2016年高考理科数学全国卷3含答案.docx

数学试卷第 1 页（共 15 页）数学试卷第 2 页（共 15 页）数学试卷第 3 页（共 15 页）绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷 3）理科数学使用地区:广西、云南、贵州注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 .共 6 页.2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5 毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚 .再贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.3.答第卷时，选出每题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 .答在本试卷上无效 .4.答第卷时，请用直径 0.5 毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.答在本试卷上无效 .5. 第 22、23、24 小题为选考题，请按题目要求任选其中一题作答 .要用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑 .6. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 .第卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ |(2)(3)0Sx xx0Tx xST ）A. 2,3B. (,23,)C. 3,)D. (0,23,)2若，则（ 12iz 4i 1zz ）A. 1B. 1C. iD. i3已知向量，则（ 133 1()()2222BABC ，ABC）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均A15B最低气温约为.下面叙述不正确的是( )5-平均最低气温平均最高气温A. 各月的平均最低气温都在以上0B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于的月份有 5 个205. 若，则( )3tan42cos2sin2A. 64 25B. 48 25C. 1D. 16 256. 已知，则( )4 32a 2 54b 1 325c A. bacB. abcC. bcaD. cab7. 执行如图的程序框图，如果输入的，那么输出的4a 6b n ( )A. 3B. 4C. 5D. 68.在中，边上的高等于，则( )ABC4BBC1 3BCcos AA. 10310B. 10 10C. 10 10D. 3 10 109. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图 ，则该多面体的表面积为( )A. 1836 5B. 5418 5C. 90D. 8110. 在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球.若，111ABCABCVABBC6AB ，则的最大值是( )8BC 13AA VA. 4B. 9 2C. 6D. 32 311. 已知为坐标原点，是椭圆:的左焦点，分别为OFC22221(0)xyababAB的左、右顶点，为上一点，且轴.过点的直线 与线段交于点CPCPFxAlPF，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为( )MyEBMOECA. 1 3B. 1 2C. 2 3D. 3 412.定义“规范数列”如下：共有项，其中项为，项为 ，且对任01nana2mm0m1意，中的个数不少于的个数.若，则不同的“规范2km123,.ka a aa014m -在-此-卷-上-答-题-无-效- - -姓名_ 准考证号_数学试卷第 4 页（共 15 页）数学试卷第 5 页（共 15 页）数学试卷第 6 页（共 15 页）数列”共有( )01A. 18个B. 16个C. 14个D. 12个第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 2224 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分.13. 若，满足约束条件则的最大值为_.xy1 0, 20, 220,xy xy xy zxy14. 函数的图象可由函数的图象至少向右平移sin3cosyxxsin3cosyxx_个单位长度得到. 15. 已知为偶函数，当时，则曲线在点( )f x0x ( )ln()3f xxx( )yf x处的切线方程式是_.(1，3)16. 已知直线与圆交于两点，过分别作330lmxym：2212xy,A B,A B的垂线与轴交于两点，若，则_.lx,C D|2 3AB |CD 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 已知数列前项和，其中.nan1nnSa 0（）证明是等比数列，并求其通项公式；na（）若，求.531 32S 18.（本小题满分 12 分） 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位:亿吨）的折线图.注:年份代码 17 分别对应年份 20082014. （）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与 的关系，请用相关系数加以说明；yt （）建立关于 的回归方程（系数精确到 0.01） ，预测 2016 年我国生活垃圾无害化yt 处理量. 附注:参考数据:，.719.32i iy7140.17ii it y7 21()0.55i iyy72.646参考公式:相关系数12211()()()(yy)nii innii iittyy rtt ，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为yabtb ，121()()()nii i ni ittyyttaybt19.（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥中，底面，PABCDPAABCDADBC3ABADAC ，为线段上一点，为的中点4PABCMAD2AMMDNPC （）证明：平面；MNPAB （）求直线与平面所成角的正弦值.ANPMN20.（本小题满分 12 分） 已知抛物线:的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，C22yxFx12,l lC,A B交的准线于两点.CPQ，（）若在线段上，是的中点，证明；FABRPQARFQ（）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.PQFABFAB21.（本小题满分 12 分） 设函数，其中，记的最大值为.( )cos2(1)(cos1)f xxx0| ( )|f xA（）求；( )fx（）求；A （）证明：.( )2fxA请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，中的中点为，弦分别交于两点OAAABPPCPD，ABEF，（）若，求的大小;2PFBPCD PCD （）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明：.ECFDGOGCD23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数 ） ，以xOy1C3cos , sin,x y 坐标原点为极点 ，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 ，曲线的极x2C坐标方程为.sin()2 24（）写出的普通方程和的直角坐标方程;1C2C（）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.P1CQ2C|PQP24.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲数学试卷第 7 页（共 15 页）数学试卷第 8 页（共 15 页）数学试卷第 9 页（共 15 页）已知函数.( ) |2|f xxaa（）当时，求不等式的解集;2a ( )6f x （）设函数.当时，求的取值范围( ) |21|g xxxR( )( )3f xg xa2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷 3） 理科数学答案解析 第卷一、选择题1.【答案】D【解析】易得， ,23,S 0,23,ST【考点】解一元二次不等式，交集2.【答案】C【解析】易知，故，12iz 14zz 4ii1zz【考点】共轭复数，复数运算3.【答案】A【解析一】，3 32cos1 12BA BCABC BA BC A A30ABC【解析二】可以点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知，B60ABx，30CBx30ABC【考点】向量夹角的坐标运算4.【答案】D【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于的月份有七月、八月，六月为20 C左右，故最多 3 个20 C【考点】统计图的识别5.【答案】A【解析】2 2 222cos4sincos14tan64cos2sin2cossin1tan25 【考点】二倍角公式，弦切互化，同角三角函数公式6.【答案】A【解析】，故42 3324a 2 33b 12 33255c cab【考点】指数运算，幂函数性质7.【答案】B【解析】列表如下：a426-2426-24b64646s06101620n01234【考点】程序框图8.【答案】C【解析】如图所示，可设，则，由余弦定1BDAD2AB 2DC 5AC理知，25910cos102 25A 【考点】解三角形9.【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为2 3 32 3 62 39365418 5 【考点】三视图，多面体的表面积10.【答案】B【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为 2，又，1322AA 所以内接球的半径为，即的最大值为3 2V34932R 【考点】内接球半径的求法11.【答案】A【解析】易得，ONOBa MFBFac，2MFMFAFac OEONAOa1 2aacac acaacA1 3cea 【考点】椭圆的性质，相似12.【答案】C【解析】 011110111010111101001110011110110011101010111001111011001110101 【考点】数列，树状图 第卷 二、填空题13.【答案】3 2【解析】三条直线的交点分别为，代入目标函数可得，( 2, 1) 11,2(0,1)3， ，故最大值为3 213 2 【考点】线性规划14.【答案】2 3【解析】，故可sin3cos2sin3yxxxsin3cos2sin3yxxx前者的图像可由后者向右平移个单位长度得到2 3 【考点】三角恒等变换，图像平移数学试卷第 10 页（共 15 页）数学试卷第 11 页（共 15 页）数学试卷第 12 页（共 15 页）15.【答案】210xy 【解析一】，故切线方程为11( )33fxxx( 1)2f (1)2f 210xy 【解析二】当时，故切线0x ( )()ln3f xfxxx1( )3fxx(1)2f 方程为210xy 【考点】奇偶性，导数，切线方程16.【答案】3【解析】如图所示，作于，作于，AEBDEOFABF2 3AB 2 3OA，即，直线 的倾斜角为，3OF233 3 1mm 3 3m l3032 332CDAE【考点】直线和圆，弦长公式 三、解答题17.【答案】 （），当时，1nnSa 00na2n ，即，11111nnnnnnnaSSaaaa 1(1)nnaa00na ，即，即，是等比数列，公比，当10 111nna a (2)n na1q 时，即，；1n 1111Saa 11 1a11 11nna A（）若，则，531 32S 555111131113211S 1 【考点】等比数列的证明，由求通项，等比数列的性质nS18.【答案】 （）由题意得，123456747t711.3317i iy y，因为7117777 22221111()()40.1774 1.330.99280.55()()()()niiii iiiiii iiiittyyt ynt y rttyyttyy 与 的相关系数近似为 099，说明与 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回ytyt归方程来拟合与 的关系；yt（），所以121()()2.890.10328()nii i ni ittyy b tt 1.330.103 40.92aybt关于 的线性回归方程为，将代入回归方程可得，yt0.920.10yabtt9t ，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.82 亿吨1.82y 【考点】相关性分析，线性回归19.【答案】 （）由已知得，取的中点，连接，由为223AMADBPTATTNN中点知，又，故平行且等于，四边形PCTNBC122TNBCADBCTNAM为平行四边形，于是，因为平面，平面，所以AMNTMNATAT PABMN PAB平面；MNPAB（）取中点，连接，则易知，又面，故可以为坐BCEAEAEADPAABCDA标原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，则AExADyAPz、(0,0,0)A(0,0,4)P( 5,2,0)C5,1,22N ，故平面的0,2,0M5,1,22AN(0,2, 4)PM 5,1, 22PNNPMN法向量，(0,2,1)n ，48 5cos,52552AN n 直线与平面所成角的正弦值为ANPMN8 5 25【考点】线面平行证明，线面角的计算20.【答案】 （）由题设，设，则，且，1,02F1:lya2:lyb0ab 2 ,2aAa ，记过，两点的直线为 ，则 的2 ,2bBb 1,2Pa1,2Qb1,22abRABll方程为，由于在线段上，故，记的斜率为，2()0xab yabFAB10abAR1k的斜率为，则，所以；FQ2k12221 1abababkbkaaabaa ARFQ（）设 与轴的交点为，则，lx1(,0)D x1111 222ABFSba FDba x，由题设可得，所以(舍去)，设2PQFabS111 222abba x10x 11x 满足条件的的中点为，当与轴不垂直时，由可得AB( , )E x yABxABDEkk，而，所以，当与轴垂直时，2(1)1yxabx2aby21(1)yxxABx与重合，所以，所求轨迹方程为ED21yx【考点】抛物线，轨迹方程21.【答案】 （）；( )2 sin2(1)sinfxaxax （）当时，因此，1a |( )| |cos2(1)(cos1)|2(1)32(0)f xaxaxaaaf，当时，将变形为，令32Aa01a( )f x2( )2 cos(1)cos1f xaxax，则是在上的最大值，2( )2(1)1g tatatA|( )|g t 1,1( 1)ga，且当时，取得极小值，极小值为(1)32ga1 4ata( )g t，令，解得（舍去） ，221(1)611488aaaagaaa 1114a a 1 3a 1 5a 当时，在内无极值点，105a( )g t( 1,1)|( 1)|ga|(1)| 23ga，所以；|( 1)| |(1)|gg23Aa当时，由，知；115a( 1)(1)2(1)0gga1( 1)(1)()4aggga又，所以，1(1)(17 )|( 1)|048aaaggaa2161 48aaaAgaa数学试卷第 13 页（共 15 页）数学试卷第 14 页（共 15 页）数学试卷第 15 页（共 15 页）综上，2123 ,05 61 1,185 32,1aaaaAaa aa （）由（）得，|( )| | 2 sin2(1)sin| 2|1|fxaxaxaa 当时，当时，105a|( )| 1242(23 )2fxaaaA 115a，131884aAa所以，当时，所以|( )| 12fxaA 1a |( )| 31642fxaaA |( )| 2fxA【考点】导函数讨论单调性，不等式证明22.【答案】 （）连结，则，PBBCBFDPBABPD ，因为，所以，又，所PCDPCBBCD APBPPBAPCB BPDBCD 以，又，所以，BFDPCD 180PFDBFD2PFBPCD 3180PCD因此；60PCD（）因为，所以，由此知，四点PCDBFD 180PCDEFDCDFE 共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过，CEDFGC，四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此DFEGCDOGCD 【考点】几何证明23.【答案】 （）的普通方程为，的直角坐标方程为；1C2 213xy 2C40xy（）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最P( 3cos ,sin)2C|PQ小值，即为到的距离的最小值，P2C( )d，当且仅当时，|3cossin4|( )2 |sin()2|32d2 ()6kkZ取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为( )d2P3 1,2 2 【考点】坐标系与参数方程24.【答案】 （）当时，解不等式，得，2a ( ) |22| 2f xx|22| 26x 13x 因此，的解集为；( )6f x | 13xx （）当时，当xR( )( ) |2|12 | |212 |1|f xg xxaaxxaxaaa 时等号成立，所以当时，等价于1 2x xR( )( )3f xg x|1|3aa 当时，等价于，无解；1a 13aa当时，等价于，解得；1a 13aa 2a 所以的取值范围是a2,)【考点】不等式