为 16 m8 分14 （2012 年江苏南通三模）如图，我边防哨所 A 测得一走私船在 A 的西北方向 B 处由南向北正以每小时 10 海里的速度逃跑，我缉私艇迅速朝 A 的西偏北 600的方向出水拦截，2 小时后终于在 B 地正北方向 M 处拦截住，试求缉私船的速度 （参考数据：31.73,21.41）答案：27.3 海里/时.15.（2012 年江苏海安县质量与反馈） 如图所示，A、B 两地之间有一条河，原来 从 A 地到 B 地需要经过 DC，沿折线 ADCB 到达，现在新建了桥 EF，可直接沿 直线 AB 从 A 地到达 B 地已知 BC=10km，A=45°，B=37°，桥 DC 和 AB 平行 （1）求两桥之间的距离 CG（CGAB） ； （2）从 A 地到达 B 地可比原来少走多少路程？（精确到 01 km） （参考数据：1.412 sin37°060，cos37°080答案：（1）CG=6km;（2）作 DHAB,得到 DH=HA=6,AD=26 ,所以少走的路程是（AD+CD+BC）-（BG+GH+AH）=26+10-144.5km.16.（2012 年江苏沭阳银河学校质检题）如图，城市规划期间，要拆除一电线杆 AB，已知 距电线杆水平距离 14 米的 D 处有一大坝，背水坡的坡 度 i=1：0.5，坝高 CF 为 2 米，在坝顶 C 处测得杆顶 A 的仰角为 300，D、E 之间是宽为 2 米的人行道，请 问：在拆除电线杆 AB 时，为确保行人安全，是否需 要将此人行道封上？请说明理由。 （在地面上，以 B 为圆心，以 AB 长为半径的圆形区域为危险区域）CDAB FEG第 2 题图第 3 题图12 答案：AB=35+212，不需要将人行道封上.17、(2012 四川省泸县福集镇青龙中学一模)如图，小明在楼上点 A 处观察旗杆 BC，测得旗杆顶部 B 的仰角为30，测得旗杆底部 C 的俯角为60，已知点 A 距地面的高 AD 为 12 m求旗杆的高度源:#中教*网 -3 分当C 为锐角时，S=822-3 分29. （柳州市 2012 年中考数学模拟试题） （7 分） 如图， “五一”期间在某商贸大厦上从点 A 到点 B 悬挂了一条宣传条幅，小明和 小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上小明在四楼 D 点测得条幅端点 A 的仰角为 30，测得条幅端点 B 的俯角为 45o；小雯在三楼 C 点测得条幅端点 A 的仰角为 45o，测得 条幅端点 B 的俯角为 30若设楼层高度 CD 为 3 米，请你根据小明和小雯测得的数据求 出条幅 AB 的长 （结果精确到个位，参考数据3=1732）第 21 题图xyOCBAA1B1(C1,C2)A2B219 答案：解：过 D 作 DMAE 于 M，过 C 作 CNAE 于 N，则：MN=CD=3 米，设 AM=x， 则 AN=x+3， 由题意：ADM =30，ACN =45， 在 RtADM 中，DM=AM·cot30=3x，在 RtANC 中，CN=AN=x+3， 又 DM=CN=MB，3x=x+3，解之得，x=3 2（3+1） ，AB=AM+MB=x+x+3=2×3 2（3+1）+3=33+611（米）31、(徐州市 2012 年模拟)（8 分）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到 0.1m）参考数据：21.414，31.732解：如图所示，过点A、D分别作BC的垂线AE、DF分别交BC于点E、F，-1 分所以ABE、CDF均为 Rt，又因为CD14，DCF30°，所以DF7AE，-4 分所以FC7312.1 -6分所以BC7612.125.1m-8 分32. （盐城地区（盐城地区 2011201120122012 学年度适应性训练）学年度适应性训练） （本题满分（本题满分 1010 分）分）小鹏学完解直角三角形小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片如图所示，把一张长方形卡片ABCDABCD放在每格宽度放在每格宽度为为 12mm12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知=36°=36°，求长方形卡片的，求长方形卡片的周长周长 ”请你帮小艳解答这道题请你帮小艳解答这道题 （结果精确到（结果精确到 1mm1mm）解：作解：作 BEBEl l于点于点 E E，DFDFl l于点于点 F F 22 分分 +DAF=180°-BAD=180°-90°=90°+DAF=180°-BAD=180°-90°=90°，ADF+DAF=90°ADF+DAF=90°， ADF=36°ADF=36°根据题意，得根据题意，得 BE=24mm,BE=24mm, DF=48mmDF=48mm 44 分分 在在 RtABERtABE 中，中，sin=BE/ABsin=BE/AB，AB=BE/sin36°=40(mm).6AB=BE/sin36°=40(mm).6 分分 在在 RtADFRtADF 中，中，cosADF=DF/ADcosADF=DF/AD，AD=DF/COS36°=60(mmAD=DF/COS36°=60(mm） 8 8 分分ADCB14m6m3045（第 25 题图） ADCB14m6m3045FE20 矩形矩形 ABCDABCD 的周长的周长=2(40+60)=200(mm)=2(40+60)=200(mm) 1010 分分 33. （盐城市第一初级中学 20112012 学年期中考试） （本题满分 10 分）如图，小明家在 A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路 l，AB是A到l的小路. 现新修一条路AC到公路 l. 小明测量出ACD=30º，ABD=45º，BC=50m. 请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到 0.1m；参考数据：414. 12 ，732. 13 ）.解 AD=3 .68) 13(25 34、2012 年普陀区二模年普陀区二模)（本题满分（本题满分 10 分）分）已知：如图已知：如图 6，在，在 ABC 中，中， CDAB，sinA=4 5，AB=13，CD=12，求求 AD 的长和的长和 tanB 的值的值. CDBA图图 6解： CDAB，CDA=90°（1 分） sinA=54ACCD，CD=12， AC=15（3 分）AD=9. （2 分）BD=4. （2 分）tanB=3BDCD（2 分）35(2012 年南京建邺区一模)（本题 6 分）如图，某同学在大楼 30m 高的窗口看地面上两辆21 汽车 B、C，测得俯角分别为 60°和 45°，如果汽车 B、C 在与该楼的垂直线上行使，求汽车 C 与汽车 B 之间的距离 （精确到 0.1m，参考数据：414. 12 ，732. 13 ）（第 20 题图）解：依题意得，ACD45°, ABD60°RtADC 中，45tanCDAD，1 分30130 45tanADCD（千米） 3 分RtADB 中，60tanBDAD，31060tanADBD（千米） 5 分BC=7 .1231030（千米） 6 分答：汽车 C 与汽车 B 之间的距离.约为 12.7 千米36、(2012 年福州模拟卷) (每小题 7 分，共 14 分)(1) 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 中点，AE 和延长线与 DC 的延长线相交 于点 F证明：ABEFCE(2) 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角 为 45°，看这栋高 楼底部的俯角 为 60°，热气球与高楼的水平距离 AD80m，这栋高楼有多高(1.732，结果保留小数点后一位)？3(1)证明：AB 与 CD 是平行四边形 ABCD 的对边，ABCD， 2 分 FFAB4 分 E 是 BC 的中点， BECE，5 分 又 AEBFEC， 6 分 ABEFCE 7 分ABCDEF第 17(1)题图ABCD第 17(2)题图22 (2)解：如图，45°，60°，AD80 在 RtADB 中，tan，BD ADBDAD·tan80×tan45°802 分 在 RtADC 中，tan，CD ADCDAD·tan80×tan60°805 分3BCBDCD8080218.63答：这栋楼高约为 218.6m 7 分ABCD